1、考研数学三-367 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，已知 且其概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)，f 2(x)分别是正态分布 N(0， 2)与参数为 的指数分布的概率密度，则（分数：4.00）A.B.C.D.3.设方程 y+siny=ln(1-tan2x)确定隐函数 y=y(x)，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-1B.0C.1D.不存在4.设有以下函数（分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X1，X
2、 2，X n，相互独立，且 x2。(n=1，2，)服从参数为 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足（分数：4.00）A.切比雪夫大数定律B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.中心极限定理6.设级数 发散，则级数 （分数：4.00）_7.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解是()的解，但()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的
3、解8.设图形（分数：4.00）A.(a)，B.(b)，C.如下：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.由 x2+y22x 与 y2-x 确定的平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V=_。（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ABC=D，其中（分数：4.00）填空项 1:_14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1)，现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，
4、则 P=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定常数 a 与 b 的取值，使得（分数：10.00）_16.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：9.00）_17.求由方程 2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0 所确定的隐函数 z=(x，y)的极值。（分数：11.00）_设甲、乙、丙三种产品的产量分别为 x，y，z(吨)时生产这三种产品的总成本函数为 C(x，y，z)=2x+y+2z+30(万元)，出售这三种产品的价格分别为 P1=18-x(万元/吨)，P 2=2
5、5-2y(万元/吨)与 P3=12-z(万元/吨)。（分数：10.00）(1).厂家为取得最大利润应生产这三种产品各多少吨?（分数：5.00）_(2).若限制这三种产品的总产量为 16 吨，厂家为取得最大利润应分别生产这三种产品各多少吨?（分数：5.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.已知矩阵 （分数：11.00）_已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2。（分数：11.01）(1).求该二次型表达式；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；（分数：3.67）_(3).若 A+kE
6、正定，求 k 的值。（分数：3.67）_已知(X，Y)在直线 y=0，y=1，y=x+1，y=x 围成的区域 D 内服从二维均匀分布，（分数：11.01）(1).求 X，Y 的边缘概率密度；（分数：3.67）_(2).求 X 与 Y 的协方差 cov(X，Y)；（分数：3.67）_(3).求 X+Y 的方差。 （分数：3.67）_设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）(1).a 与 b 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).a 与 b 的最大似然估计量。（分数：5.50）_考研数学三-367 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
7、1.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 AA，矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩*所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化，矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 CA，矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于*所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选(B)。*2.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，已知 且其概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)，f 2(x)分别是正态分布 N(0， 2)与参数为 的指数分布的概率
8、密度，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 已知*即*故*所以*计算知*故应选(D)。3.设方程 y+siny=ln(1-tan2x)确定隐函数 y=y(x)，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-1 B.0C.1D.不存在解析：分析 首先确定隐函数 y=y(x)在 x=0 处的函数值，令 g(y)=y+siny，则 g(0)=0，g(y)=1+cosy0，且 g(y)=0 仅在 y=(2k+1)(k=0，1，2，)处成立，这表明 g(y)在(-，+)上单调增加，故 g(y)有且仅有唯一的零点 y=0，将 x=0 代入隐函数方程即得 y(0)+siny(0)=0，故 y(0)=0
9、。其次求 y(0)；将隐函数方程看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数，得* 在(*)式中令 x=0 并利用 y(0)=0 即得 y(0)=0。最后求 y“(0)，将(*)式看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数，得*在(*+)式中令 x=0 并利用 y(0)=0 与 y(0)=0 即得 y“(0)=-1，故应选(A)。4.设有以下函数（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 按定义分析，即分析*的存在性，并要逐一分析。*f(x)在点 x=0 处可导，*f(x)在点 x=0 处不可导，*f(x)在点 x=0 处可导，*f(x)在点 x=0 处不可导，因此选(B)。*5.设随机变量
10、 X1，X 2，X n，相互独立，且 x2。(n=1，2，)服从参数为 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足（分数：4.00）A.切比雪夫大数定律 B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.中心极限定理解析：分析 X 1，X 2，X n，不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理，用排除法可知应选(A)。进一步分析，EX 2n=DX2n=，EX 2n-1=，DX 2n-1= 2，因此对任何 n=1，2，都有 DXn+ 2，即X1，X 2，X n相互独立，期望、方差都存在且对所有 n，DX n 2+，
11、符合切比雪夫大数定律成立的条件，应选(A)。6.设级数 发散，则级数 （分数：4.00）_解析：分析 若数列a n7.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解是()的解，但()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：分析 若 是()的解，即 An=0，显然 An+1=A(A n)=A0=0，即 必是()的解，可排除(C)和(D)。若 是()的解，即 An+1=0，假若 不是()的解，即 An0，那
12、么对于向量组，A，A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若k+k 1A+k 2A2+k nAn=0，用 An左乘上式，并把 An+1=0，A n+2=0，代入，得 kA n=0，由于 An0，必有 k=0，对k1A+k 2A2+k nAn=0，用 An-1左乘上式可推知 k1=0，类似可知 ki=0(i=2，3，n)，于是向量组 ，A，A 2，A n 线性无关，两者矛盾，所以必有An=0，即()的解必是()的解，由此可排除(B)，故应选(A)。8.设图形（分数：4.00）A.(a)，B.(b)，C.如下：解析：分析 以(a)或(b)或(c)为 y=f(x)的图
13、形，从*及 f(x)的几何意义来看其它两个图形是否分别是*和 y=f(x)的图形。若(a)是 y=f(x)的图形，则 f(x)在0，1单调上升且 f(x)0 (x0，1)*f(x)0，*但(c)中 x轴下方有图像，故(a)不是 y=f(x)的图形，于是(A)，(B)均不正确。若(b)是 y=f(x)的图形，则 f(x)有唯一最大值点 x0(0，1)，f(x)在0，x 0)单调上升，在x 0，1单调下降，且 f(x)0(x(0，1)，故*且单调上升(x0，1)，f(x)0(x(0，x 0)，f(x 0)=0，f(x)0(x(x 0，1)，因此(C)是正确的。若(c)是 y=f(x)的图形，则 f
14、(x)在0，1单调下降，于是 f(x)0，因此(D)不正确，故应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-6）解析：分析 由于当 n时*的等价无穷小量是*故*10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析f(x)可改写为*令*则*其中 a0，由此可见*的最小值点，计算可得*因此 f(x)的最小值点是 x=2。11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令 x=sit 作换元，由于 x：01*且 dx=cosd，代入即得*再令 tan=u，由于*12.由 x2+y22x 与 y
15、2-x 确定的平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 平面图形 D 可表示为*在此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体中，满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为 2-y，外半径为*厚度为 dy，(如图 1)，故其体积为*-(2-y) 2dy，从而所求旋转体的体积*13.已知 ABC=D，其中（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 A、C 都是初等矩阵，它们可逆，故 B=A-1DC-1，我们可以求出 B，然后按定义法求 B*，这样计算量较大，若注意到 D 可逆，于是 B 可逆，而
16、由*因此亦可通过求 B-1来达到求 B*，易见，|B|=|A -1|D|C-1|=-6又 B -1=(A-1DC-1)-1=CD-1A*故*14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1)，现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 P=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 首先我们求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值，依题意 X 取值为 2，3，且*解方程*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定常数 a 与 b 的取值，使得（分数：10.00）_正确答案：(
17、解法一 利用极限的四则运算法则与洛必达法则求解本题，首先由题设可得*即*这表明当 x0 时 ln(1-x+2x2)+asinx 是 x 的二阶无穷小，于是有*即*故*综合得 a=b=1解法二 用泰勒公式求解本题，因为*又当 a0 时 asinx=ax+o(x 2)=ax+o(x2)，故*于是*由题设即得*)解析：16.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：9.00）_正确答案：(分析与证明 由题设条件可求得*下证*由于*连续*单调增加*g(x)g(0)=0 (x0)*因此 F(x)在(0，+)是凹函数。)解析：17.求由方程
18、 2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0 所确定的隐函数 z=(x，y)的极值。（分数：11.00）_正确答案：(由隐函数求导得*令*得方程组*由此可求出驻点满足 x=0，y=1，再代入原方程得 z2-4z+3=0，于是对应两个隐函数的函数值 z1(0，1)=1，z 2(0，1)=3。为判定是否是极值，需求 z(x，y)在点(0，1)处的二阶偏导数，由，可得*用 x=0，y=1 与 z1(0，1)=1 代入以上方程组可得*于是*又 A10，故 z1(0，1)=1 是隐函数 z1(x，y)的极小值，同样，用 x=0，y=1 与 z2(0，1)=3 代入以上方程组又可得*于是*又 A
19、20，故 z2(0，1)=3 是隐函数 z2(x，y)的极大值，)解析：设甲、乙、丙三种产品的产量分别为 x，y，z(吨)时生产这三种产品的总成本函数为 C(x，y，z)=2x+y+2z+30(万元)，出售这三种产品的价格分别为 P1=18-x(万元/吨)，P 2=25-2y(万元/吨)与 P3=12-z(万元/吨)。（分数：10.00）(1).厂家为取得最大利润应生产这三种产品各多少吨?（分数：5.00）_正确答案：(当甲、乙、丙三种产品的产量分别为 x，y，z(吨)时出售这些产品的总利润函数(单位：万元)是F(x，y，z)=P 1x+P2y+P3z-C(x，y，x)=(18-x)x+(25
20、-2y)y+(12-z)z-2x-y-2z-30令*可得唯一驻点 x=8，y=6，z=5，因驻点唯一且实际问题必有最大利润，故计算结果表明当甲、乙、丙三种产品的产量分别为 8 吨，6 吨与 5 吨时厂家可取得最大利润。)解析：(2).若限制这三种产品的总产量为 16 吨，厂家为取得最大利润应分别生产这三种产品各多少吨?（分数：5.00）_正确答案：(当限制甲、乙、丙这三种产品的总产量为 16 吨时，应求总利润函数 F(x，y，z)在约束条件x+y+z-16=0 下的最大值点，为此引入拉格朗日函数G(x，y，z，)=F(x，y，z)+(x+y+z-16)，并令*从，式中消去 可得 2y-x=4
21、与 2y-z=7，即 x=2y-4，z=2y-7，把它们代入式可解得 y=5.4(吨)，从而 x=6.8(吨)，z=3.8(吨)。因驻点唯一，且实际问题在限定总产量为 16 吨时必有最大利润，故计算结果表明：当甲、乙、丙三种产品的产量分别为 6.8 吨，5.4 吨与 3.8 吨时厂家可取得限制总产量时的最大利润。)解析：18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(对 n=1，2，3，记*由于*从而幂级数*的收敛半径 R=1。当 x=1 时幂级数成为交错级数*由于其一般项当 n2 时可分解成*而级数*收敛，级数*发散，从而幂级数*当 x=1 时发散，当然幂级数*当 x=1 时也发散。当 x
22、=-1 时幂级数成为负项级数-*由于正项级数*的一般项*因为正项级数*发散，所以正项级数*发散，故负项级数*也发散，即幂级数*当 x=-1 时也发散。综合即知幂级数*的收敛域是开区间(-1，1)。)解析：19.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*知矩阵 A 的特征值是 1，1，2。因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，所以秩 r(E-A)=1，又*故 a=1，由(E-A)x=0，即*得基础解系 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T。由 (2E-A)x=0，即*得基础解系 3=(2，-1，3) T。那么令 P=( 1， 2， 3)，有*从而 A=P
23、AP-1。于是 A n=PAnP-1*)解析：*已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2。（分数：11.01）(1).求该二次型表达式；（分数：3.67）_正确答案：(据已知条件，有*即*解出 a12=2，a 13=2，a 23=-2，所以*)解析：(2).求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；（分数：3.67）_正确答案：(由*得矩阵 A 的特征值为 2，2，-4。由(2E-A)X=0，*得 =2 的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T；*得 =-4 的特征向量 3=(-1，1，1) T。将 1， 2
24、正交化，令 1= 1，则*再对 1， 2， 3单位化，有*那么令*)解析：(3).若 A+kE 正定，求 k 的值。（分数：3.67）_正确答案：(因为 A+kE 的特征值为 k+2，k+2，k-4，所以当 k4 时，矩阵 A+kE 正定。)解析：已知(X，Y)在直线 y=0，y=1，y=x+1，y=x 围成的区域 D 内服从二维均匀分布，（分数：11.01）(1).求 X，Y 的边缘概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(如下图，区域 D 的面积为 1，(X，Y)的联合概率密度为*从而 X，Y 的边缘概率密度分别为*)解析：(2).求 X 与 Y 的协方差 cov(X，Y)；（分数：3.6
25、7）_正确答案：(*于是*)解析：(3).求 X+Y 的方差。 （分数：3.67）_正确答案：(*因此*)解析：*设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）(1).a 与 b 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：(*令随机变量 Y 服从参数 =1/b 的指数分布，概率密度记为 fY(y)，由于 EY=1/=b，DY=1/ 2=b2，于是有*解以 a，b 为未知量的方程组*于是 a，b 的矩估计量分别是*)解析：(2).a 与 b 的最大似然估计量。（分数：5.50）_正确答案：(设 x1，x 2，x n为样本 X1，X 2，X n的观测值，则似然函数 L(x1，x 2，x n；a，b)*L(a，b)为*由于 n/b0，故 lnL(a，b)与 L(a，b)关于 a 是增函数，但是又因只有 amin(x 1，x 2，x n)时，L(a，b)才不等于零，故 a 可取的最大值为 min(x1，x 2，x n)，再根据方程*于是 a，b 的最大似然估计量分别为*)解析：
