1、考研数学三-379 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1 （分数：4.00）_2.证明方程 （分数：4.00）_3.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：4.00）_4.设 （分数：4.00）_5.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f
2、(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：2.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：2.00）_6.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1) （分数：4.00）_7.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：4.00）_8.证明：当 x1 时， （分数：4.00）_9.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_10.证明：当 0x1，证明： （分数：4.00）_11
3、. （分数：4.00）_12.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：4.00）_13.求曲线 （分数：4.00）_14.求曲线 （分数：4.00）_15.求 （分数：4.00）_16.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_17.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根 （分数：4.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()
4、g“()=0 （分数：4.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：8.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：4.00）_(2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：4.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：8.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_(2).存在 E(1，2)，使得 （分数：4.00）_20.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数 （分数：4.00）_考研数学
5、三-379 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x+p+qcosx，因为 f“(x)=1-qsinx0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加，又因为2.证明方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 得 x=e，因为 所以 为 f(x)的最大值，又因为3.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：4.00）_
6、正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(0，+)， 由 f“(x)=lnx+1=0，得驻点为 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 (3)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 4.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 f(x)在(-，+)上单调增加 因为 当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f(x)在(-，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为 f(-
7、x)=-f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 5.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(b-x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 由 “(x)=(b-x) a-1 (b-x)f“(x)-af(x)得 (b-) a-1 (b-)f“()-af()且(b-) a-1 0，故 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4
8、.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=e -x2 f“(x)-2xf(x)且 e -x2 0，故 f“()=2f()(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=xf“(x)+f(
9、x)，故 f“()+f()=06.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1) （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 故 f“()-f()=f(2)-2f(1) 7.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉
10、格朗日中值定理得 其中 (1，2)， f(2)-f(1)=f“()(2-1)=f“()，其中 (1，2)， 8.证明：当 x1 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=2ln20， 因为 f“(x)=ln(1+x)+1-lnx-1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 当 x1 时， 9.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 f(x)在(0，+)内为单调减函数，又因为 所以 即 10.证明：当
11、0x1，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 11. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 12.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)1，所以 从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 13.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 y“0 得(x-3) 2 -10，解得 2x4 故曲线 14.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 15.求 （分数：4.00）_正确
12、答案：()解析：解 因为 所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 得 x=0 为铅直渐近线， 由 得 x=2 为铅直渐近线， 16.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 17.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=arctanx-ax， 为 f(x)的最大点， 由 f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在
13、 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 即 整理得 19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x) 0，所以 f“()+f()g“()=0设 f(x)在0
14、，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：8.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )，于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) (2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -2x
15、f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：8.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=lnx， 且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2).存在 E(1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f“()(-1)，其中 1， 20.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 由泰勒公式得 其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 两式相加得 即
