1、考研数学三-403 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.有 2 个无穷间断点D.有 2 个跳跃间断点2.设 f(x)连续，且当 x0 时， 是与 x 3 等价的无穷小量，则 f(0)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)为连续的偶函数，F(x)为 f(x)的原函数，且 则 F(x)等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 a n 0，且 收敛， 则级数 （分数：
2、4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，对于线性方程组()：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有_（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解6.设 则 B=_ （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P37.设 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的 01 分布，Y 服从参数为 的 01 分布，则方程 t 2 +2Xt+Y=
3、0 中 t 有相同实根的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(， 2 )，则概率 PX1+_（分数：4.00）A.随 的增大而增大B.随 的增大而减小C.随 的增大而增大D.随 的增大而减小二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是三次多项式，且有 则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.若 （分数：4.00）12.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 2x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）13.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x
4、T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由曲线 y=x 与 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则概率 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D（分数：10.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：5.00）_(2).求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_
5、17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且在 处取得极值，又|f“(x)|M，证明： （分数：10.00）_18.某工厂生产两种产品，其中 P 1 ，P 2 分别为两种产品的价格，两种产品的需求函数分别为 Q 1 =20-P 1 ， 已知成本函数 （分数：10.00）_(1).设 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是三维列向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出；（分数：5.50）_(2).当 （分数：5.50）_设 是矩阵 （分数：11.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；
6、（分数：5.50）_(2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：5.50）_设随机变量 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立，且服从参数为 p 的 01 分布，令 （分数：11.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布律；（分数：5.50）_(2).问 p 为何值时，E(X 1 ，X 2 )取最小值?（分数：5.50）_19.设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2(1-) 2 1-2 其中 （分数：11.00）_考研数学三-403 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.有
7、1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.有 2 个无穷间断点D.有 2 个跳跃间断点解析：解析 在 x=0，x=1 无定义，而 所以 x=0 为可去间断点 又 2.设 f(x)连续，且当 x0 时， 是与 x 3 等价的无穷小量，则 f(0)=_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由等价无穷小的定义，得 3.设 f(x)为连续的偶函数，F(x)为 f(x)的原函数，且 则 F(x)等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)为偶函数，所以 为奇函数，且 又 即 C 0 =0， 4.
8、设 a n 0，且 收敛， 则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析 注意到 又因为5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，对于线性方程组()：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有_（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：解析 若 Ax=0，则显然有 A T Ax=0，即()的解是()的解；反过来，若 A T Ax=0 则有 x T A T Ax=(Ax)
9、T (Ax)=0， 从而推出 Ax=0 因为若设 Ax=(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，则 6.设 则 B=_ （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3A C.AP3P2D.AP1P3解析：解析 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第 3 行后，再 1、2 两行互换可得到 B 或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B，而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B7.设 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的 01
10、 分布，Y 服从参数为 的 01 分布，则方程 t 2 +2Xt+Y=0 中 t 有相同实根的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 X 与 Y 的分布为 方程中 t 有相同的实根的概率为 P(4X 2 -4Y=0)=P(X 2 =Y) =P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1) 8.设 XN(， 2 )，则概率 PX1+_（分数：4.00）A.随 的增大而增大B.随 的增大而减小C.随 的增大而增大D.随 的增大而减小 解析：解析 因为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是三次多项式，且有 则 （分数：4.00）解析： 解
11、析 由题意知 f(x)=(Ax+B)(x-2a)(x-4a)， 10. （分数：4.00）解析：解析 11.若 （分数：4.00）解析：sinx+siny 解析 两边对 y 积分得 又 z(x，0)=sinx，所以 12.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 2x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）解析：1 解析 思路一：题设方程的特解形式有三种可能：y=ae 2x ，y=axe 2x 和 y=ax 2 e 2x ，前两种都不满足初始条件，因此特解形式为 y=ax 2 e 2x ，这说明 =2 是特征方程 2 +p+
12、q=0 的二重根，即p=-4，q=4，将 y=ax 2 e 2x 代入方程得 思路二： 13.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数：4.00）解析： 解析 A 的各行元素之和为 3，则 可见 1 =3 是 A 的一个特征值，又由二次型的秩为 1 知 r(A)=1，从而 A 的另外两个特征值为 2 = 3 =0，故 f 在正交变换下的标准形为 14.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由曲线 y=x 与 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则概率 （分数：4.00）解析
13、： 解析 由曲线 y=x 和 y=x 2 所围成的区域的面积为 所以(X，Y)的概率密度为 由此得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 由于 f(x)连续，则 f - (-1)=f + (-1)=f(-1)，f - (1)=f + (1)=f(1)， 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D（分数：10.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：图形 D 如下图所示，设切点的横坐标为 x 0 ，则曲线 y=lnx 在点(x 0 ，lnx 0
14、)处的切线方程是 由该切线过原点知 lnx 0 -1=0，从而 x 0 =e，所以该切线的方程为 平面图形 D 的面积 (2).求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的曲边三角形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 因此所求旋转体体积为 注：本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式，也可考虑用已知截面积 S(y)=(e-ey) 2 -(e-e y ) 2 ，0y1，然后用定积分进行计算
15、16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：令 y-x 2 =0，画出 y=x 2 ，将 D 分成 D 1 ，D 2 两部分，如下图，于是 D=D 1 D 2 17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且在 处取得极值，又|f“(x)|M，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为题设有|f“(x)|M，且需要证明的不等式中含有 M，所以要用泰勒公式展开来证明，由于f(x)在 处取得极值，必有 故需在点 处展开 依题意，f(x)在 处取得极值，且在a，b上可导，所以 则 18.某工厂生产两种产品，其中 P 1 ，P 2 分别为两种产品的价格，两种产品的需求函数分别为
16、Q 1 =20-P 1 ， 已知成本函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由于总成本用产量的表达式表出，所以需求函数应相应地表示成价格为产量的函数，即 P 1 =20-Q 1 ，P 2 =40-4Q 2 于是总收益函数为 利润函数为 因为这是实际问题，所以当 时，利润 L 最大，且 (1).设 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是三维列向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：证明：由题意可知四个三维列向量 1 ， 2 ， 1 ， 2 必线性
17、相关，故知存在不全为零的 k 1 ，k 2 ， 1 ， 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 + 1 1 + 2 2 =0 成立，即 k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 成立，其中 k 1 ，k 2 不全为零(若 k 1 =k 2 =0，则- 1 1 - 2 2 =0， 1 ， 2 线性相关，这与已知 1 ， 2 线性无关矛盾)，且 k 1 1 +k 2 2 0(因 1 ， 2 线性无关) 令 =k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 0，则 即为所求，得证，存在 0，既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出(2).当 （分数：5.50）_正确答案
18、：()解析：解：因 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关， 由第一小题知，=k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 ，得 k 1 1 +k 2 2 + 1 1 + 2 2 =0， 将上述齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得 设 是矩阵 （分数：11.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：设 是特征向量 所对应的特征值，则由定义有 A=，即 (2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：A 能否相似于对角阵取决于 A 是否有三个线性无关的特征向量，先求 A 的特征值
19、可知 =-1 为 A 的三重特征值 但 设随机变量 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立，且服从参数为 p 的 01 分布，令 （分数：11.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布律；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：易知 Y 1 +Y 2 +Y 3 B(3，p)，于是 P(X 1 =-1，X 2 =-1)=P(Y 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2) =P(Y 1 +Y 2 +Y 3 =0)+P(Y 1 +Y 2 +Y 3 =3) =(1-p) 3 +p 3 ， P(X 1 =-1，X 2 =1)=P(Y 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y
20、2 +Y 3 =2) =3p 2 (1-p)， P(X 1 =1，X 2 =-1)=P(Y 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2) =3p(1-p) 2 ， P(X 1 =1，X 2 =1)=P(Y 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2)=0 故联合分布律为： (2).问 p 为何值时，E(X 1 ，X 2 )取最小值?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：E(X 1 X 2 )=1P(X 1 =-1，X 2 =-1)+(-1)P(X 1 =-1，X 2 =1)+(-1)P(X 1 =1，X 2 =-1)+1P(X 1 =1，X 2 =1) 故当 时，E(X 1 X 2 )取最小值 19.设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2(1-) 2 1-2 其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：因为 E(X)=0 2 +12(1-)+2 2 +3(1-2)=3-4 由 得 的矩估计量为 又由题意得 因此 的矩估计值 对于离散型随机变量，它的似然函数为 于是给定的样本值的似然函数为 L()=4 6 (1-) 2 (1-2) 4 对两端取对数并对 求导得 令 得 12 2 -14+3=0，解得 由题意知 不合题意，因此 的最大似然估计值为
