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    【考研类试卷】考研数学三-397及答案解析.doc

    • 资源ID:1394753       资源大小:232.50KB        全文页数:11页
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    【考研类试卷】考研数学三-397及答案解析.doc

    1、考研数学三-397 及答案解析(总分:150.02,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1. _ A1 B (分数:4.00)A.B.C.D.2.设函数 y(x)是初值问题 (分数:4.00)A.0是 y(x)的极小值点B.0是 y(x)的极大值点C.0不是 y(x)的极值点D.0是否是 y(x)的极值点与 a取值有关3.若正项级数 收敛,则级数 (分数:4.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数 有关4.设函数 z=f(x,y),f(x,0)=1,f“ y (x,0)=x,f“ yy =2,则 f(x,y)=_ A.1-xy+y2 B.1+xy+y

    2、2 C.1-x2y+y2 D.1+x2y+y2(分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A,B,C 均是 n阶方阵,满足 AB=BC=CA=E,则 A 2 +B 2 +C 2 =_(分数:4.00)A.0BEC.2ED.3E6.设 A相似于矩阵 (分数:4.00)A.7B.8C.9D.107.设随机变量 X和 Y相互独立,都服从0,b上均匀分布,则 Emin(X,Y)=_ A Bb C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设总体 X服从 N( 0 , 2 ), 0 已知, 2 未知,X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X容量为 n的样本,则检验假设 H 0 : 2 ,( 已知)的拒绝域为

    3、_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知 , 为常数,f(x)可导,则 (分数:4.00)10.设 则 (分数:4.00)11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 (分数:4.00)12. (分数:4.00)13.设 A,B 均是二阶方阵,满足 AB,A 有特征值 =1,B 有特征值 =-2,则|A+2BA|= 1 (分数:4.00)14.设 X,Y 为随机变量,已知 D(X)=25,D(Y)=36,X 与 Y的相关系数 XY =0.4,则 cov(2X-3Y,X-Y)= 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数

    4、:94.00)15.求 (分数:10.00)_16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数,试求 f(x)在 (分数:10.00)_17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H的液体,把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内,浸没深度为 h,问抛物面的容器内液面上升多少? (分数:10.00)_今有方程系列 P:x n -2x+1=0,n3(分数:10.00)(1).证明:P 中每一个方程,在(0,1)内都有且仅有一个解;(分数:5.00)_(2).设 P中的第 n个方程的解为 x n ,求 (分数:5.00)_18.计算二重积分 (分数:10.00)_19.设 A,

    5、B,X 均是三阶矩阵,其中 (分数:11.00)_20.设 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX,r(A)=1,A 的每行元素之和为 2,当 X=2,4,0 T 时, 求 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX在 处的值,即 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )| X= = T A (分数:11.00)_掷两枚骰子,X 和 Y分别表示掷出的最小点与最大点求:(分数:11.01)(1).(X,Y)的联合分布律;(分数:3.67)_(2).X和 Y的边缘分布律;(分数:3.67)_(3).E(X),E(Y),D(X),D(Y)(分数:3.67)_设 X,Y 的联合概率密度函数为

    6、 (分数:11.01)(1).求常数 A;(分数:3.67)_(2).证明随机变量 Y具有如下性质:对任意的 s,t0,有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt);(分数:3.67)_(3).求 E(X)(分数:3.67)_考研数学三-397 答案解析(总分:150.02,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1. _ A1 B (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 2.设函数 y(x)是初值问题 (分数:4.00)A.0是 y(x)的极小值点 B.0是 y(x)的极大值点C.0不是 y(x)的极值点D.0是否是 y(x)的极值点与 a取值有关解析:解析 由 y“

    7、-asin 2 y-x=0,得 y“-2asinycosyy“-1=0,则 y“(0)=asin 2 y(0)+x=0, y“(0)=2asiny(0)cosy(0)y“(0)+1=1, 所以 y(x)在 0处取极小值3.若正项级数 收敛,则级数 (分数:4.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数 有关解析:解析 因为 又正项级数 收敛 正项级数 收敛,由正项级数极限审敛法可知 4.设函数 z=f(x,y),f(x,0)=1,f“ y (x,0)=x,f“ yy =2,则 f(x,y)=_ A.1-xy+y2 B.1+xy+y2 C.1-x2y+y2 D.1+x2y+y2(分

    8、数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 f“ yy =2 f“ y =2y+C 1 (x),由 f“ y (x,0)=x 得 C 1 (x)=x f“ y (x,y)=2y+x, 则 f(x,y)=y 2 +xy+C 2 (x), 由 f(x,0)=1 5.设 A,B,C 均是 n阶方阵,满足 AB=BC=CA=E,则 A 2 +B 2 +C 2 =_(分数:4.00)A.0BEC.2ED.3E 解析:解析 AB=BC=CA=E 6.设 A相似于矩阵 (分数:4.00)A.7B.8C.9 D.10解析:解析 AB,则 A,B 有相同的秩和相同的特征值,其中 r(A)=r(B)=2, 7.设

    9、随机变量 X和 Y相互独立,都服从0,b上均匀分布,则 Emin(X,Y)=_ A Bb C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由题设得(X,Y)的联合分布密度为 如下图,则 8.设总体 X服从 N( 0 , 2 ), 0 已知, 2 未知,X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X容量为 n的样本,则检验假设 H 0 : 2 ,( 已知)的拒绝域为_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 0 已知,则统计量 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知 , 为常数,f(x)可导,则 (分数:4.00)解析:(+)f“(x)解析 10.设 则 (分

    10、数:4.00)解析:解析 11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 (分数:4.00)解析: 其中 C为任意常数 解析 已知 y“=xy 2 ,当 y0 时,有 另外 y=0也是一解 综上可得,通解 12. (分数:4.00)解析:2e -1 解析 令 u 2 =2x+1,则 故 13.设 A,B 均是二阶方阵,满足 AB,A 有特征值 =1,B 有特征值 =-2,则|A+2BA|= 1 (分数:4.00)解析:18 解析 AB,则 A,B 有相同的特征值,故 A,B 有特征值 1,-2 又 |A+2BA|=|(E+2B)A|=|E+2B|A|, 其中|A|=1(-2)=-2,E+2B

    11、 有特征值 3,-3,|E+2B|=-9,故 |A+2BA|=|E+2B|A|=(-2)(-9)=1814.设 X,Y 为随机变量,已知 D(X)=25,D(Y)=36,X 与 Y的相关系数 XY =0.4,则 cov(2X-3Y,X-Y)= 1 (分数:4.00)解析:98 解析 因为 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解:思路一: 令 则 思路二: 则 I=1 思路三:令 u=t-x,则 故 16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数,试求 f(x)在 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解:将等式 关于 x两边从 0

    12、到 积分,得 又 故 则 f(x)在 上的平均值为 17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H的液体,把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内,浸没深度为 h,问抛物面的容器内液面上升多少? (分数:10.00)_正确答案:()解析:解:设旋转抛物面的容器和旋转抛物面体分别由 xOy平面上的抛物线 y 1 =Ax 2 ,y 2 =Bx 2 +a绕y轴旋转而成 如图所示,设 V 1 为抛物面容器中的液体被第二个抛物面体所排开的体积,则 设被挤上升的液体体积为 V 2 ,则 由 V 1 =V 2 ,得 因为 h+a0,则 故液面上升高度为 今有方程系列 P:x n -2x+

    13、1=0,n3(分数:10.00)(1).证明:P 中每一个方程,在(0,1)内都有且仅有一个解;(分数:5.00)_正确答案:()解析:解:记 f n (x)=x n -2x+1,则方程 x n -2x+1=0的根,即是函数 f n (x)的零点 由 n2,当 x(0,1时,因为 f“ n (x)=n(n-1)x n-2 0,因此 f n (x)在(0,1内是凹函数,所以 f n (x)在(0,1内至多有两个零点已知有 f n (1)=0,因此 f n (x)在(0,1)内至多有一个零点 又因 而当 n3 时, 所以 f n (x)在 内至少有一个零点 由此证得,f n (x)在(0,1)内有

    14、且仅有一个零点,记为 x n ,且 (2).设 P中的第 n个方程的解为 x n ,求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:思路一:因为 由于 所以存在 N0,当 nN 时, 由此可知,f n (x)的零点 即 所以 思路二:先证 x n ,n=3,4,是单调减数列 因此,序列x n (n3)是单调减,有下界 因此 存在 又由于 所以有 从而 则 18.计算二重积分 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解:画出二重积分区域 D 1 是 D的第一象限部分(如下图),由对称性得 19.设 A,B,X 均是三阶矩阵,其中 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解:由 AX-B=BX

    15、,得(A-B)X=B(*) 其中 将 X和 B按列分块设 X= 1 , 2 , 3 ,B= 1 , 2 , 3 ,方程(*)即为(A-B) 1 , 2 , 3 = 1 , 2 , 3 ,即解三个线性方程组(A-B) i = i ,i=1,2,3 对增广矩阵 作初等行变换 当 a=-1时, 无解 当 a-1 时, 有唯一解 其中(A-B) 1 = 1 ,有解, (A-B) 2 = 2 有解, (A-B) 3 = 3 有解, (*)得唯一解 20.设 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX,r(A)=1,A 的每行元素之和为 2,当 X=2,4,0 T 时, 求 f(x 1 ,x 2 ,

    16、x 3 )=X T AX在 处的值,即 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )| X= = T A (分数:11.00)_正确答案:()解析:解:因 A有 1 =2,对应的特征向量为 又 r(A)=1,|A|=0,故 A有特征值 2 = 3 =0(二重),对应 2 = 3 =0的特征向量设为 =x 1 ,x 2 ,x 3 T ,则 和 1 正交 易得 2 =1,-1,0 T , 3 =1,1,-2 T (取 2 也与 3 正交),将 由 1 , 2 , 3 线性表示,设为 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ,由 解得 x 1 =2,x 2 =-1,x 3 =1,即 =2 1 - 2 + 3

    17、 故 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )| X= = T A=(2 1 - 2 + 3 ) T A(2 1 - 2 + 3 ) =(2 1 - 2 + 3 ) T A2 1 =4(2 1 - 2 + 3 ) T 1 也可由 A 1 , 2 , 3 =2 1 , 2 , 3 直接求得 A,再计算 T A其中 掷两枚骰子,X 和 Y分别表示掷出的最小点与最大点求:(分数:11.01)(1).(X,Y)的联合分布律;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:(X,Y)的联合分布律为 (2).X和 Y的边缘分布律;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:X 与 Y的边缘分布律分别为 (3).E(X),E(Y),D(X),D(Y)(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:由 X的边缘分布律,得 同理可得 设 X,Y 的联合概率密度函数为 (分数:11.01)(1).求常数 A;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:因为 (2).证明随机变量 Y具有如下性质:对任意的 s,t0,有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt);(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:Y 的边缘密度为 故对 t0,有 从而 (3).求 E(X)(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:因为 则


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