1、考研数学三-391 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf“(x) 2 =sinx，且 f“(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的2.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同号D.与 x 异号3.
2、设 a n 0(n=1，2，)下列 4 个命题： 若 发散，则 必收敛 若 收敛，则 必发散 若 发散，则 必发散，若 收敛，则 （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.设常数 a1，函数 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导，f“(0)=D.可导，f“(0)=05.设 A 是 n 阶矩阵(n1)，满足 A k =2E，k2，E 是单位矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*) k =_ A （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 3 阶矩阵，|A|=1，a 11 =-1，a ij =A ij ，其中 A ij 是 A 中元素 a ij 的代数余子
3、式，则线性非齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1上服从均匀分布，记 A 1 =X0，A 2 =Y0，A 3 =XY0，A 4 =YX，则下列正确的是_（分数：4.00）A.A1，A2，A3 相互独立B.A1，A2，A3 两两独立C.A1，A2，A4 相互独立D.A1，A2，A4 两两独立8.设随机变量 （分数：4.00）A.必不相关B.必独立C.必不独立D.必相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c 0 元又设在单位时间内生
4、产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件)，a0，b0，均为常数，则成本函数 c(x)= 1 （分数：4.00）11.设 ，则 （分数：4.00）12.设 x0，则微分方程 （分数：4.00）13.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB-BA+A-E)= 1 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设常数 a0，至少用两种方法计算定积分： （分数：10.00）_16.设平面区域 D 用极坐标表示为 求二重积分 （分数：10.00）_17.求幂
5、级数 （分数：10.00）_18.过椭圆 （分数：10.00）_19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：10.00）_设三阶矩阵 A，B 满足关系式 AB=A-B 且 A 有三个不同的特征值 证明：（分数：11.00）(1).AB=BA；（分数：5.50）_(2).存在可逆阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角阵（分数：5.50）_设三阶方阵 A 满足 A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，A 3 =- 1 +3 2 - 3 ，其中 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，0，1) T .（分数：11.00）(1).求
6、A；（分数：5.50）_(2).求对角阵 ，使得 （分数：5.50）_设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且EX=0.2，EY=0.4又 PX=-1，Y=1=PX=1，Y=-1=PX=0，Y=1 （分数：11.00）(1).(X，Y)的概率分布；（分数：5.50）_(2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_(2).求 的矩估计量 （分数：
7、5.50）_考研数学三-391 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf“(x) 2 =sinx，且 f“(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的 解析：解析 由 f“(x)+xf“(x) 2 =sinx，有 f“(0)=0再由 f“(x)+f“(x) 2
8、+2xf“(x)f“(x)=cosx， 得 f“(0)=1，所以 ，即 由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域 且 x0 时，f“(x)0；当 2.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同号 D.与 x 异号解析：解析 作积分变量代换，令 x-t=u，得 所以 又因 f(0)=0，f“(0)=1，所以 C 1 =1，C 2 =0 从而 3.设 a n 0(n=1，2，)下列 4 个命题： 若 发散，则 必收敛 若 收敛，则 必发散 若 发散，则 必发散，若 收敛，则 （分数：4.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解
9、析 只有是正确的，证明如下：若 收敛，则 ，所以 ，所以 发散，其它，均可举出反例， 的反例： 发散，而 并不收敛，而是发散 的反例： 发散，而 并不发散，而是收敛， 的反例： 收敛，而 4.设常数 a1，函数 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导，f“(0)=D.可导，f“(0)=0 解析：解析 考虑 x0 处，由于 1，有 当 时， ，所以当 x0 - 时，n， 又 f(0)=0所以 f(x)在 x=0 处连续，不选A再看 f“(0)是否存在，等于多少? 而当 时， 令 x0 - ，由于 1，再由夹逼定理得 5.设 A 是 n 阶矩阵(n1)，满足 A k =2E，k2，E
10、 是单位矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*) k =_ A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 故 A*=|A|A -1 ，则 6.设 A 是 3 阶矩阵，|A|=1，a 11 =-1，a ij =A ij ，其中 A ij 是 A 中元素 a ij 的代数余子式，则线性非齐次方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将|A|按第 1 行展开， 因|A|=1，a 11 =-1，故得 a 12 =a 13 =A 12 =A 13 =0 又 a ij =A ij ，故 |A|=1，A 可逆， 有唯一解， 7.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|-1x1，-1y
11、1上服从均匀分布，记 A 1 =X0，A 2 =Y0，A 3 =XY0，A 4 =YX，则下列正确的是_（分数：4.00）A.A1，A2，A3 相互独立B.A1，A2，A3 两两独立 C.A1，A2，A4 相互独立D.A1，A2，A4 两两独立解析：解析 由(X，Y)服从二维均匀分布，得到 由于 ，故 A 1 ，A 4 不独立，排除 C，D； 由 ，排除 A； 又计算得 8.设随机变量 （分数：4.00）A.必不相关 B.必独立C.必不独立D.必相关解析：解析 设 PX=1，Y=1=PX=1，Y=-1=p， 则得联合分布为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解
12、析： 解析 由表达式可见，除 x=0，x=1 外，f(x)均连续 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1 从而推知 f(x)为连续函数的充要条件是 10.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c 0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件)，a0，b0，均为常数，则成本函数 c(x)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 在单位时间内生产 x 件产品的成本函数为 c(x)，边际成本就是 c“(x)，已知 c“(x)=ax+b从而 由题设条件 c(0)=c 0 (即不生产也应支出的固定成本)，于是知
13、c=c 0 从而 11.设 ，则 （分数：4.00）解析：1-2ln2解析 12.设 x0，则微分方程 （分数：4.00）解析：x(x+C)，其中 C 为任意常数解析 13.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB-BA+A-E)= 1 （分数：4.00）解析：n 解析 由题设条件 AB=A+B，得 AB-A-B+E=E，即 (A-E)(B-E)=E， 从而知 A-E 和 B-E 是互逆矩阵且有(B-E)(A-E)=BA-A-B+E=E，BA=A+B， 则 AB=BA，且 r(A-E)=r(B-E)=n，故 r(AB-BA+A-E)=r(A-E)=n14.设 X 1 ，X
14、 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）解析： 解析 已知 又 与 S 2 相互独立，也就有 与 S 相互独立，故 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设常数 a0，至少用两种方法计算定积分： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 法一 令 x=asint，于是 法二 令 x=asint，于是 16.设平面区域 D 用极坐标表示为 求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 如图阴影部分所示，为清楚起见，4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D 关于直线 y=x 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为 17.求
15、幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 u=x 2 ，化为 u 的幂级数 易知 所以收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1).回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(-1，1)，当x=1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为-1，1.在收敛域-1，1上令其和函数为 为了要进行逐项积分与逐项求导，所以在收敛区间内考虑计算在区间(-1，1)内，令 S 2 (0)=0 综上，当 x(-1，1)时， 18.过椭圆 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 椭圆上点(，)处的切线方程为 与两坐标轴的交点分别为 三角形 OAB 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 椭圆
16、与两坐标轴正向围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 由于 V 2 为常数，所以求 V 的最小值，只要求 V 1 的最小值或 2 的最大值即可，令 19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 不妨设 yx0(因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左边值不变)，则 由柯西中值定理有，存在一点 (x，y)，使得 令 f(u)=e u -ue u ，有 f(0)=1，f“(u)=-ue u 0(当 u0)所以当 u0 时，f(u)1，从而知 e -Ee 1，于是得证 设三阶矩阵 A，B 满足关系式 AB=A-B
17、 且 A 有三个不同的特征值 证明：（分数：11.00）(1).AB=BA；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由题设 AB=A-B， 知 AB-A+B-E=-E， A(B-E)+(B-E)=-E， (A+E)(E-B)=E 即 A+E，E-B 互为逆矩阵，且 (E-B)(A+E)=E 从而得 A-B-BA=O， 由，式得证 AB=BA(2).存在可逆阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 A 有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为 1 ， 2 ， 3 则有 两边左乘 B， 由第一小问知 AB=BA，得 得 A
18、(B i )= i (B i )，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，因 i 是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例故 B i = i i 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论何种情况，B 都有三个线性无关的特征向量 i (i= 1，2，3)故 A，B 同时存在可逆阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )，使得 设三阶方阵 A 满足 A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，A 3 =- 1 +3 2 - 3 ，其中 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，0，1) T .（分数：11.0
19、0）(1).求 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 合并 1 ， 2 ， 3 成矩阵，并由题设条件得 A( 1 ， 2 ， 3 )=(0，2 1 + 2 ，- 1 +3 2 - 3 ) 由 ，知( 1 ， 2 ， 3 )可逆，且 (2).求对角阵 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由第一小问知 故 B 有三个不同的特征值 1 =0， 2 =1， 3 =-1 故 由相似矩阵的传递性，得 设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且EX=0.2，EY=0.4又 PX=-1，
20、Y=1=PX=1，Y=-1=PX=0，Y=1 （分数：11.00）(1).(X，Y)的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题意 于是 PX=-1，Y=1=PX=1，Y=-1 =PX=0，Y=1=0.25 设(X，Y)的概率分布为 因此(X，Y)的概率分布为 (2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY， 其中 E(XY)=(-1)10.25+1(-1)0.25+110.2=-0.3， 又 EX=0.2，EY=0.4， 所以 Cov(X，Y)=-0.3-0.20.4=-0.38.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 似然函数为： 显然 L()是 的单调增函数，因此 的最大似然估计量为 又 X min 的概率密度为 g(x)=ne -n(x-) ，x，故 (2).求 的矩估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 所以 的矩估计量为： 又 故
