1、考研数学三-395 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设存在正整数 N，使得 nN 时，有 a n Ab n ，且 ，则_ A ，但 不一定存在 B 与 都存在，但不一定相等 C 与 都不一定存在 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断
2、有_（分数：4.00）A.一个B.两个C.三个D.四个3.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足 的连续函数， （分数：4.00）AB.2C.-2D.-4. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则线性方程组 ABX=0 与 BX=0 是同解方程组的一个充分条件是_（分数：4.00）A.r(B)=sB.r(A)=sC.r(B)=nD.r(A)=m6.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，A，B 合同，则下列结论错误的是_（分数：4.00）A.2A 和 3B 合同B.A+kE 和 B+kE
3、合同C.存在可逆矩阵 P，AP 和 BP 合同D.A，B 等价7.设(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布 N(0，0， 2 ， 2 ，0.5)，令 （分数：4.00）A.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但不相互独立C.Y1 和 Y2 都服从正态分布，而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差，但不服从正态分布8.设有 2 个袋子，各装 r+b 只球，其中红球 r 只，黑球 b 只今从第 1 个袋子随机取一球，放入第 2 个袋子，再从第 2 个袋子再随机取一球令 （分数：4.00）A.X1 和 X2 独立，不同分布B.X1 和
4、X2 不独立，同分布C.X1 和 X2 独立，同分布D.X1 和 X2 不独立，不同分布二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 Y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）10.定积分 （分数：4.00）11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则 （分数：4.00）13.设 A，B 均是三阶矩阵，其中|A|=2，|B|=-3，则 （分数：4.00）14.设 XN(0，2 2 )，X k
5、(k=1，2，3，4)是来自总体 X 的简单样本，令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ， 若统计量 S 2 服从 2 (n)分布，则 a，b，n 分别等于 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).求 （分数：5.00）_(2).求级数 （分数：5.00）_17.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |ax
6、b，0yf(x)的重心，证明 （分数：10.00）_18.已知平面图形 D 由 y 轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D 的面积和 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 （分数：10.00）_设向量组(i) 1 =(2，4，-2) T ， 2 =(-1，a-3，1) T ， 3 =(2，8，b-1) T ； () 1 =(2，b+5，-2) T ， 2 =(3，7，a-4)T， 3 =(1，2b+4，-1) T 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )（分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，B 不等
7、价；（分数：5.50）_(2).问 a，b 为何值时，向量组()，()等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_设 =(1，2，-1) T ，=(1，-2，2) T ，A= T （分数：11.00）(1).求 A 的非零特征值 1 及其对应的特征向量 1 ；（分数：5.50）_(2).设 是任一 3 维列向量，证明 A 和 1 成比例，并当 =(2，-6，-2) T 时，求出 A 和 1 的比例系数（分数：5.50）_某种产品的寿命 X 服从指数分布，概率密度为 （分数：11.00）(1).问售出一件产品，厂家的平均收入是多少?（分数：5.50）_(2).若某公司买了
8、6 件此种产品使用，问恰有 2 件在一年内损坏的概率（分数：5.50）_19.总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-395 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设存在正整数 N，使得 nN 时，有 a n Ab n ，且 ，则_ A ，但 不一定存在 B 与 都存在，但不一定相等 C 与 都不一定存在 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为存在 N，当 nN 时，a n Ab n ，所以 0A-a n b n -a n 对上述不等式令n，由题设条件及夹逼准则，则有 ，即得 另外由 b n =(b
9、 n -a n )+a n ，又得到 注意：由 a n b n 和 推不出 存在，例如： 2.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_（分数：4.00）A.一个B.两个C.三个 D.四个解析：解析 对选项：用反证法，如果 f(x)在(a，b)内没有拐点，则 f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的即 f“(x)在(a，b)内是单调减
10、的，或者 f“(x)在(a，b)内是单调增的因此 f“(x)在(a，b)至多只有一个零点但由条件 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0，可推出 f(x)在(a，b)内至少还有一个零点，即 f(x)在a，b内至少有三个零点，因此 f“(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与 f“(x)在(a，b)内单调矛盾因此正确 对选项：f(x)在a，b上连续 f(x)在a，b上有最大值、最小值点； f(a)=f(b)和 f“(a)f“(b)0 最大值、最小值点不在端点； 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，正确 对选项：不正确
11、，可举反例，如函数 满足条件：在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0其导函数为 3.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足 的连续函数， （分数：4.00）AB.2 C.-2D.-解析：解析 依题得 令 u=t-，得 因为 f(u)是连续函数，所以 F(t)可导，且 所以 4. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 又 则 5.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则线性方程组 ABX=0 与 BX=0 是同解方程组的一个充分条件是_（分数：4.00）A.r(B)=
12、sB.r(A)=s C.r(B)=nD.r(A)=m解析：解析 显然，若 X 0 0 使得 两边左乘 A，得 ABX 0 =0；反之，若有 X 0 0 使得 ABX 0 =0，且 r(A)=s(A 的列向量组线性无关)，则 ，即由 ABX 0 =0 6.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，A，B 合同，则下列结论错误的是_（分数：4.00）A.2A 和 3B 合同B.A+kE 和 B+kE 合同 C.存在可逆矩阵 P，AP 和 BP 合同D.A，B 等价解析：解析 A，B 合同 A，B 对应的二次型有相同的正、负惯性指数，但 A+kE 和 B+kE 的正、负惯性指数可以不同，例如： ，A，B
13、合同，取 k=2，A+2E= ，A+2E 和 B+2E 正负惯性指数不同，故不合同，B 是错误的，故应选 B 或利用排除法： A，B 合同 X T AX，Y T BY 有相同的正负惯性指数 2X T AX 和 3Y T BY 有相同的正、负惯性指数，A 正确 A，B 合同，则存在可逆矩阵 C，使得 C T AC=B，取 P=C，两边右乘 C=P，得 C T ACC=C T (AC)C=BC， 故 AC 和 BC 合同，C 正确 A，B 合同，存在可逆矩阵 C，使 C T AC=B，且 r(B)=r(C T AC)=r(A)，故 A，B 等价 7.设(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布 N(0
14、，0， 2 ， 2 ，0.5)，令 （分数：4.00）A.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但不相互独立 C.Y1 和 Y2 都服从正态分布，而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差，但不服从正态分布解析：解析 因为(X 1 ，X 2 )N(0，0， 2 ， 2 ，0.5)，则其边缘分布服从正态分布：X 1 N(0， 2 )，X 2 N(0， 2 )，且线性随机函数 Y=aX 1 +bX 2 服从正态分布则 8.设有 2 个袋子，各装 r+b 只球，其中红球 r 只，黑球 b 只今从第 1 个袋子随机取一球，放入第 2 个袋子，
15、再从第 2 个袋子再随机取一球令 （分数：4.00）A.X1 和 X2 独立，不同分布B.X1 和 X2 不独立，同分布 C.X1 和 X2 独立，同分布D.X1 和 X2 不独立，不同分布解析：解析 由已知得 X 1 的分布为 X 2 的分布是 因为 PX 1 =1，X 2 =1=PX 1 =1PX 2 =1|X 1 =1 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 Y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 y“-4y“+y“=0 的特征方程为 3 -4 2 +4=0，特征根是 1 =0， 2 = 3 =2因而齐次微分方程一般解为 观察得到非齐次微
16、分方程的一个特解为 因此非齐次微分方程的一般解为 10.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一： 又 则 思路二： 令 =arcsinx，则 x=sin，dx=cosdq，故 11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）解析： 解析 其中 在 x 与 ln(1+x)之间，即 由夹逼准则得到 ，再由极限运算准则得 12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则 （分数：4.00）解析：1 解析 由已知得 所以 13.设 A，B 均是三阶矩阵，其中|A|=2，|
17、B|=-3，则 （分数：4.00）解析：解析 14.设 XN(0，2 2 )，X k (k=1，2，3，4)是来自总体 X 的简单样本，令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ， 若统计量 S 2 服从 2 (n)分布，则 a，b，n 分别等于 1 （分数：4.00）解析： 解析 设 Y 1 =X 1 -2X 2 ，Y 2 =3X 3 -4X 4 ，由 E(X i )=0，D(X i )= 2 =4，i=1，2，3，4则 E(Y 1 )=E(Y 2 )=0，D(Y 1 )=D(X 1 -2X 2 )=D(X 1 )+4D(X 2 )=20， D(Y 2
18、 )=D(3X 3 -4X 4 )=9D(X 3 )+16D(X 4 )=100 因此 Y 1 N(0，20)，Y 2 N(0，100)规范化得 ， 由 2 分布的定义知 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：利用等价无穷小：1-e x2 -x 2 ，sin(x 2 )x 2 16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由已知得 F“(x)=f(x)，又由 F(x)f(x)=cos2x，得 从而有 F 2 (x)=sin2x+C
19、又由 F(0)=1，得 C=1，所以 则 因此 设 （分数：10.00）(1).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 记 于是 所以 (2).求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对于幂级数 ，有 ，则 ，故收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1) 当 x=-1 时，对于级数 ，有 ，从而 其中 条件收敛， 绝对收敛，因此级数 条件收敛 当 x=1 时，对于级数 ，因有 a n 0 及 ，故 发散， 因此级数 17.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |axb，0yf(x)的重心，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：
20、证明 本题要证 ，即要证 思路一：将 b 视为变量，引入变上限的积分 F(x)，证明函数不等式 F(x)0 令 ，则 F(a)=0 又 其中 (a，x)，又 f(x)单调增加，因而 F(x)0，令 x=b，则不等式(*)成立 思路二：利用积分的不等性质和对区间的可加性，按被积函数同号划分区间 其中用到：当 ，当 思路三：利用广义积分中值定理 因为，其中 18.已知平面图形 D 由 y 轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D 的面积和 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：曲线 y=e x (x0)在(x 0 ，e x0 )处的
21、切线方程为 y=e x0 +e x0 (x-x 0 )，令 x=0，y=0，得 x 0 =1，故曲线 y=e x (x0)过原点的切线方程为 y=e+e(x-1)=ex，如下图，可知 D 的面积为 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 设向量组(i) 1 =(2，4，-2) T ， 2 =(-1，a-3，1) T ， 3 =(2，8，b-1) T ； () 1 =(2，b+5，-2) T ， 2 =(3，7，a-4)T， 3 =(1，2b+4，-1) T 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )（分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为
22、何值时，A，B 不等价；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： 同型，且 r(A)=r(B)将 A，B 合并成增广矩阵 ，并作初等行变换化阶梯形 由(*)知，当 a1、b-1 时，r(A)=r(B)=3，A B； 当 a=1、b 任意；或 b=-1、a 任意时，均有 r(A)=r(B)=2，A (2).问 a，b 为何值时，向量组()，()等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析： () ()，()向量组之间可以相互表出 ( 1 ， 2 ， 3 )X= i (i=1，2，3)，( 1 ， 2 ， 3 )X= i (i=1，2，3)都有解 r()
23、=r()，r()=r()，其中()=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ) 由(*)知，当 a1、b-1 时，r()=r()=r()=3，故() ()； 当 a=1、b=-1 时，r()=r()=r()=2，故() 设 =(1，2，-1) T ，=(1，-2，2) T ，A= T （分数：11.00）(1).求 A 的非零特征值 1 及其对应的特征向量 1 ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：A= T ，r(A)=1，A 的非零特征值为 1 = T =1，-2，2 =-5，对应的特征向量满足(-5E-A)X=0 (2).设 是任一 3 维列向量，证明 A 和 1 成比例，
24、并当 =(2，-6，-2) T 时，求出 A 和 1 的比例系数（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：r(A)=1，A 还有特征值 2 = 3 =0，设对应的特征向量为 2 ， 3 将 用 1 ， 2 ， 3 线性表出，设表出式为 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，则 A=A(x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 )=x 1 1 1 +x 2 2 2 +x 3 3 3 =x 1 1 1 得证 A 和 1 成比例，比例系数为 x 1 1 ，；当 =(2，-6，-2) T 时，A 的对应于 2 = 3 =0的特征向量满足 AX=0，其同解方程为 x 1 -2x 2 +2x 3 =
25、0，解得 2 =(0，1，1) T ， 3 =(4，1，-1) T ，将 由 1 ， 2 ， 3 线性表出 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 某种产品的寿命 X 服从指数分布，概率密度为 （分数：11.00）(1).问售出一件产品，厂家的平均收入是多少?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：设厂家售出一件产品收入为 Y，由于 X 服从参数为 5 的指数分布，故 E(X)=5(年)，则 平均收入为 E(Y)=0.1P(0X1)+0.3P(1X5)+0.6P(X5)，由于 ，所以 (2).若某公司买了 6 件此种产品使用，问恰有 2 件在一年内损坏的概率（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：因为 p=P(X1)=1-e -0.2 =0.181所以，由独立重复实验可知 19.总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：取一组样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，均大于等于 ，于是有似然函数 显然，当 取可能的最大值时，L()为最大 而 取值范围是 0minx 1 ，x 2 ，x n ，故当 =minx 1 ，x 2 ，x n 时，L()的最大 因此， 的最大似然估计为 即最大似然估计量为 由于 所以 的分布函数为 的分布为密度为 所以 所以
