1、考研数学三-293 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx k 为等价无穷小量，则（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=-42.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点C.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函
2、数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点3.设 （分数：4.00）A.f“x(0，0)，f“y(0，0)都存在B.f“x(0，0)不存在，f“y(0，0)存在C.f“x(0，0)存在，f“y(0，0)不存在D.f“x(0，0)，f“y(0，0)都不存在4.设函数 f(t)连续，则二次积分 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（分数：4.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=mB.秩 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n
3、，秩 r(B)=n6.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b07.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：4.00）A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=28.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差为 2 0，令随机变量 ，则 A B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）10.极限 （分数：4.00）11.设
4、位于曲线 （分数：4.00）12.微分方程 （分数：4.00）13.二次型 （分数：4.00）14.设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，若 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =10 下的最大值和最小值 （分数：10.00）_17.设平面内区域 D=(x，y)|1x 2 +y 2 4，x0，y0，计算 （分数：10.00）_设函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(0)=0， （分数：10.0
5、0）(1).存在 a0，使得 f(a)=1（分数：5.00）_(2).对第一小题中的 a，存在 (0，a)，使得 （分数：5.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).求 ，a（分数：5.50）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形（分数：3.67）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.01）(1).Y 的
6、概率密度 f Y (y)（分数：3.67）_(2).Cov(X，Y)（分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_设总体 X 的分布函数为 （分数：11.01）(1).求 EX 与 EX 2 （分数：3.67）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：3.67）_考研数学三-293 答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx k 为等价无穷小量，则（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C
7、.k=3，c=4 D.k=3，c=-4解析：解析 (1)用泰勒公式 由题意 ， 进而 ， 所以 k=3，c=4因此应选 C (2)由 3sinx-sin3xcx k ，有 ， 由洛必达法则与和差化积公式得 所以 k=3，c=4因此应选 C (3)由 3sinx-sin3xcx k ，有 2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点 C.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函数 f(x)有
8、 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点解析：解析 从图可看出，函数 f(x)有 3 个驻点及 1 个不可导点，前两个驻点两侧 f“(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧 f“(x)符号相同，故函数 f(x)有 2 个极值点 3.设 （分数：4.00）A.f“x(0，0)，f“y(0，0)都存在B.f“x(0，0)不存在，f“y(0，0)存在 C.f“x(0，0)存在，f“y(0，0)不存在D.f“x(0，0)，f“y(0，0)都不存在解析：解析 ，极限不存在， 所以偏导数 f“ x (0，0)不存在 4.设函数 f(t)连续，则二次积分 A B C D （分数：4.00）A.B.
9、 C.D.解析：解析 令 x=rcos，y=rsin，则 r=2 所对应的直角坐标方程为 x 2 +y 2 =2 2 ， r=2cos 所对应的直角坐标方程为(x-1) 2 +y 2 =1 由 的积分区域 2cosr2， 得在直角坐标下的表示为 0x2， 所以 5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（分数：4.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=m B.秩 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n，秩 r(B)=n解析：解析 由 AB=E 有 r(AB)=r(E)=m，又 r(AB)r(A)m
10、，r(AB)r(B)m 所以应选 A6.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：解析 伴随矩阵 A*秩的公式 可见 若 a=b 易见 r(A)1 故 A、B 均不正确 由于 |A|=(a+2b)(a-b) 2 当 ab，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式 7.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：4.00）A.2a+3b=4 B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2解析：解析 根据概率密度函数的性质： 即 f 1
11、 (x)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 x=0 处，故 f 2 (x)为 U-1，3分布的概率密度，即 故 所以 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差为 2 0，令随机变量 ，则 A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 本题主要考查抽象函数的复合，必须分段分层讨论 由 得 因此 应填 10.极限 （分数：4.00）解析：sin1-cos1 解析 利用定积分的定义 11.设位于曲线 （分数：4.00）解析： 解析 利用旋转体的体积公式即得 1
12、2.微分方程 （分数：4.00）解析： 解析 考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解 微分方程 的特征方程为 ，解得特征根 因此，方程的通解为 13.二次型 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 14.设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，若 （分数：4.00）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 解法二 令 解析 直接分部积分或令 16.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =10 下的最大值和最小值 （分数：1
13、0.00）_正确答案：()解析：解 令 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2 +y 2 +z 2 -10)。 解方程组 得 x=1， ，z=2，或 x=-1， ，z=-2，或 ，y=0， 由 得所求最大值为 ，最小值为 17.设平面内区域 D=(x，y)|1x 2 +y 2 4，x0，y0，计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 令 x=rcos，y=rsin， 又 所以 解法二 显然积分区域 D 关于 x，y 有轮换对称性，于是 所以 设函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(0)=0， （分数：10.00）(1).存在 a0，使得 f(a)=1（分数：5.00）_正确
14、答案：()解析：证 由 知，对 ，存在 b0，使得当 xb 时， ，即在b，+)上， ，因 因为 f(x)在0，+)上可导，所以 f(x)在0，b上连续又 f(0)=0， (2).对第一小题中的 a，存在 (0，a)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 显然对第一小题中的 a，f(x)在区间0，a上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在 (0，a)，使得 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 记 ，则 所以当|x| 2 1 时，即|x|1 时，所给幂级数收敛；当|x|1 时，所给幂级数发散； 当 x=1 时，所给幂级数为 均收敛， 故所给幂级
15、数的收敛域为-1，1 在(-1，1)内， ， 而 ， 所以 ，又 S“ 1 (0)=0， 于是 S“ 1 (x)=arctanx同理 又 S 1 (0)=0，所以 设 （分数：11.00）(1).求 ，a（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故 由 于是 =1 或 =-1 当 =1 时，r(A)=1， ，方程组 Ax=b 无解，舍去 当 =-1 时，对 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换 可见 a=-2 时， (2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =-1，a=-2 时 所以方程组 Ax=b 的通解为 已知
16、二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵 的秩为 2，所以(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 a=0 时， 得到矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =0 对于 =2，由(2E-A)x=0 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 对 =0 由(0E-A)x=0 得特征向量 3 =(1，-1，0) T 由于 1 ， 2 ， 3 已两两正交，单位化有 令 Q=( 1 ， 2 ， 3
17、)则 Q 是正交矩阵那么经正交变换 x=Qy，有 (3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 方程 即 设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.01）(1).Y 的概率密度 f Y (y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 用定义先求 Y 的分布函数 F Y (y)，进而求得 f Y (y)已知 Y=X 2 ，故 F Y (y)=PX 2 y，当 y0 时，F Y (y)=0 由题设知 P-1X2=p-1X0+P0X2=1 所以当 y0 时， 故当 ，即 0y1 时(此时 ) 当 ，即 1y4 时(此时 ) 当 ，即 y4
18、 时(此时 ) F Y (y)=P-1X2=1 综上得 (2).Cov(X，Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中 故 (3). （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设总体 X 的分布函数为 （分数：11.01）(1).求 EX 与 EX 2 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 总体 X 的概率密度为 设 ，则 Y 的概率密度 ，-y+ 所以 解析 给出 F(x；)就有 f(x；)，密度函数有了，就有 (2).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本观测值，似然函数为 当 x 1 ，x 2 ，x n 0 时， 令 ，解得 的最大似然估计值为 从而 的最大似然估计量为 解析 求出 f(x；)就可构造似然函数 (3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 存在，且 a= 因为 是独立同分布的随机变量序列，且 根据辛钦大数定律，当 依概率收敛于 ，所以对任何 0 都有 ，即 解析 等价于 ，就是
