1、考研数学三-291 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.一条生产线生产的产品正品率为 p(0p1)，连续检查 5件，X 表示在查到次品之前已经取到的正品数，求 X的数学期望(在两次检查之间各件产品的质量互不影响) （分数：4.00）_2.自动生产线在调整后出现废品的概率为 p(0p1)，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数 X的概率分布、数学期望和方差 （分数：4.00）_3.设随机变量 X服从二项分布 B(n，p)，随机变量 Y为 （分数：4.00）_4.设随机变量 X服从参数为 的泊松分
2、布，已知 PX0=1-e -1 求： (1)PX1； (2)X与 X 2 的协方差 （分数：4.00）_5.设 X是连续型随机变量，且已知 lnX服从正态分布 N(， 2 )，求 X与 X 2 的期望 （分数：4.00）_已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(B-x) (-x+)，且有 EX=2DX，试求：（分数：3.99）(1).常数 A，B 的值；（分数：1.33）_(2).E(X 2 +e x )；（分数：1.33）_(3).的分布函数 F(y) （分数：1.33）_6.一个正四面体的四个面上分别标有数字 1，2，3，4连续抛掷两次，以底面上数字作为掷出的数字，记 X，Y 分
3、别表示两次掷出数字的最大值与最小值计算 X+Y与 X-Y的协方差矩阵 （分数：4.00）_7.设随机事件 A、B 相互独立，P(A)=p，0p1，且 A发生 B不发生与 A不发生 B发生的概率相同，令随机变量 （分数：4.00）_设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量 X 1 =X+Y，X 2 =X-Y，已知(X 1 ，X 2 )的概率密度函数为 （分数：4.00）(1).求 X与 Y的边缘概率密度；（分数：2.00）_(2).计算 X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_8.设随机变量 X与 Y的联合密度为 其中 D是由两坐标轴与直线 x+y-1=0所围有界平面区域(如图所示)求 X与
4、 Y的相关系数 （分数：4.00）_9.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x1，0y1上服从均匀分布，随机变量 U=(Y-X) 2 求U的期望与方差 （分数：4.00）_10.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1上服从均匀分布，随机变量Z=max(X，Y)，求 EZ与 DZ （分数：4.00）_11.某商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 5(百元)，季度末未售出的商品每件亏损 1(百元)，以 X表示该季节此种商品的需求量，已知 X等可能的取值1，100中的任一正整数，问商店应提前贮备多少件该种商品，才能使获利的期望值达到最大 （分数：4.00）_1
5、2.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x2，0y2上服从均匀分布，求矩阵 （分数：4.00）_13.设随机变量 X 1 服从参数为 2的泊松分布，而 X 2 服从二项分布 B(4，05)，X 3 服从区间-3，3上的均匀分布，判断以矩阵 （分数：4.00）_每箱产品有 10件，其次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被漏查误判为正品的概率是 10%试求：（分数：4.00）(1).检验一箱产品能通过验收的概率；（分数：2.00）_(2).检验 100箱产品通过率
6、不低于 90%的概率（分数：2.00）_将一枚骰子独立地重复掷 n次，以 S n 表示各次掷出的点数之和（分数：4.00）(1).证明：当 n时，随机变量 （分数：2.00）_(2).为使 （分数：2.00）_14.设 X 1 ，X 10 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，X 的样本均值，记 Y= （分数：4.00）_设总体 X服从自由度为 m的 X 2 分布，其概率密度是 f(x；m)X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的一个简单随机样本，其样本均值 X的概率密度记为 g(Y)（分数：4.00）(1).试将 g(Y)用 X的概率密度表示出来；（分数：2.00）_(2).具体计算
7、 Y的期望与方差（分数：2.00）_15.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N(0，4)的简单随机样本，令 Y=5(X 1 -2X 2 ) 2 +(3X 3 -4X 4 ) 2 ，求 PY2 （分数：4.00）_设 X 1 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求未知参数 的最大似然估计量 （分数：2.00）_16.设总体 X服从二项分布 B(10，p)，x 1 ，x n 是取自总体 X的一个简单随机样本值求未知参数p的最大似然估计量 （分数：4.00）_设总体 X服从
8、0，上的均匀分布，X 1 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本（分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：1.00）_(2).判断 （分数：1.00）_(3).求 的最大似然估计量 （分数：1.00）_(4).判断 （分数：1.00）_17.设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）_18.设某地区在一个月内发生重大交通事故的次数 X服从参数为 的泊松分布(0)，现有九个月的样本观察值 7，0，3，2，0，5，4，2，4， 求一个月内无重大交通事故的概率 p的最大似然估计值 （分数：4.00）_考研数学三-291 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数
9、：25，分数：100.00)1.一条生产线生产的产品正品率为 p(0p1)，连续检查 5件，X 表示在查到次品之前已经取到的正品数，求 X的数学期望(在两次检查之间各件产品的质量互不影响) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：求离散型随机变量 X的数学期望需要先确定 X的概率分布易见 X只取 0，1，5 共 6个可能值当 n5 时，事件X=n表示抽查 n+1件产品，前 n件为正品，第 n+1件为次品；当 n=5时，X=5表示抽查的 5件均为正品X 的概率分布为 于是 2.自动生产线在调整后出现废品的概率为 p(0p1)，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的
10、合格品数 X的概率分布、数学期望和方差 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：X 是离散型随机变量，其取值为 0，1，2，且 PX=n=pq n ，n=0，1，2，q=1-p EX与 DX可以直接根据 X的分布计算，即 DX=EX 2 -(EX) 2 但是上述计算过程比较繁杂，我们注意到 X与参数为 p的几何分布有很密切的关系，即若令 PY=n=pq n-1 ，n=1，2，则 X=Y-1，而 Y是参数为 p的几何分布，其 ，应用随机变量函数的期望与方差公式，有 3.设随机变量 X服从二项分布 B(n，p)，随机变量 Y为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解法一 (1)记 a=PY
11、=-1，b=PY=1，q=1-p，则 b+a=PY=1+PY=-1=1， 解方程组 于是 Y的概率分布为 (2)EY=PY=1-PY=-1=b-a=(q-p) n ， EY 2 =PY=1+PY=-1=b+a=1， DY=EY 2 -(EY) 2 =1-(q-p) 2n 解法二 先求 EY与 DY (2) ， EY 2 =PY 2 =1=PY=-1+PY=1=1， DY=1-(q-p) 2n (1)从 EY=PY=1-PY=-1=b-a=(q-p) n 与 b+a=1可以解出 PY=-1=a= ，得到 Y的概率分布(见解法一) 解析 易见 Y是 X的函数：Y=(-1) X 由于 Y是离散型随机
12、变量，求其概率分布只需计算概率 PY=-1与 PY=1至于(2)，即计算随机变量函数的数学期望，主要方法有三： 方法 1 先求出 Y的概率分布，直接用期望定义，即 ； 方法 2 应用期望性质，比如 E(X+c)=EX+c；E(cX)=cEX，等等； 方法 3 应用随机变量函数的期望公式： 4.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，已知 PX0=1-e -1 求： (1)PX1； (2)X与 X 2 的协方差 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：依题意 ，又 PX=0=1-PX0=e -1 ，于是有 e - =e -1 =1 (1)PX1=PX=0+PX=1= (2)EX=1，EX 2
13、=DX+(EX) 2 =+ 2 =2， 而 故 5.设 X是连续型随机变量，且已知 lnX服从正态分布 N(， 2 )，求 X与 X 2 的期望 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：令 Y=lnX，则 X=e Y ，这是求正态分布随机变量 Y的函数的数字特征问题 对 的指数进行配方： 用同样方法计算 EX 2 ： 已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(B-x) (-x+)，且有 EX=2DX，试求：（分数：3.99）(1).常数 A，B 的值；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解：由 f(x)=Ae x(B-x) =Ae -x2+Bx = 将 f(x)看成正态分布 的
14、密度函数，由已知条件 EX=2DX，得 ，B=2而 从而 (2).E(X 2 +e x )；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解：E(X 2 +e x )=EX 2 +Ee x 故 (3).的分布函数 F(y) （分数：1.33）_正确答案：()解析：解： 当 y0 时，F(y)=0 当 y0 时， 6.一个正四面体的四个面上分别标有数字 1，2，3，4连续抛掷两次，以底面上数字作为掷出的数字，记 X，Y 分别表示两次掷出数字的最大值与最小值计算 X+Y与 X-Y的协方差矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：(X，Y)是二维离散型随机变量，其联合概率分布及关于 X，Y 的边缘
15、分布如下表： 应用随机变量函数协方差的公式 xov(aX+bY，cX+dY)=acDX+(ad+bc)cov(X，Y)+bdDY， 可以计算出 X+Y与 X-Y的方差与协方差 D(X+Y)=cov(X+Y，X+Y)=DX+2cov(X，Y)+DY= ， D(X-Y)=DX-2cov(X，Y)+DY= ， cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0 因此 X+Y与 X-Y的协方差矩阵是二阶对角阵 ，其逆矩阵为 7.设随机事件 A、B 相互独立，P(A)=p，0p1，且 A发生 B不发生与 A不发生 B发生的概率相同，令随机变量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：依题意 ，由于 ，故 P(
16、B)=P(A)=p，P(AB)=P(A)P(B)=p 2 (1)(X，Y)是二维离散型随机变量，其可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)(称为二维 0-1分布)，且 于是(X，Y)的概率分布为 (2)X+Y是一维离散型随机变量，其可能取值为 0，1，2，且 PX+Y=0=PX=0，Y=0=1-p； PX+Y=2=PX=1，Y=1=p 2 ； PX+Y=1=1-PX+Y=0-PX+Y=2=1-(1-p)-p 2 =p(1-p) 于是 X+Y的概率分布为 (3)从(1)中容易算出 EX=p，DX=p(1-p)，EY=p 2 ，DY=p 2 (1-p 2 )， EXY=p 2 ，c
17、ov(X，Y)=EXY-EXEY=p 2 -p 3 =p 2 (1-p) 应用随机变量函数的方差公式及协方差的性质，有 D(X+Y)=DX+2coy(X，Y)+DY=p(1-p)+2p 2 (1-p)+p 2 (1-p 2 )=P(1-p)(1+3p+p 2 )， cov(X，X+Y)=DX+cov(X，Y)=p(1-p)+p 2 (1-p)=p(1-p)(1+p)， 于是 设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量 X 1 =X+Y，X 2 =X-Y，已知(X 1 ，X 2 )的概率密度函数为 （分数：4.00）(1).求 X与 Y的边缘概率密度；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：从(
18、X 1，X 2 )的概率密度函数可知(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布，且 1 =4， 2 =2， 1 = ， 2 =1， X1X2 =0根据二维正态分布的性质 X1X2 =0 X 1 与 X 2 独立而且 X 1 与 X 2 的线性函数 X，Y 都服从正态分布依题设 于是有 XN(3，1)，YN(1，1)，其边缘概率密度分别为 (2).计算 X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_正确答案：()解析：解：8.设随机变量 X与 Y的联合密度为 其中 D是由两坐标轴与直线 x+y-1=0所围有界平面区域(如图所示)求 X与 Y的相关系数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解： 同
19、理 9.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x1，0y1上服从均匀分布，随机变量 U=(Y-X) 2 求U的期望与方差 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解法一 根据题设条件中(X，Y)分布区域 D的特点，可知 X与 Y相互独立且都服从区间0，1上的均匀分布，因此 又因 X i 与 Y j 相互独立，故 EX i Y j =EX i EY j ，其中 i，j=1，2，3于是 EU=E(Y-X) 2 =EY 2 -2EXY+EX 2 =EY 2 +EX 2 -2EXEY= 又 EU 2 =E(Y-X) 4 =EY 4 -4EY 3 EX+6EY 2 EX 2 -4EYEX 3 +
20、EX 4 = ， 故 解法二 令 V=Y-X，则 U=V 2 V 的分布函数与概率密度分别记作 F(v)与 f(v)，区域 D 1 ，D 2 如图所示，S D1 ，S D2 ，S D 分别为区域 D 1 ，D 2 ，D 的面积，则根据均匀分布的性质有 10.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1上服从均匀分布，随机变量Z=max(X，Y)，求 EZ与 DZ （分数：4.00）_正确答案：()解析：解法一 先求出 Z的分布函数 F Z (z)，再求出 Z的概率密度 f(z)，然后计算 EZ与 DZ 当 z0 时，F Z (z)=0；当 z2 时，F Z (z)=1 因
21、此，我们只需求出当 0z2 时，F Z (z)的表达式由于(X，Y)在矩形区域 D(该矩形的边平行于坐标轴)上服从均匀分布，所以 X与 Y相互独立，且分别服从0，2与0，1上的均匀分布，并且有 F Z (z)=PZz=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXzPYz=F X (z)F Y (z) 当 0z时， 当 1z2 时， 综上计算，有 解法二 将 Z=max(X，Y)作为 X与 Y的函数，应用随机变量函数的期望公式计算 Z的期望与方差依题意 11.某商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 5(百元)，季度末未售出的商品每件亏损 1(百元)，以 X表示该季节此种商品的需求量，已知 X等可
22、能的取值1，100中的任一正整数，问商店应提前贮备多少件该种商品，才能使获利的期望值达到最大 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与解答 设提前贮备 n件商品，则商店获利为 Y=g(X；n)，依题意 n应使 EY达到最大为此需先写出利润函数 Y=g(X；n)，由题设知，当商店有 n件产品时，该季节商店获利为 (单位：百元)，其中需求量 X的概率分布为 (k=1，2，100)，故 n应使 EY n 达到最大为求 n，我们考虑 h(x)=503x-3x 2 ，令 h“(x)=503-6x=0，解得 12.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x2，0y2上服从均匀分布，求矩阵 （分
23、数：4.00）_正确答案：()解析：解：矩阵 A是正定矩阵的充分必要条件是矩阵 A的各阶顺序主子式都大于零，即 设事件 B表示“矩阵 A是正定矩阵”，依题意，(X，Y)的联合概率密度 13.设随机变量 X 1 服从参数为 2的泊松分布，而 X 2 服从二项分布 B(4，05)，X 3 服从区间-3，3上的均匀分布，判断以矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：依题意 由于方程组系数矩阵行列式|A|=0，因此该齐次方程组 Ax=0有无穷多解若进一步分析，矩阵 A的秩是2，因此其方程组的基础解系中只有一个解向量事实上方程组的全部解为 每箱产品有 10件，其次品数从 0到 2是等可能的，开
24、箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被漏查误判为正品的概率是 10%试求：（分数：4.00）(1).检验一箱产品能通过验收的概率；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：设事件 B=“一箱产品通过验收”，B 1 =“抽到一件正品”，A i =“箱内有 i件次品”，i=0，1，2，A 0 ，A 1 ，A 2 是一完备事件组依题意， 应用全概率公式 由于 B 1 与 为对立事件，再次应用全概率公式 (2).检验 100箱产品通过率不低于 90%的概率（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：由于各箱
25、产品是否通过验收互不影响，且每箱产品通过验收的概率都是 0.892，100 箱产品中通过验收的箱数 X服从二项分布，参数 n=100，p=0.892 可以应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理近似计算所求概率，其中 np=89.2， 将一枚骰子独立地重复掷 n次，以 S n 表示各次掷出的点数之和（分数：4.00）(1).证明：当 n时，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明与求解 设 X 1 ，X 2 ，X n 表示将一枚骰子独立地重复掷 n次各次掷出的点数，易见它们是独立同分布随机变量，且 EX k =3.5(k=1，2，n)不难计算其方差： 由于 S n =X 1 +X 1 +
26、X n ，则 ES n =3.5n， 因此根据列维-林德伯格中心极限定理知，当n时随机变量 (2).为使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明与求解 掷骰子需要重复的次数 n，满足下列关系式： 由此可见 14.设 X 1 ，X 10 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，X 的样本均值，记 Y= （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：依题意有 根据 t分布的应用模式 设总体 X服从自由度为 m的 X 2 分布，其概率密度是 f(x；m)X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的一个简单随机样本，其样本均值 X的概率密度记为 g(Y)（分数：4.00）(1).试将 g(Y)用
27、 X的概率密度表示出来；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，即 X i 2 (m)，i=1，2，n应用 2 分布可加性可知 Y的概率密度为 f(y，mn) 是 Y的函数且 ，由于 是 y的单调函数且其导数为 0，应用单调函数的密度公式可直接得出 (2).具体计算 Y的期望与方差（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：设随机变量 Y 1 ，Y 2 ，Y mn 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，则随机变量 ，也相互独立且都服从一个自由度的 2 分布于是 由于 Y i N(0，1)，EY i =0，
28、 ， 15.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N(0，4)的简单随机样本，令 Y=5(X 1 -2X 2 ) 2 +(3X 3 -4X 4 ) 2 ，求 PY2 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：因 X 1 -2X 2 N(0，20)， ，类似地， ，又因 X 1 -2X 2 与 3X 3 -4X 4 相互独立，根据 2 分布的应用模式可知 查 2个自由度，上分位数为 0.02的 2 分布上分位数表，可得概率 设 X 1 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案
29、：()解析：解：要求 的矩估计量 ，首先应确定被估计参数 与总体 X的矩之间的关系记 EX=，则 于是得 的矩估计量 (2).求未知参数 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解：对于总体 X的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 当 min(x 1 ，x n )时，似然函数是零； 当 min(x 1 ，x n )时，L 是 的单调增函数，因此当 =min(x 1 ，x n )时，L 达到最大值，即 的最大似然估计量为 16.设总体 X服从二项分布 B(10，p)，x 1 ，x n 是取自总体 X的一个简单随机样本值求未知参数p的最大似然估计量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：对于总体 X的样本值 x 1 ，x n ，似然函数为 解似然方程 得到 因此，p 的最大似然估计量 设总体 X服从0，上的均匀分布，X 1 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本（分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：1.00）_
