1、考研数学三-351 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.没有不可导的点B.仅有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点D.共有 3 个不可导的点2.设函数 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.x+2y=0B.x-2y=0C.2x+y=0D.2x-y=03.设方程 x 2 y+e x =1+cos(x 2 +y)确定的隐函数 y=y(x)满足 （分数：4.00）A.-3B.3-C.+3D.-3-4.设 ，其中 k 为正常数，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛或发散与
2、 k 的取值有关5.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135B.45C.15D.816.三元二次型 x T Ax=(x 1 +3x 2 +ax 3 )(x 1 +5x 2 +bx 3 )的正惯性指数 p=（分数：4.00）A.1B.2C.3D.与 a、b 有关7.设 A，B 为两个随机事件，且 A B，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，则 Pmin(X，Y)2= A.
3、1-e-2 B.1-e-4 C.(1-e-1)2 D.(1-e-2)2（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.曲线 y=xsinz(0x)与 x 轴所围成的图形绕 z 轴旋转一周所成旋转体的体积 V= 1 （分数：4.00）12.设函数 y=g(x，z)，又方程 f(xy，x-z)=0 确定了 x 为 x，y 的函数，则 （分数：4.00）13.二次型 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9
4、，分数：94.00)15.求二元函数 z(x，y)=x 2 +48xy+32y 2 在区域 D=(x，y)|x 2 +4y 2 25上的最大值与最小值 （分数：10.00）_设函数 f(x)在区间0，+)上具有二阶连续导数，且 f(x)=f“(0)=0，f“(x)0，若对任意的 x0，用函数 u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图 （分数：10.00）(1).写出函数 u(x)的表达式，并求 （分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.求函数 的幂级数展开式，并求级数 （分数：10.00）_18.设 a，b 为正常数
5、，且 ba，证明： （分数：10.00）_19.已知齐次线性方程组 （分数：11.00）_设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0（分数：9.99）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：3.33）_(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.33）_(3).求行列式|A+2E|的值（分数：3.33）_设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下： （分数：12.00）(1).试将分布中的其余数据填入空白处（分数：4.00）_(2).试问 X 与 Y 是否独立?（分数：4.00）
6、_(3).求 Cov(X，Y 2 )（分数：4.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z 1 =min(X，Y)和 Z 2 =max(X，Y)试求（分数：11.00）(1).Z 1 和 Z 2 的密度函数 f 1 (z)和 f 2 (z)（分数：5.50）_(2).求 EZ 1 和 EZ 2 （分数：5.50）_考研数学三-351 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.没有不可导的点B.仅有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点 D.共有 3 个不可导的点解析：解析
7、 定义域内不连续或左、右导数不相等的都是函数不可导的点；此外含有无理根式的函数，求导后使分母为零的点也可能是不可导的点对以上这几种情况要一一验证 首先讨论使|x 2 -1|=0 的点 x 1 =1，x 2 =-1 在 x 1 =1 处 可知 f“ + (1)=f“ - (1)，f(x)在 x=1 处可导 在 x 2 =-1 处， 可知 f“ + (-1)f“ - (-1)，因而 x 2 =-1 是 f(x)的 1 个不可导的点 此外，由于 所以 x=-4 也是 f(x)的 1 个不可导的点 总之，f(x)共有 2 个不可导的点，选项 C 正确 并非使绝对值号内的函数为零的点一定不可导，本题 x
8、 2 =1 为一个例证其原因是 x=1 使 2.设函数 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.x+2y=0 B.x-2y=0C.2x+y=0D.2x-y=0解析：解析 由 ，且 f(x)连续，故 f(0)=0 从而法线斜率为 ，所以曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的法线方程为 3.设方程 x 2 y+e x =1+cos(x 2 +y)确定的隐函数 y=y(x)满足 （分数：4.00）A.-3B.3-C.+3D.-3- 解析：解析 将方程两端对 x 求导数可得 2xy+x 2 y“+e x =-sin(x 2 +y)(2x+y“) (*) 将 与 x=0 代入即得 1=-y“(0) y
9、“(0)=-1 再将(*)式两端对 x 求导数又有 2y+2xy“+2xy“+x 2 y“+e x =-cos(x 2 +y)(2x+y“) 2 -sin(x 2 +y)(2+y“)， (*) 将 ，y“(0)=-1 与 x=0 代入又得 +1=-2+y“(0) 4.设 ，其中 k 为正常数，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛或发散与 k 的取值有关解析：解析 本题考查数项级数收敛性的判定，其中 a n 由一定积分给出一般都用正项级数比较判别法；或者使 a n 能比一个收敛级数的一般项小(或等)，或者比一个发散级数的一般项大(或等) 因为 x0，所以 a n
10、中的被积函数有 从而 由于 p 级数 收敛，所以原级数 收敛，即绝对收敛应该选 A 如果这样“放大”： 5.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135 B.45C.15D.81解析：解析 由 A+2B=(+2，3 1 ，3 2 ，3 3 ) 知|A+2B|=27|+2， 1 ， 2 ， 3 | =27(|A|+2|B|)=1356.三元二次型 x T Ax=(x 1 +3x 2 +ax 3 )(x 1 +5x 2 +bx 3 )的正惯性指数 p=（分数：4.
11、00）A.1 B.2C.3D.与 a、b 有关解析：解析 令 有 x T Ax=y 1 y 2 再令 得 ，所以必有 p=1 因为 7.设 A，B 为两个随机事件，且 A B，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方法 1：A B 则 ，所以 ， 方法 2： 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，则 Pmin(X，Y)2= A.1-e-2 B.1-e-4 C.(1-e-1)2 D.(1-e-2)2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 Pmin(X，Y)2=1-Pmin(X，Y)2=1-PX2，Y2 =1-PX2)PY2=1
12、-e -2 e -2 =1-e -4 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）解析：解析 10. （分数：4.00）解析： 解析 故填 11.曲线 y=xsinz(0x)与 x 轴所围成的图形绕 z 轴旋转一周所成旋转体的体积 V= 1 （分数：4.00）解析： 解析 注意 代入即得 12.设函数 y=g(x，z)，又方程 f(xy，x-z)=0 确定了 x 为 x，y 的函数，则 （分数：4.00）解析： 解析 本题 3 个变 x，y，z；两个方程： 确定了 y，z 都是 x 的一元函数，所以求 (*)中两个方程的两分别对 x 求导： 将 代入得 解出
13、用求全微分的方法亦可得： 消去 dy 并整理得 即 13.二次型 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 由 矩阵 A 的特征值：1，3，-2 那么经正交变换则二次型标准形为 ， 而规范形是 用配方法亦可： 亦知规范形是 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）解析： 解析 已知 ，ES 2 =DX=1 且 与 S 2 相互独立，也就有 与 S 相互独立 ES 2 =1 总之 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求二元函数 z(x，y)=x 2 +48xy+32y 2 在区域 D=(x，y)|x 2 +4y 2 25上
14、的最大值与最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 首先求函数 z(x，y)在区域 D 内的驻点及驻点处的函数值令 可得 z(x，y)在区域 D 内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处 z(0，0)=0 其次，求函数 z(x，y)在区域 D 的边界 x 2 +4y 2 =25 即 x 2 +4y 2 -25=0 上的最大值与最小值可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，)=x 2 +48xy+32y 2 +(x 2 +4y 2 -25)，并求它的驻点，即求如下方程绢的非零解： 由代数知识可得方程组(1)与(2)存在非零解的充分必要条件是系数行列式 即 2 +9-136
15、=0 解出可得 1 =8， 2 =-17对应于 1 =8 方程(1)与方程(2)变成 3x+8y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点 与 对应于 2 =-17 方程(1)与方程(2)变成 2x-3y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点 P 3 (3，2)与 P 4 (-3，-2) 计算函数 z(x，y)在区域 D 的边界上四个驻点处的函数值可得： 设函数 f(x)在区间0，+)上具有二阶连续导数，且 f(x)=f“(0)=0，f“(x)0，若对任意的 x0，用函数 u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图 （分数：10.00）(1).写出函数 u(x)的表达式，
16、并求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 如图，设点 M 的坐标为(x，f(x)，点 N 的坐标为(x，0)，点 P 的坐标为(u(x)，0)，则 MN 的长度是 f(x)，NP 的长度是 x-u(x)，从而由导数的几何意义知 用洛必达法则可得 又因 故 (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 其中 由对称性或换元积分(对第二项积分令 )知 最后 解析 解本题的关键是处理好被积函数中的 用直线 y=x 将区域分割成两部：在xy 部分(D 1 )，绝对值取正号；在 yx 部分 本题在极坐标系下计算 无论是定积分或二
17、重积分的题，若被积函数中含绝对值号或开偶数次方的式子(其本质也是带绝对值号)，都要讨论在积分区域内有无变号的问题一般都是将积分区域分割成若干部分再决定函数符号画出区域的简单图形是有助于解题的 17.求函数 的幂级数展开式，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 而 ， 故 ，收敛区间为(-1，1) 取 ， 即 18.设 a，b 为正常数，且 ba，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证法 1 设 则 其正负号不能确定，故又令 (x)=xe x -e x +1，x0 由于 “(x)=xe x 0，所以当 x0 时 (x)单调递增， 又 (0)=0，从而 (x)0，即
18、 f“(x)0，进而，当 x0 时，f(x)是单调递增的，所以，当 ba0 时，有 ，即 证法 2 显然在a，b区间上，函数 满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (a，b)，使得 其中 由证法 1 知，当 0 时，e -e +10，又 ba， 2 0， 所以 ，即 证毕 解析 将欲证明的不等式变形为等价的 19.已知齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换，有 可求出()的基础解系为 1 =(-1，1，-4，0) T ， 2 =(-a，0，-3a，1) T 对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换，有 有 b=-1 由于()与()同
19、解， 1 ， 2 也是()的基础解系，它应是 的解从而 设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0（分数：9.99）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 设 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 (1) 因为 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0，用 A 左乘(1)式两端，有 k 1 2 +k 2 3 =0 (2) 再用 A 左乘(2)式两端，有 k 1 3 =0 由于 3 0，故必有 k 1 =0 把 k 1 =0 代入(2)得 k 2
20、=0把 k 1 =0，k 2 =0 代入(1)得 k 3 =0所以 1 ， 2 ， 3 线性无关(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 由于 据第一小题知 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )可逆 从而 (3).求行列式|A+2E|的值（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 因为 AB 有 A+2EB+2E 从而|A+2E|=|B+2E|=8设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下： （分数：12.00）(1).试将分布中的其余数据填入空白处（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 首先将空白处填上待
21、求未知数 显然 p 11 +0.02=0.1，故 p 11 =0.08 又因 0=EX=-1p 1 +1p 2 =p 2 -p 1 ，也就有 p 1 =p 2 =0.5 所以 而 1=0.1+p 2 +p 3 =0.1+(p 12 +p 22 )+(0.1+p 23 )，即 p 12 +p 22 +p 23 =0.8 再考虑到 P 22 +p 23 =0.48，所以 p 12 =0.32，进一步得 p 11 =0.08 总之现有 p 11 =0.08，p 12 =0.32，p 22 +p 23 =0.48 现考虑 X，Y 不相关，即 Cov(X，Y)=0，也就有 EXY=EXEY=0 而 XY
22、 的分布 由此得 EXY=-0.12+p 11 +p 23 =0，即 p 23 =0.04 而 p 22 +p 23 =0.48，p 22 =0.44 总之 (2).试问 X 与 Y 是否独立?（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 X，Y 显然不独立，因 p ij p i p j(3).求 Cov(X，Y 2 )（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设随机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z 1 =min(X，Y)和 Z 2 =max(X，Y)试求（分数：11.00）(1).Z 1 和 Z 2 的密度函数 f 1 (z)和 f 2 (z)（分数：5.50）
23、_正确答案：()解析：解 X，Y 独立，E(1)，其密度 指数分布有： 记 Z 1 的分布 F 1 (z)， z0，F 1 (z)=PZ 1 z=Pmin(X，Y)z=0 z0 时，F 1 (z)=PZ 1 z=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z =1-PXz，Yz=1-PXzPYz =1-e -z e -z =1-e- 2z 所以 现来求 Z 2 的分布 F 2 (z) F 2 (z)=PZ 2 z=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXzPYz=F X (z)F Y (z)=F 2 (z) (2).求 EZ 1 和 EZ 2 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因 Z 1 E(2)故 解析 题中直接运用公式 记住这公式会很有用 EZ 2 的计算也可以方便用公式 EZ 2 =E(Z 1 +Z 2 )-E(Z 1 )=E(X+Y)-E(Z 1 )
