1、考研数学三-405 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在点 x 0 处连续，且 （分数：4.00）A.x0 不是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的驻点，但不是极值点C.x0 是 f(x)的极大值点D.x0 是 f(x)的极小值点2.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）A.f(-x，-y)=-f(x，y)且 f(-x，y)=f(x，y)B.f(-x，-y)=f(x，y)C.f(-x，-y)=-f(x，y)D.f(-x，y)=f(x，y)且 f(x，-y)=f(x，y)3.设 ，则级数_ A 都收敛
2、 B 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.取极大值B.取极小值C.可导D.不可导5.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A*的全部特征值是_ A ，-6，1 B-2，-1，3 C2，1，3 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.-20B.-20C.01D.17.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.对两个仪器进行独立试验，已知其中
3、一个仪器发生故障的概率为 p 1 ，另一个发生故障的概率为 p 2 ，则发生故障的仪器数的数学期望为_（分数：4.00）A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.p1+(1-p2)D.p1+p2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 （分数：4.00）11.设 f(x)有一个原函数为 1+sin 2 x，则 （分数：4.00）12.已知某商品的需求函数为 （分数：4.00）13.设 A，B 为三阶矩阵，且 A 的三个特征值为 1，2，3，则矩阵 （分数：4.00）14.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的
4、 t 分布，则随机变量 X 2 服从的分布是 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 u=u(x，y)满足方程 （分数：10.00）_17.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求证在(a，b)内至少有一点 使得 （分数：10.00）_18.设 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，并设 f(x)为偶函数，且 f(0)=1，试证明级数 （分数：10.00）_19.设二阶可微函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_20.设向量 1 =(1，-1，2，-1) T ， 2 =(-3，4，-1，2)
5、 T ， 3 =(4，-5，3，-3) T ， 4 =(-1，3，0) T ，=(0，k，5，-1) T 试问 ，k 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出?，k 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出?并写出线性表达式 （分数：11.00）_(1).设 A 为 r 阶方阵，B 为 rn 矩阵，r(B)=r，且 AB=0，证明：A=0（分数：5.50）_(2).设 A 为 n 阶正交阵，且 A 的特征值都大于零，证明：A*=A T （分数：5.50）_21.设随机变量 x，y 相互独立，其密度函数分别为 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 的分布函数为
6、 （分数：11.00）_考研数学三-405 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在点 x 0 处连续，且 （分数：4.00）A.x0 不是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的驻点，但不是极值点C.x0 是 f(x)的极大值点D.x0 是 f(x)的极小值点 解析：解析 由已知极限可推得 及 由于 f(x)在 x 0 处连续，所以由 知 f(x 0 )=0又 ，可知 ，故 2.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）A.f(-x，-y)=-f(x，y)且 f(-x，y)=f(x，y)B.f(-x，-y)=f
7、(x，y)C.f(-x，-y)=-f(x，y)D.f(-x，y)=f(x，y)且 f(x，-y)=f(x，y) 解析：解析 若 f(x，y)关于 x 为偶函数，关于 y 也是偶函数，记 D 1 为 x 2 +y 2 1 的第一象限部分，则有 3.设 ，则级数_ A 都收敛 B 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于u n 为交错级数，所以根据莱布尼茨定理知， 收敛，而 ，所以 4.设 （分数：4.00）A.取极大值B.取极小值C.可导D.不可导 解析：解析 注意到 与 x-a 同号，因此 说明：存在 0，使得 axa+ 时，f(x)f(a)；
8、同时，a-xa 时，f(x)f(a)，故 f(a)不是极值点，所以 A，B 均不正确；又因为 5.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A*的全部特征值是_ A ，-6，1 B-2，-1，3 C2，1，3 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A 2 +2A=A(A+2E)=0，因|A|=3，A 可逆，故|A+2E|=0，A 有特征信 1 =-2，同理 A+2A 2 =A(E+2A)=0，|2A+E|=0，A 有特征值 ，且有 1 2 3 =|A|=3，因此， 3 =3又有 A i = i i ，i=1，2，3，在其两边同乘 A*得 A*A
9、i =|A|E i = i A* i ， ，则 A*有特征值, 6.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.-20B.-20 C.01D.1解析：解析 由 的各阶顺序主子式均大于 0，即 1 =10， 2 = ， 3 =|A|=-4(+2)(-1)0 7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 若记 A=X0，B=Y0，则 A 与 B 相互独立，且 P(A)=P(B)= ，故 8.对两个仪器进行独立试验，已知其中一个仪器发生故障的概率为 p 1 ，另一个发生故障的概率为
10、 p 2 ，则发生故障的仪器数的数学期望为_（分数：4.00）A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.p1+(1-p2)D.p1+p2 解析：解析 设 X i 表示第 i 台仪器发生故障(i=1，2)，则其分布列为 仪器发生故障的台数 X=X 1 +X 2 的分布列为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 因为 ，于是 10.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 （分数：4.00）解析： 解析 令 ，则 A 为常数，此时 f(x，y)=x+Ay等式两边同时取二重积分得 11.设 f(x)有一个原函数为 1+sin 2 x，则 （分数
11、：4.00）解析：0 解析 12.已知某商品的需求函数为 （分数：4.00）解析：20 解析“收益=需求价格”，故本题中的收益为 而“利润=收益-成本”，故本题中的利润为 求导可得 ，得 Q=20又当 Q20 时， ；当 Q20 时， 13.设 A，B 为三阶矩阵，且 A 的三个特征值为 1，2，3，则矩阵 （分数：4.00）解析：2，4，6，6，3，2 解析 只需分别求出 2A，A*的特征值即可设 为 A 的特征值，则有 Ax=x，x0，于是 2Ax=2x， 即 2A，A*分别有特征值 2， 14.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量 X 2 服从的分布是 1 （分数
12、：4.00）解析：F(1，n) 解析 因为 Xt(n)，令 ，其中 uN(0，1)，v 2 (n)，且 u，v 相互独立，于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：16.设 u=u(x，y)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，得 u x (x，2x)+u y (x，2x)2=1由条件 u x (x，2x)=x 2 推得 u y (x，2x)2=1-x 2 ，再将得到的 u x 与 u y 两个表达式对 x 求导，得 u xx (x，2x)+u xy (x，2x)2=2x 及
13、u yx (x，2x)2+u yy (x，2x)4=-2x再代入条件 u xx (x，2x)-u yy (x，2x)=0，解得 17.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求证在(a，b)内至少有一点 使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：在柯西中值定理中取 F(x)=xf(x)，g(x)=lnx，则 F“(x)=f(x)+xf“(x)， ，x(a，b)，则存在 (a，b)，使得 18.设 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，并设 f(x)为偶函数，且 f(0)=1，试证明级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由 f(x)为偶函数且二阶导数连续
14、，有 f“(0)=0由泰勒公式 其中 M=maxf“(x) 由比较审敛法及 p=2 时，p 级数 19.设二阶可微函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由方程知 f(0)=1， 且方程两边关于 x 分别求一阶和二阶导数，得 f“(x)+f“(x)=e x +2-f“(x) 故得微分方程初值问题 对应齐次方程的特征方程为 ，解得 1 =0， ，对应齐次方程通解为 令非齐次方程的一个特解为 y*=Ax+Be x ，代入方程得 A=2， 20.设向量 1 =(1，-1，2，-1) T ， 2 =(-3，4，-1，2) T ， 3 =(4，-5，3，-3) T ， 4 =(
15、-1，3，0) T ，=(0，k，5，-1) T 试问 ，k 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出?，k 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出?并写出线性表达式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：本题相当于讨论线性方程组 何时有解，无解 当 k1，=2 时， 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出；当 k=1，=2 时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一 所以 =(3-k 1 -2k 2 ) 1 +(1+k 1 -k 2 ) 2 +k 1 3 +k 2 4 (其中 k 1 ，k 2 为任意常数) 当 2，k 为任意值
16、时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一 (1).设 A 为 r 阶方阵，B 为 rn 矩阵，r(B)=r，且 AB=0，证明：A=0（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 r(B)=r，所以矩阵 B 有 r 个线性无关的列向量，故经过初等列变换将 B 化成 的形式，其中 B 1 是 rr 矩阵，B 2 =0，r(B 1 )=r，即存在可逆阵 Q，使得 BQ=B 1 B 2 由于 AB=0，所以 ABQ=A( )=0，因而 AB 1 =0，两边同乘 (2).设 A 为 n 阶正交阵，且 A 的特征值都大于零，证明：A*=A T （分数：5.50）_正确答案：()解
17、析：由 A 的特征值都大于零知|A|0又 A 为正交阵，故|A|=1，从而 A*=|A|A -1 =A -1 =A T 21.设随机变量 x，y 相互独立，其密度函数分别为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由卷积公式知 由于被积函数仅在 0x1，xz 时不为零，故 当 z0 时，f z (z)=0； 当 0z1 时， 当 z1 时， ，从而有 22.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：本题是一个常规题型求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数，从而先由分布函数求导得密度函数 当 =1 时，X 的概率密度为 (1) 由于 所以，参数 的矩估计量为 (2)对于总体 X 的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 当 x i 1(i=1，2，n)时，L()0，取对数得 对 求导数，得 于是 的最大似然估计量为 (3)当 =2 时，X 的概率密度为 对于总体 X 的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 当 x i (i=1，2，n)时， 越大，L()越大，即 的似然估计值为 =minx 1 ，x 2 ，x n ， 于是 的最大似然估计量为
