1、考研数学三-392 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，其中 xy 且 xy0又设 （分数：4.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点2.下列反常积分中，收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.幂级数 （分数：4.00）A.(-2，2)B.-2，2C.(-8，8)D.-8，84.设 （分数：4.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.函数连续，偏导数存在，但函数不可微D.函数可微5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则_（分数：4.00）A.当
2、 mn 时，必有|AB|=0B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABx=0 必有唯一零解D.当 nm 时，必有 r(AB)m6.设二次型 （分数：4.00）A.1B.2C.-1D.-27.设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则也必可以作为新分布函数的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.随机变量 XN(2，4)，YN(2，5)，且 D(X+Y)=DX-DY+14，则下列正确的是_（分数：4.00）A.E(XY)=EXEY+2(DX-DY).B.D(X-Y)=DYC.X，Y 独立D.X，Y 不相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设某产
3、品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格的边际为 s元，则产品的产量应是 1 （分数：4.00）10.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）11.设 a 为常数，x表示不超过 x 的最大整数，又设 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 A 相似于 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足 （分数：10.00）_16.设 a 为正常数，f(x)=xe a -ae x -x+
4、a. 证明：当 xa 时，f(x)0 （分数：10.00）_17.设 D 为曲线 y=x 3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算 （分数：10.00）_18.将函数 （分数：10.00）_19.设 （分数：10.00）_已知方程组 与方程组 （分数：11.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解；（分数：5.50）_(2).问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组?（分数：5.50）_已知 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 -3A+2E=O，且 B=A 2 -2A+3E.（分数：11.00）(1).求 B -1 ；（分数：5.50）_(2).证明：B
5、正定（分数：5.50）_已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Ae x(B-r) (-x+)，且有 EX=2DX试求：（分数：11.01）(1).常数 A，B 的值；（分数：3.67）_(2).E(X 2 +e X )的值；（分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_设总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 ， 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学三-392 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，其中 xy 且 xy0又设 （分数：4.00）
6、A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 解析：解析 当 x0 时， 所以 x=0 为 2.下列反常积分中，收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 通过具体计算，对于选项 C， 3.幂级数 （分数：4.00）A.(-2，2)B.-2，2C.(-8，8) D.-8，8解析：解析 用一般记号， 为了使用洛必达法则，将 用 x 表示，n相当于 x0，并注意到 x 大于 0 的时候，xsinx，所以可去掉绝对值号，考虑 所以收敛半径 R=8，收敛区间(-8，8)为讨论收敛域，讨论 x=8 处对应的级数的敛散性在 x=8 处，对应的级数的通项为 将 记成
7、x，由 所以 4.设 （分数：4.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.函数连续，偏导数存在，但函数不可微D.函数可微 解析：解析 |f(x，y)|x 2 +y 2 ，令(x，y)(0，0)，由夹逼定理有 故 A 不正确 同理 故 B 不正确 考虑点(0，0)处的 f，则 5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则_（分数：4.00）A.当 mn 时，必有|AB|=0 B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABx=0 必有唯一零解D.当 nm 时，必有 r(AB)m解析：解析 法一 r(AB)r(A)nm，AB 是 mm 矩阵，故必有|AB|=0
8、故应选 A其余的均错误，读者自行证明 法二 当 mn 时，方程组 B nm x=0 有非零解，即存在 x0，使 Bx=0 成立，两边左乘 A，得 ABx=0，其中x0，则|AB|=0，故应选 A6.设二次型 （分数：4.00）A.1B.2C.-1D.-2 解析：解析 因 p=q=1，故 r(f)=r(A)=1+1=2，对 A 作初等行变换， 7.设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则也必可以作为新分布函数的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 法一 应用分布函数的必要条件排除，由于 G i (x)(i=1，2，3，4)是分段函数形式，x=1是分界点
9、，于是立即想到要判断 是否成立因为 0F(1)1，经计算得 利用排除法，可得正确选项为 C 法二 直接验证 C 8.随机变量 XN(2，4)，YN(2，5)，且 D(X+Y)=DX-DY+14，则下列正确的是_（分数：4.00）A.E(XY)=EXEY+2(DX-DY).B.D(X-Y)=DY C.X，Y 独立D.X，Y 不相关解析：解析 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX-DY+14 把 DX=4，DY=5 代入上式，得 Cov(X，Y)=20故C，D 错误 A 选项不成立因为 F(XY)=Cov(X，Y)+EXEY=2+22=6而 EXEY+2(DX-DY)=22+2(4-
10、5)=2 B 选项成立，因为 D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X，Y)=4+DY-22=DY二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格的边际为 s元，则产品的产量应是 1 （分数：4.00）解析： 解析 需求对价格的弹性是 ，其中 Q 为需求量，即产量，p 为价格依题意， 收益函数 R=pQ，它对价格的边际即 由题意， 所以 10.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）解析：(2x-y)dx-xdy 解析 设 11.设 a 为常数，x表示不超过 x 的最大整数，又设 （分数：4.00
11、）解析：-2；2 解析 x表示不超过 x 的最大整数，例如=3，-=-4所以 因此对于所讨论的极限应分 x0 - 与 x0 + 讨论 12. （分数：4.00）解析： 解析 再令 tanx=t，有 x=arctant， 13.设 A 相似于 （分数：4.00）解析：1 解析 AB，则 2E-A2E-B， 14.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 由于 =0，则 X 与 Y 独立，故 X 与 Y 2 独立，所以 D(2X-Y 2 )=4DX+D(Y 2 ) 由 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0
12、时， 满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 原方程化为 设 ，于是上式变为常微分方程 由通解公式，解得 则 16.设 a 为正常数，f(x)=xe a -ae x -x+a. 证明：当 xa 时，f(x)0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 f(a)=0，f“(x)=e a -ae x -1，f“(x)=-ae x 0以下证明 f“(a)0 令 (a)=f“(a)=e a -ae a -1，有 (a)| a=0 =0，“(a)=-ae a 0 所以 (a)0(a0)，即 f“(a)0(a0) 将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开： 17.设 D 为曲线 y
13、=x 3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 画出区域 D，如图所示第一象限中的阴影部分记为 D 1 ，第三象限中的阴影部分记为 D 2 ， 而 由对称性可得 同理 18.将函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 展开成 x-2 的幂级数，令 x-2=a，即 x=u+2， 于是 变换为 将 “(u)展开成 u 的幂级数 两边从 t=0 到 t=u 作定积分，得 于是得到 (u)的展开式 回到 x，有 19.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 在第 2 个积分中，作积分变量代换，令 当 时， 当 时，t=0 于是 当 时
14、， 已知方程组 与方程组 （分数：11.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 方程组(*)的系数矩阵 已是阶梯形，求得基础解系 1 =(-1，2，-1，1，0) T ， 2 =(-1，-2，1，0，1) T ，方程组通解为 (2).问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 方程组(*)和(*)是同解方程组，将 代入方程组(*)的第 1，2 个方程，由 显然， 1 也满足方程组(*)的第 3 个方程， 将 代入方程组(*)的第 3 个方程，由 3(-1)+(-2)+1
15、+c=0，得 c=4 显然， 2 也满足方程组(*)的第 1，2 个方程 故知，当 a=-1，b=-2c=4 时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(*)的解 反之，当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组(*)的系数矩阵 方程组(*)的未知量个数 n=5，方程组(*)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(*)的解，故方程组(*)的解也全部是方程组(*)的解，方程组(*)和(*)是同解方程组 法二 方程组(*)和方程组(*)是同解方程组，方程组(*)和方程组(*)的系数行向量是等价向量组，可以相互表示，记方程组(*)的 3 个行向量为 1 ， 2 ， 3
16、，方程组(*)的 3 个行向量为 1 ， 2 ， 3 ，将( )作初等行变换，化成阶梯形，得 当 a=-1，b=-2，c=4 时， 1 ， 2 ， 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 反之，当 a-1，b=-2，c=4 时，因 已知 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 -3A+2E=O，且 B=A 2 -2A+3E.（分数：11.00）(1).求 B -1 ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设 A 2 -3A+2E=O， 得 A 2 =3A-2E代入 B，得 B=A 2 -2A+3E=3A-2E-2A+3E=A+E 又 A 2 -3A+2E=(A+E)(A-4E)+6E
17、=O， 即 得 B=A+E 可逆，且 (2).证明：B 正定（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 B T =(A 2 -2A+3E) T =B，B 是实对称矩阵， A 2 -3A+2E=O 两边右乘 A 的特征向量 ，得( 2 -3+2)=0，又 0，则 =1 或 2故 A 的特征值只能取值为 1 或 2B=A+E 的特征值只能取值为 2 或 3，均大于零，故 B 正定 或 B=A 2 -2A+3E=(A-E) 2 +2E，由正定矩阵的定义即得 B 正定已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Ae x(B-r) (-x+)，且有 EX=2DX试求：（分数：11.01）(1).常数 A，
18、B 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 与标准正态分布函数的概率密度 比较得： (2).E(X 2 +e X )的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：证 故 (3). （分数：3.67）_正确答案：()解析：证 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 设总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 直接计算 EX 和 E(X 2 )比较麻烦，事实上， ，故 E(X-)=EX-=， 得 EX=+；E(X-) 2 =E(X 2 -2X+ 2 )=E(X 2 )-2EX+ 2 =E(X 2 )-2(+)+ 2 = 2 + 2 =2 2 ， 得 E(X 2 )= 2 +2+2 2 ， 于是，由矩估计思想，用原点矩，有 - 2 再开平方得 所以 ， 的矩估计量为 (2).求 ， 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为似然函数为 于是 ，由此可知 lnL 关于 单调增加，即 L(x 1 ，x n ，)关于 单调增加， 又因为 ，故 的最大似然估计量为 令 解得 的最大似然估计量为
