1、考研数学三-289 及答案解析(总分：100.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：10.00)1.设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 A.E(X-Y)=0 B.D(X-Y)=0 C.E(X2-Y2)=0 D.EX(Y-EY)=0（分数：2.50）A.B.C.D.2.设 A 1 ，A 2 是两个随机事件，随机变量 （分数：2.50）A.X1 与 X2 不一定独立B.A1 与 A2 一定独立C.A1 与 A2 不一定独立D.A1 与 A2 一定不独立3.随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且满足大数定律，则 X i 的
2、分布可以是 APX i =m= ，m=1，2， BX i 服从参数为 的指数分布 CX i 服从参数为 i 的泊松分布 DX i 的概率密度 （分数：2.50）A.B.C.D.4.设统计量 Y 服从 F 分布 F(m，n)，F (m，n)满足 PYF (m，n)=，则 F 1- (m，n)等于 A1-F (m，n) B1-F (n，m) C D （分数：2.50）A.B.C.D.二、解答题(总题数：18，分数：90.00)5.设离散型随机变量 X 的概率分布为 求 （分数：5.00）_将一枚均匀的硬币接连掷 5 次（分数：5.00）(1).求正面出现次数 X 的概率分布；（分数：2.50）_(
3、2).在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比 Y 的概率分布（分数：2.50）_6.若随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量 Y=X lnX 的概率密度函数 （分数：5.00）_7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0， 2 )，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度 f Y (y) （分数：5.00）_8.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=e X ，求 Y 的概率密度与分布函数 （分数：5.00）_设随机变量 U 服从标准正态分布 N(0，1)，随机变量 （分数：5.00）(1).X 与 Y 的联合分布；（分数：2.50）_(2).X 与 Y 的相关系数 XY
4、（分数：2.50）_9.设随机变量 X 与 Y 同分布 （分数：5.00）_10.已知(X，Y)的联合密度函数 (1)求常数 A；(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)，并问 X 与 Y 是否独立?为什么? (2)求条件概率密度 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)及条件概率 （分数：5.00）_设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数 1 = 2 =0， ，= （分数：5.00）(1).关于 X 的边缘分布是正态分布；（分数：2.50）_(2).在 X=x 条件下，关于 Y 的条件分布也是正态分布（分数：2.50）_设随机变量 X 1 与 X 2 是关于 x 的一元二次
5、方程 x 2 +Y 1 x+Y 2 =0 的两个根，并且 X 1 与 X 2 相互独立都服从参数为 （分数：5.01）(1).求随机变量 Y 1 与 Y 2 的联合分布；（分数：1.67）_(2).求 DY 1 ，DY 2 ，cov(Y 1 ，Y 2 )；（分数：1.67）_(3).若 U=Y 1 +Y 2 ，V=Y 1 -Y 2 ，求 DU，DV，cov(U，V)（分数：1.67）_11.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 服从参数 p=0.7 的 0-1 分布，Y 服从参数 =1 的指数分布，令 U=X-Y，求 U 的分布函数 G(u) （分数：5.00）_设二维随机变量(U，V)的联
6、合概率密度为 （分数：5.00）(1).X=U+V 服从正态分布；（分数：2.50）_(2).Y=U 2 +V 2 服从指数分布（分数：2.50）_设随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y2上服从均匀分布（分数：5.01）(1).求 U=(X+Y) 2 的概率密度；（分数：1.67）_(2).求 V=max(X，Y)的概率密度；（分数：1.67）_(3).求 W=XY 的概率密度（分数：1.67）_设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：5.00）(1).U 的分布函数 F 1 (u)；（分数：1.25）_(2).V 的分布函数 F 2 (v)；（分数：1.
7、25）_(3).W 的分布函数 F 3 (w)；（分数：1.25）_(4).PVv，Ww(vw0)（分数：1.25）_12.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1上服从二维均匀分布，随机变量 （分数：5.00）_13.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：5.00）_设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ae -2|x| (-x+)，随机变量 Y 1 =|X|，Y 2 =X 2 （分数：5.00）(1).确定常数 a 的值；（分数：2.50）_(2).讨论 X 与 Y i (i=1，2)的相关性与独立性（分数：2.50）_设随机点(X，Y)在单位圆内的
8、联合密度为 （分数：5.01）(1).求常数 C；（分数：1.67）_(2).判断 X，Y 的独立性与相关性；（分数：1.67）_(3).设随机点的极坐标为(R，)，求(R，)的联合密度，并判断 R， 的独立性（分数：1.67）_考研数学三-289 答案解析(总分：100.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：10.00)1.设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 A.E(X-Y)=0 B.D(X-Y)=0 C.E(X2-Y2)=0 D.EX(Y-EY)=0（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 (X，Y)服从二维正态
9、分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是它们的相关系数 XY =0，而对任何两个随机变量 X 与 Y，有 而 EXY=EXEY 又可以变形为 EXY-EXEY=EX(Y-EY)=0，因此应选 D 进一步分析，可以举出反例说明对于前三个选项，它们都不是二维正态分布随机变量(X，Y)中 X 与 Y 独立的充分必要条件，比如(X，Y)的联合概率密度 2.设 A 1 ，A 2 是两个随机事件，随机变量 （分数：2.50）A.X1 与 X2 不一定独立B.A1 与 A2 一定独立 C.A1 与 A2 不一定独立D.A1 与 A2 一定不独立解析：解析 EX i =P -P(A i )=1-2P(A i
10、 )，i=1，2， E(X 1 X 2 )=PX 1 =-1，X 2 =-1-PX 1 =-1，X 2 =1-PX 1 =1，X 2 =-1+PX 1 =1，X 2 =1= =P(A 1 A 2 )-P(A 1 )-P(A 1 A 2 )-P(A 2 )-P(A 1 A 2 )+1-P(A 1 )=P(A 2 )+P(A 1 A 2 )=4P(A 1 A 2 )-2P(A 1 )-2P(A 2 )+1， EX 1 EX 2 =1-2P(A 1 )1-2P(A 2 )=4P(A 1 )P(A 2 )-2P(A 1 )-2P(A 2 )+1 因 X 1 与 X 2 不相关，故 E(X 1 X 2
11、)=EX 1 EX 2 3.随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且满足大数定律，则 X i 的分布可以是 APX i =m= ，m=1，2， BX i 服从参数为 的指数分布 CX i 服从参数为 i 的泊松分布 DX i 的概率密度 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 相互独立的随机变量 X 1 ，X 2 ，如果 X 1 ，X 2 ，同分布，只要 EX i 存在，则 X 1 ，X 2 ，服从辛钦大数定律；若 X 1 ，X 2 ，不同分布，但 X i 的期望、方差应都存在，且方差要一致有界，则 X 1 ，X 2 ，满足切比雪夫大数定律据此分析： 在 A 中，X i 同分布，
12、，由于级数 是收敛的，因此 EX i 存在，X 1 ，X 2 ，满足辛钦大数定律，应选 A 进一步分析，在 B 中， ；在 C 中，DX i =i，它们均不能对 i 一致有界，因此不满足切比雪夫大数定律 在 D 中，由于 ，因此 4.设统计量 Y 服从 F 分布 F(m，n)，F (m，n)满足 PYF (m，n)=，则 F 1- (m，n)等于 A1-F (m，n) B1-F (n，m) C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 若 YF(m，n)，则 F(n，m)，依题意 PYF 1- (m，n)=1-，PYF 1- (m，n)=， 但是 ，所以 二、解答题(总题数：18，分
13、数：90.00)5.设离散型随机变量 X 的概率分布为 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于 X 取值为所有正整数，因此 Y 的取值只有 事件 是可列个两两互不相容事件X=2，X=5，X=3n-1，的和，根据概率的可列可加性，有 类似地有 由于事件 是一个完备事件组，因此有 于是 Y 的分布函数 F(x)为 解析 这是已知随机变量 X 的分布，求其函数 将一枚均匀的硬币接连掷 5 次（分数：5.00）(1).求正面出现次数 X 的概率分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：掷 5 次硬币，正面出现次数 X 的取值为 0，1，2，3，4，5每次掷出正面的概率为 ，因此
14、X 服从参数为 的二项分布： 即 (2).在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比 Y 的概率分布（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：为求比值 Y 的分布，先求 X 1 的分布，X 1 表示在“掷 5 次硬币至少出现了一次反面”的条件下正面出现的次数，则 X 1 的取值为 0，1，2，3，4设 A 表示事件“5 次中至少出现一次反面”，则 随机变量 X 1 的概率分布为 即 由已知条件 ，则 Y 相对于 X 1 的 5 个取值为 于是由 X 1 的概率分布可得 y 的概率分布为 6.若随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量 Y=X lnX 的概率密度函数 （分
15、数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 本题是属于“已知随机变量 X 的分布，求 X 函数 Y=g(X)分布”的题型，只不过函数的形式是 Y=g(X)=(X) (X) 类似于求 (x) (x) 导数的方法，可以在等式两边求对数或化为 e (x)ln(x) 形式进行求解，我们仍然运用分布函数法来解答本题 已知 X 的密度函数为 Y=X lnX =e (lnX)2 =e Z ，其中 Z=(lnX) 2 若记 Z 的分布函数为 F Z (z)，则当 z0 时，F Z (z)=0；当 z0 时，由于 X 在(0，1)上取值，因而有 即 Z 的分布函数为 因而 Y=e Z 的分布函数为 F Y (y
16、)=PYy=Pe Z y， 其中 Z=(lnX) 2 的取值是非负的因而当 y1 时，F Y (y)=0；当 y1 时， F Y (y)=P0Zlny=F Z (lny)-F Z (0)= 故所求的 Y 的概率密度函数为 解法二 F Y (y)=PYy=PX lnX y=Pe (lnX)2 y 当 y1 时，F Y (y)=0；当 y1 时，由于 X 在(0，1)上取值，故有 从而 Y 的分布函数为 于是 Y 的密度函数 7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0， 2 )，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度 f Y (y) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于函数 y=g(x)=x
17、2 在(-，+)内不是单调函数，我们用分布函数法求 Y 的概率密度 显然当 y0 时，F Y (y)=PYy=0 当 y0 时，F Y (y)=PYy=PX 2 y=P 由于 XN(0， 2 )，故 X/N(0，1)由于 将 F Y (y)对 y 求导数，得 Y 的概率密度函数为 8.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=e X ，求 Y 的概率密度与分布函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于 y=e x 是单调函数，其反函数 x=lny h(y)亦单调可导，当 y(1，+)时，导数恒不为零(因 X 只取正值，故 Y 只取大于 1 的值)应用单调函数公式法，得 Y 的概率
18、密度为 当 y1 时，F Y (y)=0；当 y1 时， 设随机变量 U 服从标准正态分布 N(0，1)，随机变量 （分数：5.00）(1).X 与 Y 的联合分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：随机变量(X，Y)只可能取(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)与(1，1)各值 PX=-1，Y=-1=PU0，|U|1.96=P-1.96U0=(0)-(-1.96)=0.5-0.025=0.475 类似地，可以依次计算出其他三个概率值，略去计算过程，将计算结果列于下表 (2).X 与 Y 的相关系数 XY（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：从上一小题中联合分布表可以得到关
19、于 X 与 Y 的边缘概率分布分别为 9.设随机变量 X 与 Y 同分布 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：先将 X 与 Y 的全部可能取值与边缘分布列出(X，Y)的联合分布结构表，有 依题意计算 p ij :PXY0=1-PXY=0=0 但是事件XY0是四个两两互不相容事件X=-1，Y=-1，X=-1，Y=1，X=1，Y=-1，X=1，Y=1的和，因此它们的概率都是零，即 p 11 =p 13 =p 31 =p 33 =0再从边缘分布与联合分布的关系容易算出 p 12 =p 32 =p 21 =p 23 =0.25，p 22 =0将所得数据代入联合分布表中 p ij 处得到(X，Y
20、)的联合分布如下： 从联合概率分布表容易看出 X+Y 只取-1 和 1 两个可能值其概率都是 0.5，即 X+Y 的概分布为 10.已知(X，Y)的联合密度函数 (1)求常数 A；(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)，并问 X 与 Y 是否独立?为什么? (2)求条件概率密度 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)及条件概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：分析与解答 由 ，求得 A；再由 ，对不同的 x，y，计算积分求得 F(x，y)，最后考虑 F(x，y)，F X (x)，F Y (y)之间关系，判断 X、Y 是否独立 (1)因为 ，所以 A=2 当 x0 或 y0 时，
21、F(x，y)=0； 当 0yx 时， 当 0xy 时， 综上得 由于 因为 F X (x)F Y (y)F(x，y)，所以 X 与 Y 不独立 (2)由于 X 的概率密度 Y 的概率密度 所以 条件概率 其中 故 (3)我们通过求 Z 1 =Y-X 的分布函数(或概率密度)来证明 Z 1 服从参数 =1 的指数分布，有两种方法： 方法 1 (分布函数法)Z 1 =Y-X 的分布函数 F 1 (z)=PY-Xz= ， 当 z0 时，F 1 (z)=0；当 z0 时， 综上得 所以 Z 1 =Y-X 服从参数 =1 的指数分布 方法 2 (公式法)如果(X，Y)f(x，y)，则 Z 1 =Y-X
22、的概率密度 其中 由此可知：当 z0 时 f 1 (z)=0；当 z0 时 ， 所以 Z 1 =Y-X 服从参数 =1 的指数分布 仿照上述方法我们可以求得 Z 2 =X+Y 的概率密度 f 2 (z) 方法 1 (分布函数法)Z 2 =X+Y 的分布函数 由 f(x，y)的非零定义域知：当 z0 时 F 2 (z)=0；当 z0 时 综上得 方法 2 (公式法)若(X，Y)f(x，y)，则 Z 2 =X+Y 的概率密度 其中 所以当 z0 时 f 2 (z)=0；当 z0 时 综上得 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数 1 = 2 =0， ，= （分数：5.00）(1).关
23、于 X 的边缘分布是正态分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 依越蒽，(X，Y)的联合密度 f(x，y)为 (2).在 X=x 条件下，关于 Y 的条件分布也是正态分布（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 这一结果恰是正态分布 的概率密度，因此说明在 X=x 条件下，Y 的条件分布为正态分布 设随机变量 X 1 与 X 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 +Y 1 x+Y 2 =0 的两个根，并且 X 1 与 X 2 相互独立都服从参数为 （分数：5.01）(1).求随机变量 Y 1 与 Y 2 的联合分布；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：依题意，有 Y
24、1 =-(X 1 +X 2 )，Y 2 =X 1 X 2 显然 Y 1 ，Y 2 都是离散型随机变量，并且其分布分别为 PY 1 =-2，Y 2 =0=PX 1 +X 2 =2，X 1 X 2 =0=0 根据边缘分布与联合分布的关系可以逐一求出 p ij ，列表如下： (2).求 DY 1 ，DY 2 ，cov(Y 1 ，Y 2 )；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：(3).若 U=Y 1 +Y 2 ，V=Y 1 -Y 2 ，求 DU，DV，cov(U，V)（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：由于 D(Y 1 Y 2 )=DY 1 2cov(Y 1 ，Y 2 )+DY 2 ，
25、所以有 ， cov(U，V)=cov(Y 1 +Y 2 ，Y 1 -Y 2 )=DY 1 -DY 2 = 11.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 服从参数 p=0.7 的 0-1 分布，Y 服从参数 =1 的指数分布，令 U=X-Y，求 U 的分布函数 G(u) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：Y 的分布函数 应用全概率公式 G(u)=PX-Yu=PX=0PX-Ya|X=0+PX=1PX-Yu|X=1=0.3PY-u|X=0+0.7PY1-u|X=1 由于 X 与 Y 独立，则 因此，随机变量 U 的分布函数为 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 （分数：5.00）(1
26、).X=U+V 服从正态分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 由题设条件可知，(U，V)服从二维正态分布，因其相关系数 =0，则 U 与 V 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)根据独立随机变量和的卷积公式，X 的概率密度 f X (x)为 (2).Y=U 2 +V 2 服从指数分布（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 当 y0 时，Y 的分布函数 F Y (y)=0当 y0 时， 因此 Y 的分布函数为 设随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y2上服从均匀分布（分数：5.01）(1).求 U=(X+Y) 2 的概率密度；（分数：1.67）_正确
27、答案：()解析：解：设 U 的分布函数为 F U (u)，则 当 u0 时，F U (u)=PUu=0； 当 u16 时，F U (u)=PUu=1； 当 0u4 时，如图(a)所示： F U (u)=P(X+Y) 2 u= 当 4u16 时， 因此 U 的概率密度 f U (u)为 (2).求 V=max(X，Y)的概率密度；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：记 V 的分布函数为 F V (v)，由于(X，Y)服从均匀分布的区域 D 是边长平行于坐标轴的矩形因此 X 与 Y 相互独立且都服从区间(0，2)上的均匀分布，它们的边缘分布函数都是 于是 V 的概率密度 f V (v)为
28、(3).求 W=XY 的概率密度（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：记 W 的分布函数为 F W (w)，则 当 w0 时，F W (w)=0；当 w4 时，F W (w)=1； 当 0w4 时，如图(b)所示： 或先计算概率 PXYw： 由于(X，Y)服从 D 上均匀分布，其联合概率密度 f(x，y)为 于是，W 的概率密度 f W (w)为 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：5.00）(1).U 的分布函数 F 1 (u)；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由于随机变量 X 只取正值，因此随机变量 U=-X 只取负值当 u0 时， F 1 (u)=P
29、Uu=P-Xu=PX-u= ， 故 U 的分布函数 F 1 (u)为 (2).V 的分布函数 F 2 (v)；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：当 v0 时，F 2 (v)=0；当 v0 时， 故 V 的分布函数 F 2 (v)为 (3).W 的分布函数 F 3 (w)；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：当 w0 时，F 3 (w)=0；当 w0 时， 故 W 的分布函数 F 3 (w)为 (4).PVv，Ww(vw0)（分数：1.25）_正确答案：()解析：解： 解析 求随机变量及其函数的分布函数，就是计算有关随机事件的概率，对于连续型随机变量，若已知其联合概率密度 f(
30、x，y)，计算(X，Y)在某一区域 D 内取值的概率就是计算一个二重积分： 12.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1上服从二维均匀分布，随机变量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：依题意可知 X 与 Y 的联合概率密度为 (1)(U，V)的可能取值为(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)，如图所示，则有 类似地(或根据联合概率分布与边缘概率分布的关系)可以计算出其他 p ij 的值，列表如下： 13.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：为判断 X 与 Y 的独立性，题设已知道 X 与 Y 的联合概率分布，我们应求出 X 和 Y 各自的边缘概率分布(见上表中右边最右一列与下边最下一行)从表中得出： PX=-1，Y=-1=0.05，PX=-1PY=-1=0.06 由于 PX=-1，Y=-1PX=-1PY=-1，因此 X 与 Y 不独立 为判断 X 2 与 Y 2 的独立性，我们再求 X 2 与 Y 2 的联合概率分布与 X 2 及 Y 2 各自的边缘概率分布：显然(X 2 ，Y 2 )只取(0，0)，(0，1)，(1，0)及(1，1)四个可能性值 PX 2 =0，Y 2 =0=P
