1、考研数学三-407 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 u=x yz ，求 du （分数：8.00）_2.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：8.00）_3.设 其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：4.00）_4.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_5.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_6.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_7.
2、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续 （分数：4.00）_8.设 （分数：4.00）_9.讨论 （分数：4.00）_10.讨论 （分数：4.00）_11.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：4.00）_12.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_13.设 f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_14.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_15.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：4.00）_16.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶
3、连续可偏导，且 z=f(2x-y)+g(x，xy)，求 （分数：4.00）_17.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_18.设 z=f(x 2 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_19.设 z=z(x，y)由 x-yz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：4.00）_20.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：4.00）_21.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证
4、明： （分数：4.00）_22.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_23.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_考研数学三-407 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 u=x yz ，求 du （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 2.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 3.设 其中
5、f，g 二阶可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 4.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 5.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 6.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 F=xyz-x-y-z， 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得 解得 故 7.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续 （分数：4.00）_正确答案：(
6、)解析：解 设 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 所以 f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 因为 所以 8.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 不存在，故函数 f(x，y)在点(0，0)处不连续 因为 9.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 且 所以 即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以 f“ x (0，0)=0，根据对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数
7、 f(x，y)在(0，0)处可偏导 因为 10.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以 f“ x (0，0)=0，由对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可偏导 因为 且 11.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 12.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 13.设 f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 14.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_正
8、确答案：()解析：解 u=x yz =e yzlnx ， 15.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 x 求偏导得 解得 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 y 求偏导得 解得 故 16.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2x-y)+g(x，xy)，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 17.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二
9、阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 18.设 z=f(x 2 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 19.设 z=z(x，y)由 x-yz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 x 求偏导得 方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 y 求偏导得 20.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 x
10、 求偏导得 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 y 求偏导得 21.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 22.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 23.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 对 z-y-x+xe z-y-x =0 两边求微分，得 dz-dy-dx+e z-y-x dx+xe z-y-x (dz-dy-dx)=0， 解得
