1、考研数学三-396 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)为定义在(0，+)的正函数， 上单调递减，则 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f(a)+f(b)C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)03.函数 f(x)在
2、0，+)上连续，并满足条件 ，则_ A B C A 为正数 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)是偶函数， （分数：4.00）A.可导B.连续，左、右两侧导数都存在，但不相等C.连续，左、右两侧导数都不存在D.不连续5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，则下列说法错误的是_ A0，B0 AB0 BC ABAC BE ABA A 可逆，B 可逆 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 =0， 2 =1， 3 =-1，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 k 1 ，k 2 是任意常数，则非齐次线性方程组 AX= 2 +
3、3 的通解是_（分数：4.00）A.k11+k22+3B.k11+k2(2-3)+2C.k11+2+3D.k11+2-37.设随机变量 XN(0，1)，Y 的分布为 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.38.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则_（分数：4.00）A.X 与 Y 一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X+Y 服从一维正态分布D.X 与 Y 未必独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=f“(0)=1则 （分数：4.00）10.设函数 z=z(x，y)由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2
4、y-3z 确定，则 （分数：4.00）11.设函数 y=f(x)由参数方程 （分数：4.00）12.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx 是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）13.设向量 =b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 T 可由向量组 1 =1，1，0，0 T ， 2 =0，1，1，0 T ， 3 =0，0，1，1 T ， 4 =1，0，0，1 T 线性表出，则 b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 应满足条件 1 （分数：4.00）14.设某糖厂的糖果包装机，包装好的糖果的重量
5、X 服从正态分布，今已知其标准差为 =0.01(kg)每日开工后在生产线上抽测 n 袋，得到均值 在显著性水平 =0.05 下，要求假设“E(X)=0.5(kg)”的拒绝域为： 0.5049 或 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求微分方程 xy“+y“=x 2 +1 满足条件 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)=x 4 +x 3 -1求 f(x)全部零点的个数，并估计每个零点所在区间，使估计区间的长度不超过 0.5 （分数：10.00）_18.设函数 z=z(x，y)由方程 x+y=z+e z 确定，且 （分数：1
6、0.00）_19.已知 f(x)，g(x)在闭区间a，b上连续，证明：存在 (a，b)满足 （分数：10.00）_20.设线性非齐次方程组 （分数：11.00）_21.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素为 a ij =ij，i=1，2，n，j=1，2，n，B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素为 b ij =i 2 ，i=1，2，n，j=1，2，n证明 AB （分数：11.00）_22.设某网络服务器首次失效时间服从参数为 的指数分布 E()现随机购得 4 台求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台其工作寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命； ()事件
7、B：有且仅有一台工作寿命小于此类服务器期望寿命 （分数：11.00）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(2).证明 （分数：3.67）_(3).求 D( （分数：3.67）_考研数学三-396 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)为定义在(0，+)的正函数， 上单调递减，则 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f(a)+f(b) C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增解析：解析 在(0，+)上单调
8、递减，又 f(x)，a，b 均为正数，则 2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 f(x)是奇函数，则 f(0)=0，f“(x)是偶函数，f“(x)是奇函数所以，由在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0，得出在(0，+)内 f“(x)=f“(-x)0，f“(x)=-f“(-x)03.函数 f(x)在0，+)上连续，并满足条件 ，则_ A B C A 为正数 D （分数
9、：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 其中 0 1 ， 2 x 类似地推导下去，可得 0f(x)x n f( n )，0 1 ， 2 ， n x，n=1，2， 由此可知，当 x0，1)时，f(x)0由连续性可得 类似可推出，当 x1，2时，f(x)0，如此类推，可知当 x0，+)时，f(x)0因此有 4.设 f(x)是偶函数， （分数：4.00）A.可导B.连续，左、右两侧导数都存在，但不相等 C.连续，左、右两侧导数都不存在D.不连续解析：解析 令 t=e 1-cosx -1，x0 t0 + ，f(0)=0 因为 ，所以 由于 所以 f(x)在 x=0 处右连续 由于 f(x)
10、是偶函数， 因此 f(x)在 x=0 处连续 又 5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，则下列说法错误的是_ A0，B0 AB0 BC ABAC BE ABA A 可逆，B 可逆 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 四项都是错误的，举出反例即可 对 但 AB=0 对 取 有 AB=AC=0 对 取 有 AB=A 2 =A 对 可逆， 6.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 =0， 2 =1， 3 =-1，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 k 1 ，k 2 是任意常数，则非齐次线性方程组 AX= 2 + 3 的通解是_（分数：4.00）A.k11+k22
11、+3B.k11+k2(2-3)+2C.k11+2+3D.k11+2-3 解析：解析 由题设条件可知，A 1 =0 1 =0，A 2 = 2 ，A 3 =- 3 ，知 7.设随机变量 XN(0，1)，Y 的分布为 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 记 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，则 由全概率公式，得 所以有 F Z (z)=P(XYz) =P(Y=-1)PX(-1)z+P(Y=0)P(X0z)+P(Y=1)P(X1z) 8.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则_（分数：4.00）A.X 与 Y 一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X
12、+Y 服从一维正态分布D.X 与 Y 未必独立 解析：解析 若(X，Y)服从二维正态分布则 X 和 Y 不相关与独立是等价的(X，Y)服从二维正态分布，则 X，Y 的联合分布密度函数为 X 和 Y 都服从正态分布，是指(X，Y)关于 X 和 Y 的边缘分布都是正态分布， 即 Y 的分布密度为 是正态分布 Y 的分布密度为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=f“(0)=1则 （分数：4.00）解析：-5解析 10.设函数 z=z(x，y)由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 确定，则 （分数：4.00）解析：1 解析
13、令 F(x，y，z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z)=0，则 11.设函数 y=f(x)由参数方程 （分数：4.00）解析： 解析 由参数方程得 12.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx 是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）解析：f(x)=sinx-2cosx 解析 依题可知，齐次方程 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=0 的两个线性无关解为 13.设向量 =b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 T 可由向量组 1 =1，1，0，0 T ， 2 =0，1，1，0 T ，
14、 3 =0，0，1，1 T ， 4 =1，0，0，1 T 线性表出，则 b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 应满足条件 1 （分数：4.00）解析：b 4 -b 3 +b 2 -b 1 =0 解析 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ，即 对增广矩阵作初等行变换 14.设某糖厂的糖果包装机，包装好的糖果的重量 X 服从正态分布，今已知其标准差为 =0.01(kg)每日开工后在生产线上抽测 n 袋，得到均值 在显著性水平 =0.05 下，要求假设“E(X)=0.5(kg)”的拒绝域为： 0.5049 或 （分数：4.00）解析
15、：16 解析 XN(， 2 )，其中 =0.01，=0.5，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 16.求微分方程 xy“+y“=x 2 +1 满足条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：思路一：当 x0 时，原方程化为 由通解公式得 由微分方程易知 y“(0)=1，则 C=0，所以 由于 根据 得 所以 思路二： 上式令 x=0，得 则 17.设函数 f(x)=x 4 +x 3 -1求 f(x)全部零点的个数，并估计每个零点所在区间，使估计区间的长度不超过 0.5 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：
16、首先，因为 f(0)=-10， ，所以在(-，0)和(0，+)内至少各有一个零点又 f“(x)=4x 3 +3x 2 =x 2 (4x+3)，只有两个驻点 x 1 =0， ，且 在 内有一个零点；在(0，+)内有一个零点，共有两个零点 因为 f(-2)=70，f(-1)=-10， 所以在区间 中有一个根又由 f(1)=10，f(0)=-10， 所以在区间 18.设函数 z=z(x，y)由方程 x+y=z+e z 确定，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 由于 x 与 y 对称，则有 所以 19.已知 f(x)，g(x)在闭区间a，b上连续，证明：存在 (a，b)满足 （分数：1
17、0.00）_正确答案：()解析：证明 记 则 F(a)=0，F“(x)=f(x)；G(b)=0，G“(x)=-g(x) 作辅助函数： 和 (x)=F(x)G(x)则有 且 (a)=(b)=0将罗尔定理用于函数 (x)=F(x)G(x)，从而 (a，b)，“()=0即 ()=F“()G()+G“()F()=0， 由此推出 20.设线性非齐次方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：对增广矩阵作初等行变换 当 a1 时， 有唯一解，其解为 故其解为 当 a=1、b-1 时， 无解； 当 a=1、b=-1 时， 21.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素为 a ij =
18、ij，i=1，2，n，j=1，2，n，B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素为 b ij =i 2 ，i=1，2，n，j=1，2，n证明 AB （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 由题意， 是 A 的 n-1 重特征值，A 的非零特征值 r(B)=1，=0 是 B 的 n-1 重特征值，B 的非零特征值 A 是实对称阵，故 B 对应于 n-1 重特征值 =0，因 r(B)=1，故有 n-1 个线性无关的特征向量，故 B 故 22.设某网络服务器首次失效时间服从参数为 的指数分布 E()现随机购得 4 台求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台其工作寿命(首次失效时间)
19、等于此类服务器期望寿命； ()事件 B：有且仅有一台工作寿命小于此类服务器期望寿命 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：设服务器首次失效时间为 X，X 的分布密度 ()由于 X 服从指数分布，为连续型随机变量而连续型随机变量取任一固定值的概率为零，因此 P(A)=0 ()先求期望寿命 E(X) 因此一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(X)，购买 4 台服务器，其中寿命小于 E(X)的台数应服从二项分布 B(4，p)，所以事件 B 的概率为 设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解：依题知，似然函数为 取对数然后求导可得 令 得 的最大似然估计为 (2).证明 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解： 故 ，即 (3).求 D( （分数：3.67）_正确答案：()解析：解： 故 D(|X|)=E(|X| 2 )-E 2 (|X|)=2 2 - 2 = 2 ， 则
