1、考研数学三-387 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f“(x)存在，则 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件2.设 g(x)在 x=0的某邻域内连续且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定3.设 a n 0，且当 n时， ，则级数 （分数：4.00）A.
2、条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性由具体的 an决定4.设 g(x)在(-，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(-x)，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f“(x)0B.f“(x)0C.f“(x)与 x同号D.f“(x)与 x反号5.设 A是 n阶矩阵，则下列说法错误的是_ A.对任意的 n维列向量 ，有 A=0，则 A=O B.对任意的 n维列向量 ，有 TA=0，则 A=O C.对任意的 n阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=O D.对任意的 n阶矩阵 B，有 BTAB=O，则 A=O（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 n阶矩阵 A和 B阶矩阵 B
3、等价，则必有_ A.A+E和 B+E等价 B.A2和 B2等价 C.AB和 BA等价 D.-2A和 3B等价（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X与 Y相互独立，且 ，若 （分数：4.00）A.12B.12C.12.D.12.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 ，X 2 均服从 N(0，1)， ，则 Y=X 1 +X 2 X 3 的概率密度 f Y (y)为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）10.设 y=y(x)是由方程 x 2 +y=tan(x-y)所确定且满
4、足 y(0)=0，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）11.一阶差分方程 y t+1 -y t =t的通解为 y t = 1 （分数：4.00）12.设 ，其中 f与 g均可微，则 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设随机事件 A，B 满足 ，且 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：5.00）_(2).求 关于 x的函数关系的具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域（分数：5.00）_15.求 （分数：10.00）_16.设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且
5、 f(1，2)=2， （分数：10.00）_17.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值 （分数：10.00）_设微分方程及初始条件为 （分数：10.00）(1).求满足上述微分方程及初始条件的特解；（分数：5.00）_(2).是否存在那种常数 y 1 ，使对应解 y=y(x)存在斜渐近线，请求出此 y 1 及相应的斜渐近线方程（分数：5.00）_设 3阶矩阵 （分数：11.00）(1).t为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由；（分数：5.50）_(2).t为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由，（分数：5.5
6、0）_18.设 A是 n阶矩阵，A 的第 i行第 j列元素 a ij =ij(i，j=1，2，n)B 是 n阶矩阵，B 的第 i行第 j列元素 b ij =i 2 (i=1，2，n) 证明：A 相似于 B （分数：11.00）_设 X和 y的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X的概率密度；（分数：5.50）_(2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_设总体 X的概率分布为 （分数：11.00）(1).试利用总体 X的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：5.50）_(2).设 X 1 ，X 2 ，X n ，是来自总体 X(其未知
7、参数 为第一小题中确定的 )的简单随机样本，当 n充分大时，取值为 2的样本个数 N满足 （分数：5.50）_考研数学三-387 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f“(x)存在，则 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 在所说前提及条件“ ”下，由洛必达法则： ， 所以 ，从而知“ ”的充分条件，但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提 不存在， 而 却是存在的所以
8、“ 2.设 g(x)在 x=0的某邻域内连续且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定解析：解析 当 x0 时， ，由于 g(x)在 x=0处连续， 所以 f“(0) 2 =0 2 f“(0)-0g(0)=0，即 f“(0)=0 3.设 a n 0，且当 n时， ，则级数 （分数：4.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性由具体的 an决定 解析：解析 举例说明敛散性由具体a n 决定 设 条件收敛； 设 而 因为 条件收敛， 发散，所以 4.设 g
9、(x)在(-，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(-x)，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f“(x)0B.f“(x)0C.f“(x)与 x同号D.f“(x)与 x反号 解析：解析 由 f(x)=g(x)+g(-x)，有 f“(x)=g“(x)-g“(-x)，f“(x)=g“(x)+g“(-x)0， f“(0)=0再由拉格朗日中值定理有 f“(x)=f“(0)+f“()x=f“()x， 所以 f“(x)与 x反号，选 D5.设 A是 n阶矩阵，则下列说法错误的是_ A.对任意的 n维列向量 ，有 A=0，则 A=O B.对任意的 n维列向量 ，有 TA=0，则
10、A=O C.对任意的 n阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=O D.对任意的 n阶矩阵 B，有 BTAB=O，则 A=O（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 法一 选项 A对任意的 n维列向量 ，有 A=0分别取 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， n =(0，0，1) T 代入，即得 ij =0(i=1，2，n；j=1，2，n)故 A=O选项 C，D 对任意的 n阶矩阵 B，有 AB=O及 B T AB=O只要取 B=E，即可得出 A=O故由排除法，应选 B 法二 对选项 B，只要 A是非零反对称矩阵，即 A T =-AO 时，则对任意的 n维列向量 ，因 T
11、 A是数，故有 T A=( T A) T = T A T =- T A，2 T A=0，即 T A=0，但 AO故选项 B是错误的，应选 B6.已知 n阶矩阵 A和 B阶矩阵 B等价，则必有_ A.A+E和 B+E等价 B.A2和 B2等价 C.AB和 BA等价 D.-2A和 3B等价（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 n 阶矩阵 A和 B等价，故 r(A)=r(B) r(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B)，故-2A 和 3B等价，应选 D 取 ，r(A)=r(B)=2，但 r(A+E)=1r(B+E)=2，A+E 和 B+E不等价，故 A不成立 取 r(A)=r(B)=1，
12、但 r(A 2 )=1r(B 2 )=0，A 2 和 B 2 不等价，故 B不成立 取 ，r(A)=r(B)=1，但 7.设随机变量 X与 Y相互独立，且 ，若 （分数：4.00）A.12 B.12C.12.D.12.解析：解析 由于 可知 ，由于 (x)单调增加，则 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 ，X 2 均服从 N(0，1)， ，则 Y=X 1 +X 2 X 3 的概率密度 f Y (y)为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 X 1 ，X 2 均服从 N(0，1)，且相互独立，则 X 1 -X 2 ，X 1 +X 2
13、 均服从 N(0，2)，故 F Y (y)=PX 3 =-1PX 1 +X 2 X 3 y|X 3 =-1+PX 3 =1PX 1 +X 2 X 3 y|X 3 =1 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）解析：2 解析 应先写出 f(x)的表达式： 故知正好有两个间断点 10.设 y=y(x)是由方程 x 2 +y=tan(x-y)所确定且满足 y(0)=0，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）解析：-1 解析 将 x 2 +y=tan(x-y)两边对 x求导，有 2x+y“=sec 2 (x-y)(1-y“)， 当 x=0时，y(0)=0 11.一阶差分
14、方程 y t+1 -y t =t的通解为 y t = 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C为任意常数 解析 特征方程为 -1=0，特征根为 =1故对应的齐次方程的通解为 Y t =C1 t =C自由项为 t的一次多项式，1 是特征根，故设特解为 代入原方程，得 A(t+1) 2 +B(t+1)-(At 2 +Bt)=t， 即 2At+A+B=t 比较系数得 ，从而得 于是通解为 12.设 ，其中 f与 g均可微，则 （分数：4.00）解析：解析 13.设 （分数：4.00）解析： 解析 A是可逆矩阵 14.设随机事件 A，B 满足 ，且 （分数：4.00）解析： 解析 由 ，可得 P(A)
15、=P(B) 又由 ，可得 A，B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=P(A) 2 =P(B) 2 因此 ，得 同理， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 取 ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)-f(x)=f“()(x+1-x)， 即 (2).求 关于 x的函数关系的具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 ，两边平方： 所以 (x)在区间(0，+)上严格单调增加，又 所以 (x)的值域为 15.求 （分数：10.00）_
16、正确答案：()解析：解 将下述积分拆成两项并将第 1项交换积分次序： 下面来计算 由于当 0x1 时，e x2 1， ， 于是可以用洛必达法则计算下面极限： 16.设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)=2， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 (1)=f(1，f(1，2)=f(1，2)=2， 17.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 F(x，y)=2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8，且 解得 y=0
17、，4r+8z=0，再与 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0联立解得两组解： 再求二阶导数并以两组解分别代入，得 所以在第一组点处，B 2 -AC0， ，故 z-1为极小值；在第二组点处，B 2 -AC0， ，故 设微分方程及初始条件为 （分数：10.00）(1).求满足上述微分方程及初始条件的特解；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 改写所给方程为 由通解公式得通解 由初始条件 y(1)=y 1 ，得 C=(y 1 +1)e -1 ，得初值问题的特解为 (2).是否存在那种常数 y 1 ，使对应解 y=y(x)存在斜渐近线，请求出此 y 1 及相应的斜渐近线方程（分数
18、：5.00）_正确答案：()解析：解 若 y 1 -1，则 ，无斜渐近线若 y 1 =-1，则 故此时有斜渐近线 设 3阶矩阵 （分数：11.00）(1).t为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然，当 t=0时，有 r(A)=r(B)=2， (2).t为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由，（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 则 C有三个不同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，且存在可逆矩阵 P，使得 当 t=2时，A 有与 C一样的三个不同的特征值故知，当 t=2时，有可逆矩阵 Q，使得 18.设 A是 n阶矩阵，A 的第 i
19、行第 j列元素 a ij =ij(i，j=1，2，n)B 是 n阶矩阵，B 的第 i行第 j列元素 b ij =i 2 (i=1，2，n) 证明：A 相似于 B （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 由题设条件知 A各行元素成比例，故 r(A)=1，=0 是 A的 n-1重特征值； A的非零特征值为 ，且 A是实对称矩阵，故 B各行元素成比例，故 r(B)=1，=0 是 B的 n-1重特征值，B 的非零特征值为 B对应于 =0 有 n-1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵 P，使得 故 由相似关系的传递性，得证 设 X和 y的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X
20、的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 分布函数法 当 z0 时，f(x，y)的非零区域与(x，y)|y-xz的交集为图(a)中的阴影部分， 当 z0 时，f(x，y)的非零区域与(x，y)|y-xz的交集为图(b)中的阴影部分， 故 图(a)图(b)法二 密度函数法 其中 f(x，z+x)的非零区域为图(c)中的阴影部分 图(c)当 z0 时， 当 z0 时， 故 (2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设总体 X的概率分布为 （分数：11.00）(1).试利用总体 X的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 ，则 的矩估计量为 ，样本均值 所以 的矩估计值(2).设 X 1 ，X 2 ，X n ，是来自总体 X(其未知参数 为第一小题中确定的 )的简单随机样本，当 n充分大时，取值为 2的样本个数 N满足 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设知 ，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得 因此，
