1、考研数学三-390 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在 U-内是凹的，在 U+内是凸的B.曲线 y=f(x)在 U-内是凸的，在 U+内是凹的C.曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凹的D.曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凸的2.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 ，则 （分数：4.00）AxByCzD.03.设 在 x=3 处条件收敛，则 （分数：4.00）A.必绝对收敛B.必条件收敛C.必
2、发散D.敛散性要看具体的an4. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A 2 =A，且 AE，则必有_（分数：4.00）A.r(A)=1B.r(A-E)=2C.r(A)-1r(A-E)-2=0D.r(A)-1r(A-E)-1=06.设 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则_ An=2 时，A 与 B 相互独立 Bn=2 时，A （分数：4.00）A.B.C.D.8.甲乙两人约定 8 点到 12 点之间在某地会面，设两人 8 点
3、后 X 与 Y(小时)到达会面地点，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为_ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y“+x 2 y=x 的满足 y(0)=0，y“(0)=1 的解，并设 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.微分方程 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 1 =(1，-2，1，0，0) T ， 2 =(3，-6，2，1，0) T ， 3 =(5，-6，0，0，1) T ， 4 =(1，-2，0，1，0) T 都是齐次
4、线性方程组 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D.（分数：10.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：5.00）_(2).求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V（分数：5.00）_15.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：10.00）_16.设 z=f(x，y)， ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 （分数：10.00）_(1).设
5、(x)在区间0，1上具有二阶连续的导数，且 (0)=(1)=0证明 （分数：5.00）_(2).设二元函数 f(x，y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y1上具有连续的 4 阶导数，且 ，并设在 D 的边界上 f(x，y)0证明 （分数：5.00）_某人向银行贷款购房，贷款 A 0 (万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)(此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t 个月，尚欠银行 y t (万元)（分数：10.00）(1).试建立 y t 关于 t 的一阶差分方程并求解；（分数：5.00）_(2).利用 t=n 时 y t =0，建立每月应向
6、银行还贷 A(万元)依赖于 n 的计算公式（分数：5.00）_设向量组() 1 =(1，2，-1) T ， 2 =(1，3，-1) T ， 3 =(-1，0，a-2) T ，() 1 =(-1，-2，3) T ， 2 =(-2，-4，5) T ， 3 =(1，b，-1) T 设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ) 问：（分数：11.00）(1).a，b 为何值时，矩阵 A，B 等价?a，b 为值何时，A，B 不等价?（分数：5.50）_(2).a，b 为何值时，向量组()，()等价?a，b 为何值时，向量组()，()不等价?（分数：5.50）_已知 A 是 3 阶方
7、阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方程组 Ax=0 有通解 k 1 (1，2，-2) T +k 2 (2，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T （分数：11.00）(1).证明：对任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关；（分数：5.50）_(2).若 =(3，6，-3) T ，求 A（分数：5.50）_一等边三角形 ROT(如下图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y)在三角形 ROT内均匀分布) （分数：11.01）(1).点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；（分数：3.67）_(2). （分数：3.67
8、）_(3).f X|Y (x|y)（分数：3.67）_17.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-390 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在 U-内是凹的，在 U+内是凸的B.曲线 y=f(x)在 U-内是凸的，在 U+内是凹的 C.曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凹的D.曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凸的解析：解析 由所给条件推知存在小 x=x 0 的去心邻域 ，当 于是知，当 且 xx 0
9、时，f“(x)0，曲线是凸的；当 2.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 ，则 （分数：4.00）AxByCz D.0解析：解析 两边对 x 求偏导数，得 解得 再将原式两边对 y 求偏导数，得 解得 于是 3.设 在 x=3 处条件收敛，则 （分数：4.00）A.必绝对收敛 B.必条件收敛C.必发散D.敛散性要看具体的an解析：解析 在 x=3 处条件收敛，所以收敛半径 R=3，所以4. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 作积分变量代换令 u=x-t， 而 所以 5.设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A 2 =A，且 AE，则必有_（
10、分数：4.00）A.r(A)=1B.r(A-E)=2C.r(A)-1r(A-E)-2=0D.r(A)-1r(A-E)-1=0 解析：解析 A 是 3 阶非零矩阵，则 AO，r(A)1 AE，A-EO，r(A-E)1， 因 A 2 =A，即 A(A-E)=O，得 r(A)+r(A-E)3，且 1r(A)2，1r(A-E)2 故矩阵 A 和 A-E 的秩 r(A)和 r(A-E)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是 2(不会是 3，也不会是 0，也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1) 故 A，B，C 均是错误的，应选 D6.设 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析
11、四项均正确， 将 A 的 1，3 行互换，且 1，3 列互换得 B，即 E 13 AE 13 =B(或 )因 ，故有 ，即AB； ，即 7.将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则_ An=2 时，A 与 B 相互独立 Bn=2 时，A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 n=2 时， 由 P(AB)P(A)P(B)知 A 与 B 不独立， 又 P(A)P(B)，故 (若 A B，则 P(A)P(B)，矛盾) 当 n=3 时， 8.甲乙两人约定 8 点到 12 点之间在某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小
12、时)到达会面地点，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为_ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知，(X，Y)服从区域 D=(x，y)|0x4，0y4上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则 ，其中(x，y)D先到者的等待时间为|X-Y|，故先到者的平均等待时间为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y“+x 2 y=x 的满足 y(0)=0，y“(0)=1 的解，并设 （分数：4.00）解析： 解析 由 y(0)=0 知，所求极限为“ ”型，又 由初始条件 y“(0)=1，若
13、 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2 由所给方程知，y“(0)=x-(x+1)y“-x 2 y| x=0 =-1所以当 k=2 时，上述极限为 于是知 故 k=2， 10. （分数：4.00）解析： 解析 由上、下限知，积分区域 D=D 1 D 2 =(x，y)|0x1，0y1(x，y)|lnyx1，1ye =(x，y)|0ye x ，0x1 而 可看成半径为 e x 的 圆面积，为 所以 11.微分方程 （分数：4.00）解析：y=xe 1-x 解析 此微分方程为一阶齐次方程，令 y=ux，有 ，原方程化为 12. （分数：4.00）解析：解析 13.设 1 =(1，-2，1，0，0)
14、 T ， 2 =(3，-6，2，1，0) T ， 3 =(5，-6，0，0，1) T ， 4 =(1，-2，0，1，0) T 都是齐次线性方程组 （分数：4.00）解析：k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 (或 k 1 1 +k 2 3 +k 3 1 )，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数 解析 方程组(*)的基础解系是 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大线性无关组，其通解为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大线性无关组的全部线性组合 对( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换， 14.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）解析： 解析 PX+X2 =PX+X2，
15、X=0+PX+X2，X=1+PX+X2，X=2 =PX2，0X1+PX1，1X2+PX0，2X3 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D.（分数：10.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设切点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 切线方程为 y-y 0 =e x0 (x-x 0 ) 它经过点(0，0)，所以-y 0 =-x 0 e x0 ，又因 y 0 =e x0 ，代入求得 x 0 =
16、1，从而 y 0 =e x0 =e，切线方程为 y=ex 取水平条面积元素， (积分 为反常积分， (2).求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 从而 15.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 化成常微分方程处理为此，令 有 F“(x)=e x f(x)，f(x)=e -x F“(x)代入原给方程，得 e -x F“(x)F(x)=x+1， F“(x)F(x)=(x+1)e x ， 两边积分，得 因 但因 F(0)=10，所以取“+
17、”，于是 下面证明，在区间(-，+)上，函数 (x)=2xe x +10 事实上，“(x)=2(x+1)e x ，令 “(x)=0，得 x=-1当 x-1 时，“(x)0；当 x-1 时，“(x)0，所以 16.设 z=f(x，y)， ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性解比较方便由 z=f(x，y)，有 由 ，有 解得 代入(*)式中再解出 ，得 (1).设 (x)在区间0，1上具有二阶连续的导数，且 (0)=(1)=0证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析
18、：证 由分部积分， 所以 (2).设二元函数 f(x，y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y1上具有连续的 4 阶导数，且 ，并设在 D 的边界上 f(x，y)0证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 对于里层积分，y 视为常数，对 x 积分，并注意到题没条件有 f(0，y)=f(1，y)=0 所以套用第一问的结果，有 交换积分次序，得 对此积分的里层积分，x 视为常数，对 y 积分，并注意到条件 f(x，0)=f(x，1)=0， 再套用第一小问的结果，有 某人向银行贷款购房，贷款 A 0 (万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)(此称等额本息还贷，
19、目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t 个月，尚欠银行 y t (万元)（分数：10.00）(1).试建立 y t 关于 t 的一阶差分方程并求解；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设至第 t 个月，尚欠银行贷款 y t (万元)，再经一个月，本息共计欠贷(1+r)y t (万元)，还了 A(万元)，尚欠 (1+r)y t -A=y t+1 ， 即 y t+1 -(1+r)y t =-A 此为一阶常系数线性差分方程，解之得通解 初始条件为 y 0 =A 0 ，从而 ，于是得特解为 (2).利用 t=n 时 y t =0，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n 的计算公式（分数：
20、5.00）_正确答案：()解析：解 因 t=n 时 y t =0代入上式，得 得 设向量组() 1 =(1，2，-1) T ， 2 =(1，3，-1) T ， 3 =(-1，0，a-2) T ，() 1 =(-1，-2，3) T ， 2 =(-2，-4，5) T ， 3 =(1，b，-1) T 设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ) 问：（分数：11.00）(1).a，b 为何值时，矩阵 A，B 等价?a，b 为值何时，A，B 不等价?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 将增广矩阵 一起作初等行变换， 当 a3 且 b2 时，r(A)=r(B)=3， ； 当
21、 a=3 且 b=2 时，r(A)=r(B)=2， (2).a，b 为何值时，向量组()，()等价?a，b 为何值时，向量组()，()不等价?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 和 1 ， 2 ， 3 可以相互表出 ( 1 ， 2 ， 3 )x = i ，i=1，2，3，( 1 ， 2 ， 3 )y= i ，i=1，2，3 均有解 ( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， i )，i=1，2，3，r( 1 ， 2 ， 3 )= r( 1 ， 2 ， 3 ， i )，i=1，2，3 当 a3 且 b2 时， 已知 A 是 3 阶方阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方
22、程组 Ax=0 有通解 k 1 (1，2，-2) T +k 2 (2，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T （分数：11.00）(1).证明：对任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由题设条件，A 的每行元素之和为 3则 即 A 有特征值 1 =3，对应的特征向量为 1 =(1，1，1) T . Ax=0 有通解 k 1 (1，2，-2)T+k 2 (2，1，2) T ，知 A 有特征值 2 = 3 =0，对应的特征向量为 2 =(1，2，-2) T ， 3 =(2，1，2) T 因 1 ， 2 ， 3
23、 昏线性无关，故任意 3 维向量 均可 1 ， 2 ， 3 线性表出，设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 从而有 (2).若 =(3，6，-3) T ，求 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =(3，6，-3) T 时，令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 解非齐次线性方程组 (*) 对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得 解得(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(3，2，-1) T 即 =3 1 +2 2 - 3 一等边三角形 ROT(如下图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y)在三角形 ROT内均匀分布) （分数：
24、11.01）(1).点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因三角形 ROT 的面积为 ，故(X，Y)的概率密度为 点 Q(X，Y)到底边 OT 的距离就是 Y，因而求 Q 到 OT 的距离的概率密度，就是求(X，Y)关于 Y 的边缘概率密度， 从而 (2). （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 如图所示： (3).f X|Y (x|y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 在 的条件下， ， 17.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 f(x；，)0，有 0，0. 又 故 似然函数 L()=f(x 1 ；)f(x 2 ；)f(x 8 ；)= 5 (1-) 3 两边取自然对数，lnL(a)=5ln+31n(1-) 令 故
