1、考研数学三-389 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下述命题： 设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f在(-，+)上连续； 设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(-，+)上有界； 设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数则 在(-，+)上也是正值的连续函数； 设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(-，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增C.在区
2、间(-，0)与(0，+)内都是严格单凋增D.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调减3.考虑一元函数 f(x)的下列 4条性质： f(x)在a，b上连续； f(x)在a，b上可积； f(x)在a，b 上可导； f(x)在a，b上存在原函数， 以 表示由性质 P可推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.偏导数存在但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数也连续D.偏导数不存在，函数也不连续5.没非齐次线性方程组 Ax=b有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，2，0，-2) T +k 2 (4，-1，
3、-1，-1) T +(0，0，0，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=b的解向量的是_ A. 1=(1，2，0，-1) T. B. 2=(6，1，-2，-1) T C. 3=(-5，8，2，-3) T D. 4=(5，1，-1，-2) T（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B，C 均是 3阶方阵，满足 AB=C，其中 （分数：4.00）A.a=-1时，r(A)=1B.a=-1时，r(A)=2C.a-1 时，r(A)=1D.a-1 时，r(A)=27.设(X，Y)为二维连续型随机变量，则在下列各项公式都有意义的条件下 f(x，y)=f X (x)f
4、Y (y)； （分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 A与 B是两随机事件，P(B)=0.6 且 P(A|B)=0.5，则 （分数：4.00）A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.设 z=(1+x 2 y) xy2 ，则 （分数：4.00）11.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）12.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 ，其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）13.设 n阶行列式|A nn |=a，将 A的每一列减去其余各列的行列式记成|B|，则|
5、B|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0处连续，且 x0 时 （分数：10.00）_设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形 D求（分数：10.00）(1).D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)；（分数：5.00）_(2).a为何值时，V(a)为最大?（分数：5.00）_16.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_17.设 ，求幂级数 （分数：10.00）_设 f(x)
6、具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy 为某二元函数 u(x，y)的全微分（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).求 u(x，y)的一般表达式（分数：5.00）_设 有特征向量 （分数：11.01）(1).求 A的对应于 i (i=1，2，3)的特征值；（分数：3.67）_(2).求 Ax= 3 的通解；（分数：3.67）_(3).求 A（分数：3.67）_(1).设 （分数：5.50）_(2). （分数：5.50）_设随机变量 X服从参数为 的指数分布 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：
7、3.67）_(2).Y的分布函数；（分数：3.67）_(3).EY.（分数：3.67）_设某种电子器件的寿命(以小时计)，T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取n只在时刻 t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：11.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计（分数：5.50）_考研数学三-389 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下述命题： 设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f在(-，
8、+)上连续； 设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(-，+)上有界； 设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数则 在(-，+)上也是正值的连续函数； 设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 与是正确的，与是不正确的，正确的个数为 2 是正确的理由如下：设 x 0 (-，+)，则它必含于某区间a，b中由题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续，故在 x 0 处连续，所以在(-，+)上连续论证的关键是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续 是不正确的函数 f(x)在a，b上有界
9、的“界”是与区间有关的，例如 f(x)=x在区间a，b上， ，这个“界”与区间a，b有关，容易看出，在区间(-，+)上，f(x)=x 就无界了 是正确的，理由如下：设 x 0 (-，+)，f(x 0 )0 且 f(x)在 x 0 处连续，由连续函数的四则运算法则知， 在 x 0 处也连续，所以 在(-，+)上连续 是不正确的例如函数 f(x)=e -x2 ，在区间(-，+)上，0f(x)1.所以在(-，+)上 f(x)有界而 在(-，+)上显然无界这是因为 2.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(-，0)内是严格单调减，在(0，+)内严
10、格单调增C.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单凋增 D.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调减解析：解析 3.考虑一元函数 f(x)的下列 4条性质： f(x)在a，b上连续； f(x)在a，b上可积； f(x)在a，b 上可导； f(x)在a，b上存在原函数， 以 表示由性质 P可推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故 B正确 A不正确，虽然由(连续)可推出(可积)，但由(可积)推不出(可导)例如 f(x)=|x|在-1，1上可积： 但 f(x)=|x|在 x=0处不可导 C不正确由(可积)推不
11、出(存在原函数)，例如 在-1，1上可积，则 但 f(x)在-1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=|x|+C的形式，而此函数在点 x=0处不可导，在区间-1，1上它没有做原函数的“资格” D不正确因为由(存在原函数)推不出(函数连续)例如： 它存在原函数 4.设 （分数：4.00）A.偏导数存在但函数不连续 B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数也连续D.偏导数不存在，函数也不连续解析：解析 由偏导数定义，得 即两个偏导数都存在 考虑连续性，取 y=kx 2 让点(x，y)(0，0)则 所以当 x0 时， ，因 k而异，故知 5.没非齐次线性方程组
12、 Ax=b有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，2，0，-2) T +k 2 (4，-1，-1，-1) T +(0，0，0，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=b的解向量的是_ A. 1=(1，2，0，-1) T. B. 2=(6，1，-2，-1) T C. 3=(-5，8，2，-3) T D. 4=(5，1，-1，-2) T（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若 是 Ax=b的解，则 可表示成 k 1 1 +k 2 2 +，即 -=k 1 1 +k 2 2 若 - 可由 1 ， 2 线性表示，则是 Ax=0的解；不能由 1 ， 2
13、 线性表示，则不是 Ax=0的解将 1 ， 2 ， 1 -， 2 -， 3 -， 4 - 合并成矩阵，并一起作初等行变换 6.设 A，B，C 均是 3阶方阵，满足 AB=C，其中 （分数：4.00）A.a=-1时，r(A)=1B.a=-1时，r(A)=2C.a-1 时，r(A)=1 D.a-1 时，r(A)=2解析：解析 显然 r(C)=1，又 当 a-1 时，有 r(B)=3，B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选 C 因 C成立，显然 D不能成立 当 a=-1时，可取 ，有 AB=C，此时 r(A)=1； 也可取 7.设(X，Y)为二维连续型随机变量，则在下列
14、各项公式都有意义的条件下 f(x，y)=f X (x)f Y (y)； （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 需要独立条件才成立； 应该为 8.设 A与 B是两随机事件，P(B)=0.6 且 P(A|B)=0.5，则 （分数：4.00）A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7 解析：解析 由于 ，又 P(B)=0.6，则 P(AB)=0.3 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析： 解析 由 f(x)的表达式，有 最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4式中 10.设 z=(1+x 2 y) xy2 ，则 （分数：4.00）解析：-3
15、xy 2 (1+x 2 y)xy 2 ln(1+x 2 y) 解析 z=(1+x 2 ) xy2 =e xy2 ln (1+x2y) ，则 所以 11.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 2x ，设原方程的一个特解为 y*=x(Ax+B)e x ，代入原方程，得 12.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 ，其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）解析：0 解析 取常数 h0，在区间x，x+h上用泰勒公式： 于是有 令 x+。有
16、+，并且由已知 ，有 13.设 n阶行列式|A nn |=a，将 A的每一列减去其余各列的行列式记成|B|，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：(2-n)2 n-1 a 解析 法一 由题设知，若|A|=| 1 ， 2 ， n |=a，则 法二 14.设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）解析：43 解析 由 X的概率密度知 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0处连续，且 x0 时 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 f(x)在 x=0处连续，所以 设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点
17、 O和点 A的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形 D求（分数：10.00）(1).D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 y=ax 2 与 y=1-x 2 的交点为 ，直线 OA的方程为 旋转体的体积 (2).a为何值时，V(a)为最大?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 16.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 |z|的最值点与 z 2 的最值点一致用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 -2z 2 )+(x+3y+3z-5). 令 解之得两组解： 所以 x=1，
18、 时，|z|=1 为最小值；当 x=-5， 17.设 ，求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由求收敛半径的通常办法考虑 所以收敛半径 R=1收敛区间为(-1，1) 考查端点 x=-1处，易见 满足莱布尼茨定理条件，该级数收敛以下证明此级数为条件收敛，即证级数 发散，为此构造不等式，当 x0 时，易知有不等式 于是有 即 所以 即 由比较判别法知，级数 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy 为某二元函数 u(x，y)的全微分（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析
19、：解 由题意知， du=xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy. 即 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u的二阶混合偏导数连续，所以有 (2).求 u(x，y)的一般表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由第一小题知 du=(xy 2 +y-ye -x )dx+(x-1+e x +x 2 y)dy 求 u(x，y)有多种方法 法一 凑微分法 所以 (C为任意常数) 法二 偏积分法，由 于是 其中 h 1 (y)为 y的任意可微函数，再由 ，得 x 2 y+x+e -x +h “ 1 (y)=x-1+e -x +x 2 y， 于是 h “ 1 (y)=-1，h
20、1 (y)=-y+C(C为任意常数)于是 设 有特征向量 （分数：11.01）(1).求 A的对应于 i (i=1，2，3)的特征值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因 1 ， 2 ， 3 是 A的特征向量，假设对应的特征值分别是 1 ， 2 ， 3 ，则有 由等式两端的第一个分量相等，得 1 =0 (2).求 Ax= 3 的通解；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 A 是 33的非零矩阵(a 11 =10)，r(A)1 A 1 =0，A 2 =0，且 1 ， 2 线性无关，所以 r(A)1则 r(A)=1， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系又因 A 3 =(-1) 3
21、，故 A(- 3 )= 3 ，Ax= 3 有特解- 3 ，从而 Ax= 3 的通解为 k 1 1 +k 2 2 - 3 ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数(3).求 A（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 法一 直接由题设条件解出未知的 a ij (i=2，3，j=1，2，3)从而求出 A 因 r(A)=1，故(a 21 ，a 22 ，a 23 )=k(1，-2，3)，(a 31 ，a 32 ，a 33 )=l(1，-2，3)，即 两端第 2个分量，第 3个分量分别相等，得 k=2，l=-2 故 法二 利用 A的相似对角矩阵求 AA 有三个线性无关特征向量，取 其中 (1).设 （分数
22、：5.50）_正确答案：()解析：证 (A T A T )=A T (A T ) T =A T A，则 A T A是实对称矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数 n)，故 Ax=0有非零解，即存在 x0，使得Ax=0，从而使 x T A T Ax=0，故当 sn 时，A T A不是正定矩阵， 当 s=n时，范德蒙德行列式|A|0，A 是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A T A是正定矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性无关(当 s=n时，A 的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0只有零解，即任给 x0，均有 Ax0，从而有(Ax) T Ax=
23、x T A T Ax0，从而 A T A是正定矩阵 故当 sn 时，A T A是正定矩阵(2). （分数：5.50）_正确答案：()解析：证 因(B T B) T =B T (B T ) T =B T B，则 B T B是实对称矩阵又|B|=10!|A|0(其中 A是第一小题中 s=10，n=10 的矩阵)，故 B T B是正定矩阵设随机变量 X服从参数为 的指数分布 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PX+Y=0=PY=-X=P|X|1=PX1=e - (2).Y的分布函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy
24、=PYy，|X|1+PYy，|X|1 =PXy，-1X1+P-Xy，X1+P-Xy，X-1 =PXy，-1X1+PX-y，X1+PX-y，X-1 当 y-1 时，F Y (y)=PX-y=e y ； 当-1y0 时，F Y (y)=P-1Xy+PX1=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P-1Xy+PX1=1-e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=1 Y的分布函数为 (3).EY.（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设某种电子器件的寿命(以小时计)，T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取n只在时刻 t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：11.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 记 T的分布函数为 F(t)，则 (2).求 的最大似然估计（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 考虑事件 A=试验直至时间 T 0 为止，有 k只器件失效，而有 n-k只未失效的概率 由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A的概率为 这就是所求的似然函数取对数得 令 得 ne -T 0 =n-k 解得 的最大似然估计为
