1、考研数学三-394 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在区间(0，+)内可导，下述论断正确的是_（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f“(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f“(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内 f“(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界D.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f“(x)在(0，)内亦必有界2.设 F(x)可导，则下述命题不正确的是_（分数：4.00）A.若
2、 F(x)为奇函数，则 F“(x)必为偶函数B.若 F“(x)为偶函数，则 F(x)必为奇函数C.若 F(x)为偶函数，则 F“(x)必为奇函数D.若 F“(x)为奇函数，则 F(x)必为偶函数3.下列积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设在 x0 处，f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A.没有驻点B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点5.设齐次线性方程组 Ax=0 有解 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，6) T
3、 其余 Ax=0 的解向量均可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则 Ax=0的基础解系为_（分数：4.00）A.1，2B.1，2，3C.2，3，4D.1，2，3，46.设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则矩阵 A-B 2 是对称阵，反对称阵，可逆阵，正定阵，四个结论中，正确的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设两个随机事件 A 与 B，两个随机变量 X，Y 如下： （分数：4.00）A.事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 独立B.事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 不独立C.事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 不
4、独立D.事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 独立8.设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X 的一组样本值，则 PX=0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.直角坐标中的累次积分 （分数：4.00）10.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）11.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )围成的平面区域(如下图)记为 D，则二重积分 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设方程组 （分数：4
5、.00）14.设 Y 2 (200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于 1， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设三角形三边的长分别为 a，b，c，此三角形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离 （分数：10.00）_16.设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 在 x0 处满足 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).证明：f(x)在 x=0 处连续；（分数：5.00）_(2).求区间(-1，+)上的 f“(x)，并由此讨论区间(-1，+)上 f(x)的单调性（分数：5.00）_17.设常数 （
6、分数：10.00）_18.设 ，D=(x，y)|x|y1求 （分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).求方程组 Ax=0 的基础解系和通解；（分数：5.50）_(2).设 B 43 ，求满足 AB=E 的所有 B（分数：5.50）_19.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_设随机变量 T 为-1，3上的均匀分布，令 （分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_(2).PY=0|X=1；（分数：3.67）_(3).方差 D(X-Y)（分数：3.67）_设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，且 及统计量 （分数：11
7、.00）(1).求 EY；（分数：5.50）_(2).=0 时，求 （分数：5.50）_考研数学三-394 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在区间(0，+)内可导，下述论断正确的是_（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f“(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f“(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内 f“(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界 D.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f“(x)
8、在(0，)内亦必有界解析：解析 直接证明 C 是正确的，设 f“(x)在(a，b)内有界，|f“(x)|M 1 ，当 x(a，b)时，对于(a，b)内的任意两点 x 0 与 x，固定 x 0 ，则由中值定理得 f(x)=f(x 0 )+f“()(x-x 0 )， |f(x)|f(x 0 )|+M 1 (b-a)，对于 x(a，b) 而右边是一确定的数，说明|f(x)|M(有界)即证明了：若 f“(x)在(a，b)内有界，则 f(x)在(a，b)内亦有界所以如果在(a，b)内 f(x)无界，则 f“(x)在(a，b)内亦必无界 其它 A，B，D 三项均可举出反例说明它们不正确 A 的反例： 在区
9、间(1，+)内无界， 在区间(1，+)内却是有界的这是因为 ，所以 有界，又显然 有界，所以|f“(x)|在(1，+)内有界 B 的反例：f“(x)=2xsinx 2 在区间(0，+)内无界，但 f(x)=-cosx 2 在区间(0，+)内有界 D 的反例： 在区间(0，1)内无界，但 2.设 F(x)可导，则下述命题不正确的是_（分数：4.00）A.若 F(x)为奇函数，则 F“(x)必为偶函数B.若 F“(x)为偶函数，则 F(x)必为奇函数 C.若 F(x)为偶函数，则 F“(x)必为奇函数D.若 F“(x)为奇函数，则 F(x)必为偶函数解析：解析 A，C，D 都是正确的，证明如下：
10、A 是正确的设 F(x)为奇函数：F(-x)=-F(x)， 两边对 x 求导，得-F“(-x)=-F“(x)，即 F“(-x)=F“(x) 故知 F“(x)是偶函数 C 是正确的，设 F(x)为偶函数：F(-x)=F(x)， 两边对 x 求导，得-F“(-x)=F“(x)， 所以 F“(x)是奇函数 D 是正确的设 F“(x)为奇函数，令 f(x)=F“(x)，即设 f(x)为奇函数： f(-x)=-f(x)， 两边对 t 从 0 到 x 积分，得 左边作积分变量变换，令-t=u，得 右边 所以得到 F(-x)=F(x)， 即 F(x)为偶函数 B 是不正确的，反例：设 F“(x)=x 2 为
11、偶函数， 3.下列积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 可直接计算： 对于 B，由于 不是反常积分 对于 C， 收敛 对于 D，作积分变量变换，令 4.设在 x0 处，f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A.没有驻点 B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点解析：解析 5.设齐次线性方程组 Ax=0 有解 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，6) T 其余 Ax=0 的解向量均可由 1 ， 2 ， 3 ， 4
12、 线性表出，则 Ax=0的基础解系为_（分数：4.00）A.1，2 B.1，2，3C.2，3，4D.1，2，3，4解析：解析 向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大线性无关组为 Ax=0 的基础解系，因为 6.设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则矩阵 A-B 2 是对称阵，反对称阵，可逆阵，正定阵，四个结论中，正确的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因(A-B 2 )T=A T +(-B)B T =A T +(B T B) T =A T +B T B=A-B 2 ， 故 A-B 2 是对称阵， 又任给 x0，则有 x T (A-B2)x=x
13、 T Ax-x T (-B) T Bx=x T Ax+(Bx) T Bx， A 正定，x T Ax0，(Bx) T (Bx)0则 x T (A-B 2 )x0，故 A-B 2 是正定阵 A-B 2 是正定阵，则 A-B 2 是可逆阵，故结论，正确，应选 C7.设两个随机事件 A 与 B，两个随机变量 X，Y 如下： （分数：4.00）A.事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 独立B.事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 不独立C.事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 不独立D.事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 独立 解析：解析 若 X 与 Y 不相关，则
14、 E(XY)=EXEY，即 P(AB)=P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 独立 若 X 与 Y 不相关且 P(A)=P(B)=p，由 X 与 Y 的联合概率分布知，X 与 Y 独立8.设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X 的一组样本值，则 PX=0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 XP()，则 ，x=0，1，2，从而 PX=0=e - 先求 的最大似然估计值的一般形式对于样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 取自然对数 令 ，解之得 的最大似然估计值 由于函数 u=e - 具有单值反
15、函数 =-lnu，由最大似然估计的不变性知 PX=0=e - 的最大似然估计值为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.直角坐标中的累次积分 （分数：4.00）解析： 解析 按题目上、下限，积分区域 D 如图阴影所示，对 y 的上限方程为 ，化为极坐标为 r=2acos 对 y 的下限方程为 ，化为极坐标为 r=4asin OA 的倾角记为 0 ， 10.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）解析：解析 11.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )围成的平面区域(如下图)记为 D，则二重积分 （分数：4.00）解
16、析： 解析 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以 12. （分数：4.00）解析：-1解析 13.设方程组 （分数：4.00）解析：2 解析 法一 解方程组()求出 x 1 ，x 2 ，x 3 ，代入即得 对方程组()的增广矩阵作初等行变换， 14.设 Y 2 (200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于 1， （分数：4.00）解析： 解析 由 Y 2 (200)知， ，其中 X 1 ，X 2 ，X 200 相互独立且均服从N(0，1)进而知 ，i=1，2，200由中心极限定理知 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设三角形三边的长分别为 a，b，c，此三角
17、形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 P 为三角形内的任意一点，该点到长分别为 a，b，c 的边的距离分别为 x，y，z由三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz-2S=0 下的最大值令 W=xyz+(ax+by+(z-2S). 由拉格朗日乘数法， 解得 显然当 P 位于三角形边界上时，f=0 为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值由于驻点唯一，故当 时，f 最大， 16.设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 在 x0 处满足 （分数：10.00）_正确答案
18、：()解析：解 由 ，有 所以 令 ，原方程化为(1+u 2 )f“+2uf“=0 这是关于 f“的一阶线性方程(或变量分离方程)，即 (1+u 2 )(f“)“+2u(f“)=0 解得 设 （分数：10.00）(1).证明：f(x)在 x=0 处连续；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由题设当 x(-1，+)，但 x0 时 所以 (2).求区间(-1，+)上的 f“(x)，并由此讨论区间(-1，+)上 f(x)的单调性（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 下面求区间(-1，+)上但 x0 处的 f“(x)： 为讨论 f“(x)的符号，取其分子记为 g(x)，即令 g(x)=(
19、1+x)ln 2 (1+x)-x 2 ，有 g(0)=0 g“(x)=2ln(1+x)+ln 2 (1+x)-2x，有 g“(0)=0， 当-1x+，但 x0 时， 由泰勒公式有 当-1x+，但 x0， ，g(0)=0 所以当-1x+但 x0 时 f“(x)0又由 17.设常数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 由 知 b0，从而 a0，f(0)=ab 2 0 所以当 x0 且|x|充分大时，f(x)0 由连续函数介值定理知至少存在一点 (-，0)，使 f()=0 以下证零点的唯一性由 f“(x)=6x 2 -6(a+b)x+6ab=6(x-a)(x-b) 知，在区间(-，a)内
20、f(x)严格单调增加，在该区间内 f(x)至多只有 1 个零点，所以，在该区间内 f(x)有且仅有 1 个零点此零点是负的，以下证明在区间(a，+)内 f(x)无零点 事实上，由以上讨论知 x=b 是 f(x)在区间(a，+)内的唯一驻点， f“(x)=12x-6(a+b)，f“(b)=6(b-a)0， 所以 f(b)是 f(x)在区间(a，+)内的唯一极小值，即最小值， 18.设 ，D=(x，y)|x|y1求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如图所示，将 D 分成三块，中间一块记为 D 3 ，左、右两块分别记为 D 1 与 D 2 设 （分数：11.00）(1).求方程组 Ax
21、=0 的基础解系和通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 增广矩阵 作初等行变换 由(*)式知 (2).设 B 43 ，求满足 AB=E 的所有 B（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由(*)式知，将 B，E 按列分块则 AB=E， 即 A( 1 ， 2 ， 3 )=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，A i =e i ，i=1，2，3 由 可知 A 1 =e 1 有特解 1 =(5，1，-3，1) T ，通解为 k+ 1 ； A 2 =e 2 有特解 2 =(4，3，-4，1) T ，通解为 l+ 2 ； A 3 =e 3 有特解 3 =(-2，0，1，0) T ，通解为 m
22、+ 3 故 19.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 设 =(a i ，a 2 ，a n ) T ，= (b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则矩阵 A= T . 于是 设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则 A 2 =aA， 2 =a，( 2 -a)=0 由于 0，故有 (-a)=0所以，矩阵 A 的特征值是 0 或 a又因为 所以 1 =a 是 A 的 1重特征值， 2 = 3 = n =0 是 A 的 n-1 重特征值 对于特征值 2 = 3 = n =0，齐次线性方程组(0E-A)x=0 其系数矩阵的秩 r(0E-A)=r(A)-r(A) =r( T
23、)minr()，r( T )=1 又因为 设随机变量 T 为-1，3上的均匀分布，令 （分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 X 与 Y 都只可能取 0，1 则(X，Y)的联合分布律为 (2).PY=0|X=1；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由(X，Y)的联合分布律得到边缘分布律 故 (3).方差 D(X-Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X，Y) 设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，且 及统计量 （分数：11.00）(1).求 EY；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，则 X 1 +X n-1 ，X 2 +X n-2 ，X n +X 2n 也独立 X i +X n+i (i=1，2，n)为 N(2，2 2 )的简单随机样本，可知其样本均值： ，样本方差： 由于 E(S 2 )=2 2 ，所以 (2).=0 时，求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 在 =0 时，X i +X n+i N(0，2 2 )，i-1，2，n，所以 则 可得
