1、考研数学三-393 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 a n 0(n=0，1，2，)，下列命题正确的是_ A若幂级数 的收敛半径 R0，则 B若 不存在，则幂级数 没有收敛半径 C若 的收敛域为-1，1，则 的收敛域也是-1，1 D若 的收敛区间为(-1，1)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有3.微分方程 y“-2y“+y=e x 有特解形式_ A.y*=Aex(A0) B.
2、y*=(A+Bx)ex(B0) C.y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0). D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0).（分数：4.00）A.B.C.D.4.在区间(-，+)内零点个数为_ （分数：4.00）A.0B.1C.2D.无穷多5.已知线性非齐次方程组 A 34 x=b(*)有通解 k 1 (1，2，0，-2) T +k 2 (4，-1，-1，-1) T +(1，0，-1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是_ A.(2，2，1，1) T B.(1，1，2，2) T C.(-2，-2，-1，-1) T D.(
3、2，2，-1，-1) T（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 ，且 （分数：4.00）A.a=-10B.a=10C.a-10D.a10.7.设 X 的概率密度为 f(x)， ，且 XY 相互独立，则 的概率密度为_ Af(z) Bf(-z) C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设平面区域 D(t)=(x，y)|0xy，0ty1， ，则 （分数：4.00）10
4、.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)则 （分数：4.00）11.微分方程 y“=(1-y 2 )tanx 满足 y(0)=2 的特解为 y= 1 （分数：4.00）12.已知 （分数：4.00）13.设 ， 为三维列向量，A= T ， T =3则|E-A n |= 1 （分数：4.00）14.设 X 的分布函数为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 D=(x，y)|0x2，0y2，计算 （分数：10.00）_(1).叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微及微分 dz| (x0，y
5、0) 的定义；（分数：3.33）_(2).证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f “ x (x 0 ，y 0 )与 f “ y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：3.33）_(3).举例说明第二小问的逆定理不成立（分数：3.33）_17.设常数 a0，讨论曲线 y=ax 与曲线 y=2lnx 的公共点的个数 （分数：10.00）_18.在区间 （分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=O 的所有 X；（分数：5.50）_(2).方程 AX-XA=E，其中 E 是 2 阶单位阵，问方程是否有解?若有解，求满
6、足方程的所有 X；若无解，说明理由（分数：5.50）_19.已知 （分数：11.00）_设 X 1 P( 1 )，X 2 P( 2 )，且 X 1 与 X 2 相互独立（分数：11.00）(1).求 X 1 +X 2 的分布；（分数：5.50）_(2).已知在 X 1 +X 2 =n(n1)的条件下，求 X 1 的条件分布（分数：5.50）_设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的概率密度为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为 （分数：11.00）(1).EZ，DZ；（分数：5.50）_(2).用切比雪夫不等式估计 P|Z|2（分数：5.50）_考研
7、数学三-393 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 a n 0(n=0，1，2，)，下列命题正确的是_ A若幂级数 的收敛半径 R0，则 B若 不存在，则幂级数 没有收敛半径 C若 的收敛域为-1，1，则 的收敛域也是-1，1 D若 的收敛区间为(-1，1)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 可见 是由 逐项求导而来而逐项求导后，收敛区间是不变的，所以 D 正确 逐项求导后，收敛域可能要缩小，例如 的收敛域为-1，1，而逐项求导后成为 ，收敛域为-1，1)C 不正确 收敛半径总是存在的，所以 B 不正确 由 ，
8、别当 =0 时，R=+；当 =+时，R=0；当 0+时， 但不能反推，由收敛半径 R0 不能反推 例如考虑幂级数 由于 所以当|x|1 时， 绝对收敛但当 x=1 时，级数 的通项 所以 发散，所以级数 的收敛半径 R=1但 2.曲线 （分数：4.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有 解析：解析 ，所以有铅直渐近线 x=0； 所以有水平渐近线 y=0(沿 x+方向)； 3.微分方程 y“-2y“+y=e x 有特解形式_ A.y*=Aex(A0) B.y*=(A+Bx)ex(B0) C.y*=(A+Bx+C
9、x2)ex(C0). D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0).（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为右边 e x 指数上的 1 是二重特征根，故特解的形式为 y*=Ax 2 e x (A0)即选项 C中 C0 的形式故选 C4.在区间(-，+)内零点个数为_ （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.无穷多解析：解析 f(x)为偶函数，f(0)0， ，从而知在区间 内 f(x)至少有 1 个零点，又当x0 时， 5.已知线性非齐次方程组 A 34 x=b(*)有通解 k 1 (1，2，0，-2) T +k 2 (4，-1，-1，-1) T +(1，0，-1，1) T
10、，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是_ A.(2，2，1，1) T B.(1，1，2，2) T C.(-2，-2，-1，-1) T D.(2，2，-1，-1) T（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程组(*)的通解足 由题意知 即 6.设 ，且 （分数：4.00）A.a=-10 B.a=10C.a-10D.a10.解析：解析 由 ，A 应有特征值 1 =1 2 = 3 =2 对应 2 = 3 =2 有 2 个线性无关特征向量，即有 r(2E-A)=1 故 r(2E-A)=1 7.设 X 的概率密度为 f(x)， ，且 XY
11、 相互独立，则 的概率密度为_ Af(z) Bf(-z) C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 X 的分布 F(x)，由 X，Y 相互独立，则 Z 的分布函数为 所以 Z 的概率密度为 8.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 XN(0， 2 )，有 X i N(0， 2 )， 选项 A 不正确，因为 选项 B 不正确，因为 选项 C 正确，因为 又 与 S 2 独立，则由 2 分布的可加性知 选项 D 不正确，因
12、为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设平面区域 D(t)=(x，y)|0xy，0ty1， ，则 （分数：4.00）解析：解析 10.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)则 （分数：4.00）解析：解析 11.微分方程 y“=(1-y 2 )tanx 满足 y(0)=2 的特解为 y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 分离变量，两边积分，得 则 (*) 改写任意常数并化简，得 由初始条件 y(0)=2，得 所以特解为 12.已知 （分数：4.00）解析： 解析 作积分变量代换，令 ，从而 上述极限存在且不为零的充要条件是 此时，该极限值等于 13.设 ，
13、 为三维列向量，A= T ， T =3则|E-A n |= 1 （分数：4.00）解析：1-3 n 解析 因为 T =( T ) T =3 T =3， 故 A= T =3 即 A 的其中一个特征值为 3，r(A)=1故有特征值 1 = 2 =0， 3 =3 故 A n 有特征值为 0，0，3 n ，E-A n 的特征值为 1，1，1-3 n ，故|E-A n |=1-3 n 14.设 X 的分布函数为 （分数：4.00）解析：3 解析 由 得 c=1由 ，得 1=2-b，故 b=1，再由 F(a + )=F(a)，得 a 2 -1=0，解得 a=1 或 a=-1 但当 a=-1 时， 三、解答
14、题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将第一个积分作积分变量代换，令 t=-u，并将变换后的 u 仍记为 t，并与第二项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是 从而 16.设 D=(x，y)|0x2，0y2，计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 作出区域 D，如图所示在 D 中作曲线 及虚线 ，将区域 D 分成 D 1 ，D 2 及 D 3 (1).叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微及微分 dz| (x0，y0) 的定义；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 定义：设 z=f(x，y)在点(
15、x 0 ，y 0 )的某邻域 U 内有定义，(x 0 +x，y 0 +y)U增量 其中 A，B 与 x 和 y 都无关， ，则称 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，并称 (2).证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f “ x (x 0 ，y 0 )与 f “ y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：3.33）_正确答案：()解析：证 设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则(*)式成立令 y=0，于是 令 x0，有 ，同理有 证明了 存在，并且 (3).举例说明第二小问的逆定理不成立（分数：3.33）_正确答案
16、：()解析：解 当 存在时，z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处未必可微反例： 设 易知有 两个偏导数存在，以下用反证法证出 f(x，y)在点(0，0)处不可微若可微，则有 f=f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+o()， 即 但此式是不成立的，例如取 y=kx， 17.设常数 a0，讨论曲线 y=ax 与曲线 y=2lnx 的公共点的个数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=2lnx 的定义域为 x0，故只要考虑右半平面 x0 上曲线 y=2lnx 与 y=ax 的公共点即可，令 f(x)=ax-2lnx，则讨论两曲线公共点的个数情况即是讨论函数 f(x)零点
17、情况 由题意知 令 f“(x)=0，得唯一驻点 ，且当 时，f“(x)0；当 时， f“(x)0 讨论零点个数如下： 若 ，即 ，由在 的左、右两侧 f(x)的严格单调性及连续函数介值 定理知，在区间 内 f(x)分别各有唯一零点； 若 ，此时 f(x)恰有 1 个零点； 若 18.在区间 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 易见 (0)=0，(1)=0是否还有其他的 x 使 (x)=0，为此考虑在区间 内 (x)是否还会变号 在区间 上， 由于分母 1+(e-1)x0，分子(e-1)x-(e-2)0，所以在区间 上，“(x)0， 又因 (0)=0，所以在区间 上，(x)0(x)
18、在该区间内部无零点， 再考虑在区间(0，1)上，“(x)同上，仍有分母大于零令 “(x)的分子为零，得 (x)的驻点 易见 0x 0 1在区间(0，x 0 )上，“(x)0，又因 (0)=0，所以在区间(0，x 0 )上，(x)0在区间(x 0 ，1)上，“(x)0，(1)=0，所以在区间(x 0 ，1)上，(x)0 再考虑在区间(1，+)上，仍有分母大于零，分子 1+(e-1)x-(e-1)=(e-1)(x-1)+10， 所以在区间(1，+)上，“(x)0又因 (1)=0，所以当 x(1，+)时，(x)0总结以上， 有 从而知 再考虑积分f(x)dx由分部积分： 在交界点 x=0 与 x=1
19、 处分别连续，于是有 最后得 设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=O 的所有 X；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 用待定元素法求 X 设 ，代入方程，得 得 取 x 3 =2k 1 ，得 x 2 =-k 1 取 x 4 =k 2 ，得 x 1 =k 2 故 (2).方程 AX-XA=E，其中 E 是 2 阶单位阵，问方程是否有解?若有解，求满足方程的所有 X；若无解，说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ，由第一小问得 故 19.已知 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 故有 1 =1+a， 2 =a， 3 =1-a 看特征方程是否有重根，对
20、任意 a， 1 =1+a 2 =a， 若 1 =1+a= 3 =1-a，则 a=0；若 2 =a= 3 =1-a，则 故当 a0 且 时， 1 2 3 ，A 有三个不同的特征值，可以相似对角化 当 时， ，是二重特征值 由于 ，对应线性无关特征向量只有一个， 当 a=0 时， 1 = 3 =1，是二重特征值 由于 ，则 r(E-A)=2，对应线性无关特征向量也只有一个， 设 X 1 P( 1 )，X 2 P( 2 )，且 X 1 与 X 2 相互独立（分数：11.00）(1).求 X 1 +X 2 的分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).已知在 X 1 +X 2 =n(n1)的条件下，求 X 1 的条件分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 其中 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的概率密度为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为 （分数：11.00）(1).EZ，DZ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 又 DY=E(Y 2 )-(EY) 2 ， 其中 则 DY=E(X 2 )-(-EX) 2 =E(X 2 )-(EX) 2 =DX=1， 故 (2).用切比雪夫不等式估计 P|Z|2（分数：5.50）_正确答案：()解析：解
