1、考研数学三-400 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围_（分数：4.00）A.(-，10B.(-，0C.0，+)D.1，+)02.设非负可微函数 f(x)满足条件 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小值点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数
2、 a 有关，极限 （分数：4.00）A.B.C.D.4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 和 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 和 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A，B 均是 n 阶正交矩阵，A*，B*是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则下列等式中，正确的结果有_ |A+B|=0 |A-B|=0 |A*+B*|=0 |A*-B*|=0（分数：4.00）A.1 项B.2 项C.3 项D.4 项6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 3 +4A 2 +5A+2E=0，则对任意的 n 维非零向量 X
3、0 有_ AX T AX0 BX T AX0 CX T AX0 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (0a1)，数 u 满足 PXu =若 P|X|x=，则x 等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_ A. 2+ 2 B. 2- 2 C. 2+2+ 2 D. 2-2+ 2（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.已知 f“(x)是偶函数，满足条件 f“(e -x
4、)=xe -x ，f(-1)=0，则 f(1)= 1 （分数：4.00）11.二重积分 （分数：4.00）12.设 a1， 则 （分数：4.00）13.设 AB，其中 （分数：4.00）14.设(X 1 ，X 2 ，X q )是来自正态总体 X 的简单随机样本， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.若 u 0 =0，u 1 =1， n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下
5、列条件： f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； 对 （分数：10.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的；（分数：5.00）_(2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_18.已知差分方程 的解 x n 满足条件 （分数：10.00）_设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵已知 E m +AB 可逆，（分数：11.00）(1).验证 E n +BA 可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A；（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 1 =- 1 ，A 2 =
6、 1 +2 2 ，A 3 = 1 +3 2 + 3 ， 其中 1 =(0，1，1) T ， 2 =(1，0，1) T ， 3 =(1，1，0) T 证明：A 能相似于对角阵 ，并求可逆阵 P，使得 P -1 AP=A （分数：11.00）_已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为 （分数：11.00）(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_(2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布（分数：5.50）_设总体 X 的分布 X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 0 1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自
7、总体的简单随机样本（分数：11.00）(1).求参数 的极大似然估计 （分数：5.50）_(2).判断 （分数：5.50）_考研数学三-400 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围_（分数：4.00）A.(-，10B.(-，0C.0，+)D.1，+)0 解析：解析 fg(x)=|g(x)|=|x 2 -x|， gf(x)=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x| 由 fg(x)=gf(x)，得|x 2 -x|=x
8、 2 -|x| 当 x 2 x，即 x0 或者 x1 时，有 x 2 -x=x 2 -|x|，即 综合得 x1 当 x 2 x，即 1x0 时， 2.设非负可微函数 f(x)满足条件 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 f“(x)0，所以 f(x)为单调减函数 由于 收敛，则 由夹逼定理可知 又当 x1 时，0f(x)xf(x)，从而有 3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小值点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数 a
9、 有关，极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 首先由 y“(1)=0，知 x=1 是 y(x)的一个驻点又 y“(1)=(e x-1 -2y“-ay)| x=1 =0，所以 x=1 是 y(x)的极小值点 4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 和 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 和 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 此论断只对正项级数成立，所以不对 B 由反例 u n =1， 否定了此论断 C 由反例 否定了此论断 D 正确因为 及 和 都收敛，所以 收敛，再由级数的运算性质，得 5.
10、已知 A，B 均是 n 阶正交矩阵，A*，B*是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则下列等式中，正确的结果有_ |A+B|=0 |A-B|=0 |A*+B*|=0 |A*-B*|=0（分数：4.00）A.1 项B.2 项C.3 项D.4 项 解析：解析 A，B 是正交矩阵，则有 AA T =E=A T A，BB T =E=B T B，故 |AB|=|BB T ABA T A|=|B(B T A T )A|=|B|AB) T |A| =-|A| 2 |AB| (1+|A| 2 )|AB|=0 6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 3 +4A 2 +5A+2E=0，则对任意的 n 维
11、非零向量 X0 有_ AX T AX0 BX T AX0 CX T AX0 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 n 阶实对称阵 A 满足 A 3 +4A 2 +5A+2E=0，则 A 的特征值 满足 3 +4 2 +5+2=(+1) 2 (+2)=0，故 A 的特征值为-1，-2f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 的标准形为 7.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (0a1)，数 u 满足 PXu =若 P|X|x=，则x 等于_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 思路一：XN(0，1)，(-x)=1-(x) 思路二：由正态分布图可知
12、8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_ A. 2+ 2 B. 2- 2 C. 2+2+ 2 D. 2-2+ 2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由(X，Y)N(0，0，1，1，)，得 XN(0，1)，YN(0，1) 则 E(X)=0，1=D(X)=E(X 2 )-(EX) 2 =E(X 2 )， E(Y)=0，1=D(Y)=E(Y 2 )-(EY) 2 =E(Y 2 ) cov(U，V)=E(U-EU)(V-EV)=E(UV)-E(U)E(V)=E(UV) =E(X+Y)(X-Y) =E( 2 X 2 - 2
13、 Y 2 )= 2 - 2 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 由于曲线 y(x)切线的斜率应为 当 x0 时， 无解 当 x0 时， 由此得切点为 P(1，ln2) 所求切线方程为 10.已知 f“(x)是偶函数，满足条件 f“(e -x )=xe -x ，f(-1)=0，则 f(1)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 f“(e -x )=xe -x ，令 e -x =|t|，则 x=-ln|t|，于是有 f“(t)=-|t|ln|t|，积分得 则 11.二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：在极坐标系下，x=cos，y
14、=sin，则 其中 思路二： 其中 所以 12.设 a1， 则 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：由 可得 上式两边取极限(n)得 思路二：考虑级数 13.设 AB，其中 （分数：4.00）解析：1 解析 又 14.设(X 1 ，X 2 ，X q )是来自正态总体 X 的简单随机样本， （分数：4.00）解析：t(2) 解析 设 XN(，)，由题设得 则 E(Y 1 -Y 2 )=0， 故 又 Y 1 -Y 2 与 S 2 独立，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：10.00）_正确答案：(
15、)解析：解析 f(-x，x)=-x 2 -f“ 1 (-x，x)+f“ 2 (-x，x)=-2x -f“ 11 (-x，x)+f“ 12 (-x，x)+-f“ 21 (-x，x)+f“ 22 (-x，x)=-2 由已知得 f“ 11 (-x，x)+f“ 22 (-x，x)=0，f“ 12 (-x，x)=f“ 21 (-x，x) 所以 f“ 12 (-x，x)=1 又 f“ 1 (-x，x)=-x，故 -f“ 11 (-x，x)+f“ 12 (-x，x)=-1 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 得到 (|x|1)，代入方程得 17.若 u 0 =0，u 1 =1， n=1
16、，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由 得 设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； 对 （分数：10.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：证明 f(x)是单调增函数，因为 x，x+x0，1，f(x+x)f(x)+f(x) (2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对 f(x)， x0，1，有 1=fx+(1-x)f(x)+f(1-x)， 从而 而今函数 f 0 (x)x，x0，1，显然
17、 f 0 (x)又 所以有 对所有这一类函数中，积分 的最大取值为 18.已知差分方程 的解 x n 满足条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：首先齐次方程 x n+1 +x n =0 的通解为 x n =C(-) n 再用待定系数法求 x n+1 +x n =n+1 的特解，为此，令 x n =An+B，代入方程 x n+1 +x n =n+1，得 则原差分方程的通解为 由初始条件 得常数 C=0，于是差分方程的解为 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵已知 E m +AB 可逆，（分数：11.00）(1).验证 E n +BA 可逆，且(E n +BA) -1 =E n
18、 -B(E m +AB) -1 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： (E n +BA)E n -B(E m +AB) -1 A =E n +BA-B(E m +AB) -1 A-BAB(E m +AB) -1 A (2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解： 其中 因为 故 1+BA=10 由第一小题知 W=E+AB 可逆，且|(1+BA) -1 |=1，则 W -1 =(E+AB) -1 =E-A(1+BA) -1 B 19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 1 =- 1 ，A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 1 +3 2 + 3 ， 其中 1 =(0，1，1
19、) T ， 2 =(1，0，1) T ， 3 =(1，1，0) T 证明：A 能相似于对角阵 ，并求可逆阵 P，使得 P -1 AP=A （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由题设 A( 1 ， 2 ， 3 )=(- 1 ， 1 +2 2 ， 1 +3 2 + 3 ) 其中 得 AQ=QB，且 故 Q 可逆两边左乘 Q -1 ，得 Q -1 AQ=B (*) 即 AB，相似的矩阵有相同的特征值，故 即 A 和 B 有三个互异的特征值 1 =-1， 2 =2， 3 =1得证 当 1 =-1 时， 有解得 1 =(1，0，0) T 当 2 =2 时， 有解得 2 =(1，3，0) T 当
20、 3 =1 时， 有解得 3 =(-1，-3，1) T 取 有 代入 B=Q -1 AQ，得 记 P=QW，则有 其中 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为 （分数：11.00）(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由概率分布的性质知 X 与 Y 不相关 cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=0 X 的概率分布为 Y 的概率分布为 XY 的概率分布为 则 故 X 与 Y 不相关 另一方面，事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是 PY=1，X+Y=1=PY=1PX+Y=1 而今已知 且 故事件Y
21、=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件也是 (2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：若 X 与 Y 不相关，则 故 X 的概率分布为 Y 的概率分布为 设总体 X 的分布 X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 0 1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本（分数：11.00）(1).求参数 的极大似然估计 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：求参数 的极大似然估计 ，总体分布可表示为 P(X=k)=C(k)(1-) k-1 3-k ，k=1，2，3 其中 C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1 似然函数为 解方程 得 的最大似然估计 (2).判断 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：判断 的无偏性和一致性 的无偏性： 是 的无偏估计 的一致性：因为 则 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 =1 2 +42(1-)+9(1-) 2 -(3-2) 2 =2(1-)， 由切比雪夫不等式， 对有 即
