1、考研数学三-294 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.-1，0B.-1，27C.0，27D.-1，0，272.设 （分数：4.00）A.I3I1I2B.I3I2I1C.I1I3I2D.I1I2I33.设 y=y(x)是方程 x 2 y+e 2y =1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-2B.-4C.2D.44.设 f(x，y)为连续函数，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）ABCD6.已知多项式 （分数：
2、4.00）A.1，40B.0，40C.0，-40D.1，-407.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标的概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p 为 A0.6 B0.7 C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)连续，函数 ，且 （分数：4.00）10.设函数 f(x)在点 x
3、=0 处连续，且 （分数：4.00）11.设平面区域 D 由曲线 y=e x ，y=-x+e+1 和 y 轴所围成，则 D 的面积为 1 （分数：4.00）12.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z-xy-e xz-y =0 所确定，则 dz| (0，1) = 1 （分数：4.00）13.设 =(1，0，1) T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，-2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY2-2X+Y= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00
4、）_17.记 maxA，B表示 A，B 二数中最大的计算 （分数：10.00）_18.确定正数 A 的最小值与负数 B 的最大值，使得不等式 （分数：10.00）_19.求微分方程 （分数：10.00）_20.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 （分数：11.00）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.67）_(2).若二次型 x T Ax 正定，求 a 的取值（分数：3.67）_(3).当 a
5、=-2 时，二次型 x T Ax 的规范形（分数：3.67）_设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，1)，YU(1，2)，记 Z=|X-Y| 求：（分数：11.00）(1).随机变量 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_(2).随机变量 Z 的数学期望 EZ（分数：5.50）_已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 记 （分数：11.00）(1).计算 ET（分数：5.50）_(2).计算 DT（分数：5.50）_考研数学三-294 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(
6、总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.-1，0B.-1，27C.0，27 D.-1，0，27解析：解析 因在点 x=-1 处， 左极限 f(-1-0)=-1，右极限 f(-1+0)=-1，故函数连续， 又左导数 右导数 函数在 x=-1 处可导 x=0 是函数 f(x)的一个不可导点 在点 x=27 处， f(27-0)=3，f(27+0)=3，故函数连续； 2.设 （分数：4.00）A.I3I1I2 B.I3I2I1C.I1I3I2D.I1I2I3解析：解析 本题考查定积分的性质，由于 3 个积分的积分区间都一样，所以只需要比较被积函数的大小 在区间 上，由于 0si
7、nx1，故 0sin 2 xsinx1 从而 I 3 I 1 ，这排除了选项 C 与 D 在比较 I 1 与 I 2 时，考虑积分 对等式右边第 2 个积分令 得 所以 而 当 时，由于 cosx-sinx0， 3.设 y=y(x)是方程 x 2 y+e 2y =1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-2B.-4 C.2D.4解析：解析 将 x 2 y+e 2y =1+sin(x+y)看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得 2xy+x 2 y“+e 2y 2y“=cos(x+y)(1+y“) (*) 把 x=0，y(0)=0 代入上式可
8、得 2y“(0)=1+y“(0) y“(0)=1 将(*)看成关于 x 的恒等式，两端再对 x 求导数又得 2y+4xy“+x2 y“+e 2y (2y“) 2 +e 2y 2y“=-sin(x+y)(1+y“) 2 +cos(x+y)y“， 把 x=0，y(0)=0，y“(0)=1 代入上式可得 4+2y“(0)=y“(0) 4.设 f(x，y)为连续函数，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 原积分的积分区域为 故选项 D 正确 5.设 （分数：4.00）ABCD 解析：解析 C 是对称矩阵必和对角矩阵相似 矩阵 A 的特征值是 1，2，3，有 3 个不同的特
9、征值必和对角矩阵相似 矩阵 B 的特征值是 3，3，-1，特征值有重根，但 =3 有 2 个线性无关的特征向量，故和对角矩阵相似 矩阵 D 的特征值是 2，0，0，特征值有重根，但 =0 时(0E-D)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =0 只有一个线性无关的特征向量，故 D 不能相似对角化6.已知多项式 （分数：4.00）A.1，40B.0，40C.0，-40 D.1，-40解析：解析 由于行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，现在第四行元素中没有 x 项，因此多项式f(x)中不存在 x 4 项，其系数必为 0 而常数项是由不含 x 的项所得，故令 x=0，有 7.甲、乙两人各自独立地向同
10、一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标的概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p 为 A0.6 B0.7 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 用 X，Y 分别表示两次射击甲、乙击中目标的次数，则 X 与 Y 相互独立XB(2，p)，yB(2，0，6) 事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”即X=Y，为 X=0，Y=0X=1，Y=1X=2，Y=2 依题任选 p 使得 PX=Y最大由于 PX=Y=PX=0PY=0+PX=1PY=1+PX=2PY=2 =0.16(1-p) 2 +0.96p(1-p)+0.36p
11、2 =0.16+0.64p-0.44p 2 对 p 求导，得 8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 Pmax(X，Y)=P(X)(Y) =PX+PY-PX，Y =1-Pmin(X，Y) =Pmin(X，Y)， 选择 C 我们也可以这样考虑，由于 Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y) 其中 A=X，B=Y，已知 XN(， 2 )，YN(， 2 )， 所以 Pmin(X，Y)=1-Pmin(X，Y)=1-PX，Y =P(A)+P(B)-P(AB)=
12、1-P(AB)=a， 选择 C 本题可以有如下的变式： 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，且 PX0，Y2=a，则 PX0，Y2=_ 记 A=X0，B=X2，由题设知 P(AB)=a， ， ， 故 选择题可以不要求推导过程，本题 X，Y 不一定独立，但如果 X，Y 独立结论一定也对，故为简化不妨假定X，Y 独立这时， a=Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y) =1-PX，Y=1-PX)PY 而 Pmin(X，Y)=1-Pmin(X，Y)=1-PX，Y 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)连续，函数 ，且 （分数：4.00）解析： 解析 因
13、 又由 f(x)连续和 知 f(0)=0，从而 (0)=0 故 10.设函数 f(x)在点 x=0 处连续，且 （分数：4.00）解析：y=3x 解析 由所给条件 可知 又 11.设平面区域 D 由曲线 y=e x ，y=-x+e+1 和 y 轴所围成，则 D 的面积为 1 （分数：4.00）解析： 解析 二曲线的交点出标为(1，e) D 的面积 12.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z-xy-e xz-y =0 所确定，则 dz| (0，1) = 1 （分数：4.00）解析： 解析 在题设方程的两边分别对 x，y 求偏导数得 又当 x=0，y=1 时，z(0，1)-e -1 =0，即 以
14、 x=0，y=1， 代入(*)得 故全微分 13.设 =(1，0，1) T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）解析： 解析 记 又 B 2 =( T )( T )=( T ) T =- T =-B 递推地，B 2017 =(-1) 2016 B=B 故 A 2017 =(P -1 BP) 2017 =P -1 B 2017 P=P -1 BP 注意 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，-2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY2-2X+Y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 (X，Y)N(1，-2； 2 ， 2 ；0)，所以 X 与 Y 相互独立，且 XN(1， 2
15、 )和 YN(-2， 2 )，也就有 (X-1)N(0， 2 )与(Y+2)N(0， 2 )，且(X-1)与(Y+2)也相互独立 PXY2-2X+Y=PXY+2X-Y-20=P(X-1)(Y+2)0 =PX-10，Y+20+PX-10，Y+20 =PX-10PY+20+PX-10PY+20 根据正态分布的对称性： 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为当 x0 时，e x2 -1x 2 ，所以 解析 对于含有变上限定积分的极限，一般都是要用洛必达法则，而对分母则要以等价无限小代替 及时应用等价无穷小可以减少不少工作量，一
16、些常用的等价无穷小应该记住： 当 x0 时，sinxx(包括 tanx，arcsinx 等)，e x -1x，ln(1+x)x， 16.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 先求收敛半径： 因为 所以收敛半径 R=1，又当 x=1 时，级数 发散，故级数的收敛域为(-1，1) 将通项分成两部分： 于是 其中 综上得 解析 求和函数时，要将级数通项分成两部分再计算 幂级数求和函数，主要利用“逐项求导，逐项积分”等性质，以及一些初等函数的幂级数展开式，尤其是 17.记 maxA，B表示 A，B 二数中最大的计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用直线 y=x 将区域 D
17、分割成 D 1 与 D 2 两部分 在 D 1 内 xy，在 D 2 内 xy，于是有 18.确定正数 A 的最小值与负数 B 的最大值，使得不等式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 在区域 D=(x，y)|x0，y0内 因而 A 的最小值就是函数 在区域 D 内的最大值，令 r=x 2 +y 2 ，则 A 的最小值就是函数 在区间(0，+)内的最大值 计算可得 故 F(r)在区间(0，+)内的最大值是 ，即 A 的最小值是 由于在区域 D=(x，y)|x0，y0内 因而 B 的最大值就是函数 g(x，y)=xyln(x 2 +y 2 )在区域 D 内的最小值 令 即 是函数 g(
18、x，y)在 D 中的唯一的驻点注意在区域 D 的两条边界 1 =(x，y)|x=0，y0与=(x，y)|x0，y=0上函数 g(x，y)=0又当 x 2 +y 2 1 时，函数 g(x，y)0，而 故这是 g(x，y)在区域 D 内的最小值，因而 B 的最大值是 19.求微分方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方程两边对 x 求导： 整理得 令 ，即 y=xu， 有 ， 代入(*)得 分离变量： 两边积分有 即 由 y(1)=0 知 u(1)=0，故 C=1，从而 ， 20.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证
19、明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 1 ， 2 必线性相关，故 不全为 0 的 k 1 ，k 1 ，l 1 ，l 2 使 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0 令 =k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1 -l 2 2 如果 =0，即 k 1 1 +k 2 2 =0 且 l 1 1 +l 2 2 =0 由 1 ， 2 线性无关，故必有 k 1 =0，k 2 =0，同理由 1 ， 2 线性无关知 l 1 =0，l 2 =0 与 k 1 ，k
20、 2 ，l 1 ，l 2 不全为 0 相矛盾故必有 0且 既可由 1 ， 2 线性表出也可由 1 ， 2 线性表出 对已知的 1 ， 2 ， 1 ， 2 设 x 1 1 +x 2 2 +y 1 1 +y 2 2 =0 作初等行变换有 已知二次型 （分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 由 A 的特征值：2+2a，2-a(二重根) 对 =2+2a，由(E-A)x=0 且 a0 有 得基础解系 1 =(1，1，1) T 对 =2-a，由(E-A)x=0 (2).若二次型 x T Ax 正定，求 a 的取值（分数：3.67）_
21、正确答案：()解析：解 二次型 x T Ax 正定 (3).当 a=-2 时，二次型 x T Ax 的规范形（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 a=-2 时 A 的特征值为：4，4，-2 故二次型 x T Ax 的规范形是 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，1)，YU(1，2)，记 Z=|X-Y| 求：（分数：11.00）(1).随机变量 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 记随机变量 Z 的分布函数为 F Z (z)， F Z (z)=PZz=P|X-Y|z， 由于 Y 的取值在(1，2)内，X 的值在(0，1) 故 X，Y 相互独立，故
22、当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时， 当 1z2 时， 当 2z 时，F Z (z)=1 (2).随机变量 Z 的数学期望 EZ（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 方法一， 方法二， 已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 记 （分数：11.00）(1).计算 ET（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设知总体 xN(0， 2 )，故 和 ， 且 与 S 2 相互独立 由此得 ，也就有 根据 2 (n)分布性质：如果 Y 2 (n)，则 EY=n，DY=2n 所以 ，即 ， 而 E(S 2 )=DX= 2 总之， (2).计算 DT（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 与 S 2 相互独立，所以 也与 相互独立， 又因 ，故 ，即 而 故 ， 即 总之 即 解析 解答本题时我们应用了下面两个重要的性质： (1)如果总体 XN(， 2 )，样本均值和方差分别为 和 S 2 ， 则 和 ，且 与 S 相互独立 (2)如果 Y 2 (n)，则 EY=n，DY=2n 如果熟知 2 (n)的性质，本题还有下面更简单的解法： (1)且与 相互独立，故 ，即 ，即 E(T)= 2 ，即
