1、考研数学三-388 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设x n 与y n 均无界，z n 有界，则_（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界D.xnzn必无界2.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导3.设 f(x)=minx 2 ，-3x+10，两个结果 （分数：4.00）A.与都错B.与都对C.错对D.对错4.由方程 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 确定的函数 y=y(x)_（分数：4.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.
2、有驻点且为极小值点D.有驻点且为极大值点5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则下列关系中不正确的是_ A.|A+B|=|A|B| B.(AB)-1=A-1B-1 C.(A-E)x=0 只有零解 D.B-E 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 2 b，若 A-E 是正定阵，则参数 应满足_（分数：4.00）A.bB.bC.aD.a7.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则 U=X，V=X+Y 的联合概率密度为_（分数：4.00）A.f(u，v)B.f(u，u
3、+v)C.f(u，u-v)D.f(u，v-u)8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是_ A B C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 y=y(x)是由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=0 所确定，则 （分数：4.00）12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 1 （分数：4.00）13.设 （分数：4
4、.00）14.若 X 1 ，X 2 ，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；（分数：5.00）_(2).叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理（分数：5.00）_15.设 f(x)在-，上连续，且有 （分数：10.00）_16.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，(x-1) 2 +y 2 1，求 （分数：10.00）_17.设 z=z(x，y)是由方程 确定的函数，计算 （分数：10.00）_18.某产品的成本函数为 C(q)=aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数
5、：10.00）_19.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维列向量，已知齐次线性方程组 1 x 1 + 2 x 2 + n x n =0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 ( 1 + 2 )x 1 +( 2 + 3 )x 2 +( n-1 + n )x n-1 +( n + 1 )x n =0 (*) 是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(*)的通解 （分数：11.00）_设 A 是 3 阶实对称矩阵，AB，其中 （分数：11.01）(1).求 A 的特征值；（分数：3.67）_(2).若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，2，0) T ， 3 =(0，2，1) T
6、， 4 =(5，-1，-3) T 都是 A 的对应于 1 = 2 =0 的特征向量，求 A 的对应于 3 的特征向量；（分数：3.67）_(3).求矩阵 A（分数：3.67）_20.设在某段时间内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人购买 A 股的数学期望 （分数：11.00）_设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Z=X-2Y 的概率密度；（分数：5.50）_(2).求 （分数：5.50）_考研数学三-388 答案解析(总分：150.0
7、1，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设x n 与y n 均无界，z n 有界，则_（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界 D.xnzn必无界解析：解析 用反证法证明x n +z n 必无界设x n +z n 有界，且由题设z n 有界，则存在M0 与 M 1 0，对一切 n，|x n +z n |M 与|z n |M 1 ，有 |x n |=|x n +z n -z n |x n +z n |+|z n |M+M 1 ， 从而x n 有界，与题设矛盾，故应选 C2.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续
8、C.连续但不可导 D.可导解析：解析 具体计算出 F(x)如下： 当 x0 时， 当 x0 时， 再讨论 A，B，C，D 哪个选项正确 ，F(0)=1-e -1 ，所以 A，B 都不正确 3.设 f(x)=minx 2 ，-3x+10，两个结果 （分数：4.00）A.与都错B.与都对C.错对 D.对错解析：解析 法一 第 1 步，写出 f(x)的分段表达式，由两曲线 y=x 2 与 y=-3x+10 的图形及交点知， 第 2 步，由定积分的性质 经计算有 对所以选 C 法二 同法一的第 1 步，写出 f(x)的分段表达式，由分段的 f(x)求出分段的原函数： 第 2 步，从中去找出例如 F(0
9、)=0 且 F“(x)=f(x)的一个原函数 F(x)为此，由于 x=0-5，2，故先从区间-5，2入手，由 0=F(0)=0+C 2 ， 故 C 2 =0再由 x=-5 处 F(x)应连续，故 同理，考虑 x=2 处 F(x)也应连续，故 故得区间(-，+)上的一个原函数 第 3 步，由定积分计算公式 4.由方程 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 确定的函数 y=y(x)_（分数：4.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.有驻点且为极小值点 D.有驻点且为极大值点解析：解析 将所给方程两边对 x 求导数，y 看成由此式确定的 x 的函数，则有 6y 2 y“-4yy“+
10、2y+2xy“+y“-2x=0，(6y 2 -4y+2x+1)y“+2(y-x)=0. 先考虑驻点，令 y“=0，得 y=x再与原方程联立： 得 2x 3 -2x 2 +2x 2 +x-x 2 =0，即 x(2x 2 -x+1)=0 由于 2x 2 -x+1=0 无实根，故得唯一实根 x=0，相应地有 y=0在此点有 y“=0故不选 A 再看此点是否为极值点，求二阶导数由 5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则下列关系中不正确的是_ A.|A+B|=|A|B| B.(AB)-1=A-1B-1 C.(A-E)x=0 只有零解 D.B-E 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.
11、 解析：解析 因 A，B 满足 AB=A+B，两边取行列式，显然有|A+B|=|AB|=|A|B|，A 正确 由 AB=A+B， 移项，提公因子得 AB-A=A(B-E)=B，A(B-E)=B-E+E，(A-E)(B-E)=E 故 A-E，B-E 都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(A-E)x=0 只有零解，C 正确 B-E 不可逆是错误的，D 不正确，又因 (A-E)(B-E)=E， 故(B-E)(A-E)=E 从而有 BA-A-B+E=E，BA=A+B，得 AB=BA，则(AB) -1 =(BA) -1 =A -1 B -1 ，故 B 正确 因此 A，B，C 是正确的，应选 D6.设
12、 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 2 b，若 A-E 是正定阵，则参数 应满足_（分数：4.00）A.bB.b C.aD.a解析：解析 A-E 的特征值为 1 -， 2 -， 3 -，且满足 a- 1 - 2 - 3 -b- 当 b-0 即 b 时，A-E 的全部特征值大于等于正值，故 A-E 是正定矩阵，应选 B A 中 b，即 b-0，A-E 的全部特征值大于等于负值，不能确定 A-E 的正定性 C 中 a，即 u-0，A-E 的全部特征值小于等于负值，A-E 是负定矩阵 D 中 a，即 a-0，A-E 的全部特征值小于等于正值，不
13、能确定 A-E 的正定性7.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则 U=X，V=X+Y 的联合概率密度为_（分数：4.00）A.f(u，v)B.f(u，u+v)C.f(u，u-v)D.f(u，v-u) 解析：解析 F UV (u，v)=PUu，Vv=PXu，X+Yv =PXu，-Yv-X 故 ，所以 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是_ A B C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 题中并没有正态分布条件，所以排除 A，D B
14、 中， C 中， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 作积分变量变换，令 ，原积分 所以 10. （分数：4.00）解析： 解析 用分部积分法 11.设 y=y(x)是由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=0 所确定，则 （分数：4.00）解析： 解析 此为“ ”型，求导中要用到 y“(0)，y“(0)等等，先求出备用，由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0，有 3y 2 y“+(x+1)y“+y+2x=0， 将 y(0)=0 代入，得 0+y“(0)=0，有 y“(0)=0再求导， 6y(y “ ) 2 +3y2y “ “
15、 +y “ +(x+1)y “ +y “ +2=0 将 y(0)=0，y“(0)=0 代入，有 0+0+0+y“+0+2=0，y“(0)=-2 12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 1 （分数：4.00）解析： 解析 将方程改写为 ，将 x 看成函数，此方程为 x 对 y 的一阶线性方程，代入通解公式，得 再由初始条件：x=1 时，y=2，得 C=5，所以 13.设 （分数：4.00）解析：1解析 相似矩阵有相同的特征多项式，故14.若 X 1 ，X 2 ，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本， （分数：4.00）解析： 解析 ，X 10 N(
16、2，3)又 与 X 10 独立，则 ，故 ，且 与 Q 2 均独立所以 因此 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 罗尔定理：设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则至少存在一点(a，b)使 f“()=0 证明：由于 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上存在最大值 M 和最小值 m. 如果 M=m，则 f(x)C，从而 f“(x)0，任取 (a，b)均有 f“()=0 如果 Mm，由于 f(a)=f(b)，所以 M 或 m 中至少有 1 个在开区间(a
17、，b)内取到，即在(a，b)内 f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)由费马定理知，在对应点 x=(a，b)处，f“()=0(2).叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 拉格朗日中值定理：设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点(a，b)，使 f(b)-f(a)=f“()(b-a) 证明：令 则有：(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=f(a)，(b)=f(a)，故 (a)=(b)， 所以 (x)在a，b上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点 (a，b)使 “()=0即 15.设 f(x)在-，上连
18、续，且有 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于 存在，记为 A，由已知条件，有 从而有 对右边积分作变量代换：x=-t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是 则 从而 16.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，(x-1) 2 +y 2 1，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 利用极坐标，如下图所示，点 A 对应的 由于 D 关于 x 轴对称， 为 y 的奇函数， 17.设 z=z(x，y)是由方程 确定的函数，计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 两边对 x 求导，有 类似地， 为计算当 x=0，y=0 时上述偏导数的值，应先计算出
19、 x=0，y=0 时 z 的值 由 将 x=0，y=0 代入，得 z+lnz-1=0令 f(z)=z+lnz-1=0， 则 所以 f(z)有唯一零点易见 f(1)=0，所以当 x=0，y=0 时，z=1代入(*)式，得 18.某产品的成本函数为 C(q)=aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 利润函数 L(q)=pq-C(q)=(-q)q-(aq 2 +bq+c)=-(a+)q 2 +(-b)q-c L“(q)=-2(d+)q+(-b) 令 L“(g)=0，得唯一驻点 由于 L“(q)=-2(a+)0，故当 q=q 0 时，L(q)为极大值，同时也为最
20、大值，所以 19.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维列向量，已知齐次线性方程组 1 x 1 + 2 x 2 + n x n =0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 ( 1 + 2 )x 1 +( 2 + 3 )x 2 +( n-1 + n )x n-1 +( n + 1 )x n =0 (*) 是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(*)的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 齐次线性方程组 1 x 1 + 2 x 2 + n x n =0 (*) 只有零解，故其系数矩阵(记为 A)的秩 r(A)=r( 1 ， 2 ， n )=n，则矩阵 A 是可逆方阵， 齐
21、次线性方程组 ( 1 + 2 )x 1 +( 2 + 3 )x 2 +( n-1 +n)x n-1 +( n + 1 )x n =0 (*) 的系数矩阵(记为 B)和 A 有如下关系： 记为 B=AC因 A 可逆，故有 r(B)=r(C)，而 当 n=2k+1 时，|C|=20，故 r(B)=r(C)=n，方程组(*)只有零解， 当 n=2k 时，|C|=0，故 r(B)=r(C)n，方程组(*)有非零解 当 n=2k 时，B=AC，A 可逆，故 Bx=0 和 Cx=0 是同解方程组，故只需求解线性齐次方程组 Cx=0 即可 对 C 作初等行变换，将第 i 行的(-1)倍加到第 i+1 行(i
22、=1，2，n-1) 设 A 是 3 阶实对称矩阵，AB，其中 （分数：11.01）(1).求 A 的特征值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 AB，则 A，B 有相同的秩和特征值显然 r(B)=1，B 有特征值 1 = 2 =0 且 (2).若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，2，0) T ， 3 =(0，2，1) T ， 4 =(5，-1，-3) T 都是 A 的对应于 1 = 2 =0 的特征向量，求 A 的对应于 3 的特征向量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 1 = 2 =0 是 A 的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知 1 =
23、1 =(1，1，0) T ， 2 = 3 =(0，2，1) T 线性无关(取 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大线性无关组，不唯一)，故取 1 = 1 ， 2 = 3 为 =0 的线性无关特征向量，因 A 是实对称矩阵，将 3 =14对应的特征向量设为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 3 与 1 ， 2 正交，则有 即有 (3).求矩阵 A（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 法一 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 法二 因与 3 正交的非零向量均是 A 的对应于 =0 的特征向量，取一个与 1 = 1 =(1，1，0) T ， 3 =(1，-1，2) T 均正交
24、的向量为 2 ，可得 2 =(1，-1，-1) T ， 将 1 ， 2 ， 3 单位化，并合并成正交矩阵，得 则 20.设在某段时间内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人购买 A 股的数学期望 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 Y=r 表示“有 r 个人买 A 股”，X=i 表示“有 i 个人来到交易所”，i=r，r+1， 于是，由全概率公式有 设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Z=X-2Y 的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 分布函数法 由分布函数的定义 F Z (z)=PZz=PX-2Yz. 当 z-1 时，F Z (z)=0； 当-1z0 时，积分区域如下图阴影所示： 当 0x1 时，积分区域如下图阴影所示： 当 z1 时，F Z (z)=1 综上 所以 法二 公式法， 概率密度要求变量取值为正， 则 (2).求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 为求 在 0y1 条件下， 当 所以 法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布，即在条件 下等价于在线段 AB 上随机投点，再要求 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如下图所示， 所以
