1、考研数学三-288 及答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字 0，三张卡片都写有数字 1，另两张卡片上分别写有数字 2 与 9将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为 2001911 的概率是 1 （分数：2.00）2.设 A、B、C 是三个随机事件， ，P(A)=0.7，P(A-C)=0.4，P(AB)=0.5，则 （分数：2.00）3.设 A、B 是两个随机事件，0P(B)1，AB= ，则 （分数：2.00）4.某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为 ，该考生
2、虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为 （分数：2.00）5.设随机变量 X，Y 分别服从正态分布 N(1，1)与 N(0，1)，E(XY)=-0.1，则根据切比雪夫不等式 P-4X+2Y6 1 （分数：2.00）6.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立都服从参数为 2 的泊松分布，则当 n时， （分数：2.00）二、解答题(总题数：17，分数：85.00)7.将 3 个球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为 1，2，3 的概率 （分数：5.00）_8.将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C 分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线 y=x 2 +Bx+C与 x 轴没有交
3、点的概率 p （分数：5.00）_9.随机地向半圆 =(x，y):0y （分数：5.00）_10.设 A、B 是两个随机事件，P(A)=0.4， ，P(AB)=0.7，求 （分数：5.00）_11.某批产品优质品率为 80%，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是 90%，而将非优质品错判为优质品的概率是 20%，为了提高检验信度，每个产品均由 3 人组成的检查组，每人各自独立进行检验 1 次，规定 3 人中至少有 2 名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品假设各检验员检验水平相同求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率 （分数：5.00）_12.甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两
4、次，每次试验的成功率甲为 0.7，乙为 0.6，试求二人试验成功次数相同的概率 （分数：5.00）_13.一条旅游巴士观光线共设 10 个站，若一辆车上载有 30 位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10 个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车求： (1)这辆车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 j 站停车的概率； (2)判断事件“第 i 站不停车”与“第 j 站不停车”是否相互独立 （分数：5.00）_14.设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=n=a 2 p n ，n=0，1，2， 试确定 a 与 p 的取值
5、范围 （分数：5.00）_15.设钢管内径服从正态分布 N(， 2 )，规定内径在 98 到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不足 98 的是次品，已知该批产品的次品率为 15.9%，内径超过 101 的产品在总产品中占 2.28%，求整批产品的合格率 （分数：5.00）_16.设连续型随机变量 X 的分布函数为 求使得 （分数：5.00）_17.假定某街道有 n 个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1:2今有一汽车沿该街道行驶，若以 X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求 X 的分布律 （分数：5.00）_设 1000 件产品中有
6、150 件次品，从中一次抽取 3 件，求：（分数：5.00）(1).取到的次品数 X 的概率分布；（分数：2.50）_(2).最多取到 1 件次品的概率（分数：2.50）_18.一大批种子的发芽率是 99.8%，从中随机地选取 1000 粒进行试验，求这 1000 粒种子中发芽数目 X 的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率 （分数：5.00）_19.一批玻璃杯整箱出售，每箱装有 12 只，其中含有 0 个，1 个，2 个次品的概率分别是0.6，0.2，0.2一顾客需买该产品 5 箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取 3 只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求
7、他需要检查的箱数 X 的概率分布及检查箱数不超过 6箱的概率口 （分数：5.00）_20.连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为 p(0p1)，X 1 表示首次击中目标所需进行的射击次数，X 2 表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y 表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求 X 1 ，X 2 ，Y 的概率分布 （分数：5.00）_在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为 p 1 与 p 2 (0p 1 ，p 2 1)求：（分数：5.00）(1).甲
8、攻擂次数 X 1 的概率分布；（分数：1.25）_(2).乙攻擂次数 X 2 的概率分布；（分数：1.25）_(3).擂主丙对甲、乙二人守擂总次数 X 3 的概率分布（分数：1.25）_(4).假设乙对丙的胜率 p 2 是 1/4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率（分数：1.25）_21.设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为 0.001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为 0.01 的指数分布若随机变量 X 表示生产线无故障工作的时间，求 X 的分布函数 F(x)以及PX100 （分数：5.00）_考研数学三-288 答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)
9、一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字 0，三张卡片都写有数字 1，另两张卡片上分别写有数字 2 与 9将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为 2001911 的概率是 1 （分数：2.00）解析：0.0024 解析 设事件 A=“排成数字是 2001911”，将七张卡片随意排列共有 7!种不同的等可能排法此即样本空间 的样本点总数，而有利于事件 A 的卡片排列方法为 2!3!种，依古典型概率公式 2.设 A、B、C 是三个随机事件， ，P(A)=0.7，P(A-C)=0.4，P(AB)=0.5，则 （分数：2.00）解析：2 解
10、析 从 ，可知 ，两次应用减法公式有 P(C)=P(A)-P(A-C)=0.7-0.4=0.3， 3.设 A、B 是两个随机事件，0P(B)1，AB= ，则 （分数：2.00）解析：2 解析 从条件 AB= 有 但是对任何事件 A、B，都有 因此有 于是 A 与 B 为对立事件，即 因此 4.某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为 ，该考生虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为 （分数：2.00）解析： 解析 设事件 A 1 =“该考生不知道正确答案”，A 2 =“知道正确答案，但因粗心选错”，A 3 =“知道正确答案且是正确答对”，易见 A 1 ，A 2 ，A 3 构成一个
11、完备事件组，且 设事件 B 表示“答对题目”，则有 根据全概率公式及贝叶斯公式 该题另一种事件的设法是考生更普遍的用法 该事件 A=“该考生知道正确答案”，B=“考生答对题目”，由题设知 ，则由全概公式与贝叶斯公式 5.设随机变量 X，Y 分别服从正态分布 N(1，1)与 N(0，1)，E(XY)=-0.1，则根据切比雪夫不等式 P-4X+2Y6 1 （分数：2.00）解析：0.816 解析 E(X+2Y)=EX+2EY=1， cov(X，Y)=EXY-EXEY=-0.1，D(X+2Y)=DX+4cov(X，Y)+4DY=4.6， P-4X+2Y6=P|X+2Y-1|5 6.设 X 1 ，X
12、2 ，X n ，相互独立都服从参数为 2 的泊松分布，则当 n时， （分数：2.00）解析：6 解析 依题意 亦相互独立同分布，其共同的期望存在： =DX i +(EX i ) 2 =+ 2 =6，设 ，根据辛钦大数定律，当 n+时， 依概率收敛于 二、解答题(总题数：17，分数：85.00)7.将 3 个球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为 1，2，3 的概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设事件 A i 表示盒子中球的最多个数为 i 个，i=1，2，3易见 A 1 ，A 2 ，A 3 是一个完备事件组将 3 个球随机地放入 4 个盒子共有 4 3 种不同的等
13、可能情况，即样本空间 中的样本点个数为4 3 事件 A 1 表示盒子中球的最多个数为 1，即 4 个盒子中有 3 个盒子有球，其中每个盒子只有 1 个球，因此#A 1 = 根据古典概型公式 事件 A 3 表示盒子中球的最多个数为 3，即 3 个球都放入了 4 个盒子中的 1 个盒子内，因此#A 3 = 于是 由于构成完备组的各事件概率之和为 1，所以 8.将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C 分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线 y=x 2 +Bx+C与 x 轴没有交点的概率 p （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设事件 A 表示“y=x 2 +Bx+C 与 x 轴无交点”，
14、将一颗骰子连续抛掷两次，所有等可能的基本结果共有 36 种，即 =(1，1)，(6，6)而 A=“B 2 -4C0”=“C ”，用列举法可以确定出有利于 A 的样本点数目为 17，具体做法是：对应于第一次掷出的“1 点”，即“B=1”，样本空间中有利于 A 的样本点有 6 个，它们分别是(1，1)，(1，6)，对于 B=2，3，4，5，6，逐个分析列表如下：第一次掷出点数 B 1 2 3 4 5 6 有利于 A=“C ”的样本点数 6 5 4 2 0 0 从表中看出，有利于 A 的样本点数目为 17，则 p=P(A)= 9.随机地向半圆 =(x，y):0y （分数：5.00）_正确答案：()解
15、析：解：如图所示，设掷点坐标为(x，y)，依题意，它是随机地取自以(r，0)为圆心、r 为半径的半圆内，即样本空间 =(x，y):0y 事件 A 的样本点区域 G 为 G=(x，y):0 ，y ，这是一个几何型概率的计算问题，需要计算样本空间 所在区域的面积与有利于事件 A 的样本点区域 G 的面积： 其中 于是 10.设 A、B 是两个随机事件，P(A)=0.4， ，P(AB)=0.7，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对于任何概率不为零的事件 A，一定有 ，结合题设条件： ，可以得到 ，即 A 与 B 相互独立应用加法公式，有 或者从 A 与 B 独立知 也独立，因此有 ，
16、与 从可得 =0.5，P(B)=0.5，代入得到 11.某批产品优质品率为 80%，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是 90%，而将非优质品错判为优质品的概率是 20%，为了提高检验信度，每个产品均由 3 人组成的检查组，每人各自独立进行检验 1 次，规定 3 人中至少有 2 名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品假设各检验员检验水平相同求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设事件 B 表示“检查的产品被判为优质品”，事件 A 表示“检查的产品实为优质品”，X 表示3 人中对被验的优质品判断为优质品的人数，则 XB(3，0.9)，Y
17、 表示 3 人中对被验的非优质品误判为优质品的人数，YB(3，0.2)依题意 根据贝叶斯公式，有 12.甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为 0.7，乙为 0.6，试求二人试验成功次数相同的概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设事件 A i 与 B j 分别表示在两次独立重复试验中甲成功 i 次与乙成功 j 次，显然 A i 与 B j 相互独立，i，j=0，1，2，依独立重复试验的伯努利(二项分布)公式 P(A 0 )=0.3 2 =0.09，P(A 2 )=0.7 2 =0.49， P(A 1 )=1-P(A 0 )-P(A 2 )=0.42 类似地，
18、P(B 0 )=0.4 2 =0.16，P(B 2 )=0.6 2 =0.36，P(B 1 )=0.48 设事件 A 表示“在二人各自进行的两次独立重复试验中，甲、乙二人成功次数相同”，则 13.一条旅游巴士观光线共设 10 个站，若一辆车上载有 30 位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10 个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车求： (1)这辆车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 j 站停车的概率； (2)判断事件“第 i 站不停车”与“第 j 站不停车”是否相互独立 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：
19、设事件 A m =“第 m 位乘客在第 i 站下车”(m=1，2，30)，B n =“第 n 站停车”，n=1，2，10 (1)依题意 A 1 ，A 2 ，A 30 相互独立，P(A m )= ，m=1，2，30 类似地 在第 i 站不停车，即 B i 不发生的条件下，每位乘客都等可能地在第 i 站以外的 9 个站中任意一站下车，也就是说每位乘客在第 j 站下车的概率为 ，因此有 (2)由于 ，因此 与 B j 不独立，从而 B i 与 B j 不独立或者由计算 可知 14.设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=n=a 2 p n ，n=0，1，2， 试确定 a 与 p 的取值范围 （分数
20、：5.00）_正确答案：()解析：解：作为离散型随机变量 X 的概率函数应满足非负性与 ，结合本题应有 PX=n=a 2 p n 0 (n=0，1，2，)与 由此可以推出 p 一定是非负的并且只有当 0p1 时，级数 才收敛，此时 则 由以上分析可以看出 a，p 的取值范围分别是： 15.设钢管内径服从正态分布 N(， 2 )，规定内径在 98 到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不足 98 的是次品，已知该批产品的次品率为 15.9%，内径超过 101 的产品在总产品中占 2.28%，求整批产品的合格率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：依题意 PX98=0.159
21、，PX101=0.0228， 根据与式查正态分布表，可得关于 与 的二元方程组： 16.设连续型随机变量 X 的分布函数为 求使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，因此 F(x)在(-，+)内连续，当然在 x=-1与 x=1 处也连续，于是有 0=F(-1-0)=F(-1)=a- ， 1=F(1)=F(1-0)=a+ 解以 a，b 为未知量的二元一次方程组，可得 当-1x1 时， 由于 ，且只有当 时为 0， 时大于 0比较 n=2 与 n=3 的两个值： 当 n=2 时， ， 当 n=3 时， ， 因此可知，当 n=3 时， 达到最小
22、，其最小值为 1/12 解析 首先要确定 a 与 b 的值，再对 17.假定某街道有 n 个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1:2今有一汽车沿该街道行驶，若以 X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求 X 的分布律 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：事件“X=k”表示汽车在前 k 个路口均遇到绿灯，而在第 k+1 个路口遇到红灯，所以 而 ，将其列成表格形式即为 设 1000 件产品中有 150 件次品，从中一次抽取 3 件，求：（分数：5.00）(1).取到的次品数 X 的概率分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：1000 件
23、产品中分为正品与次品两类，从中任取 3 件，其取到的次品数 X 服从超几何分布，即 (2).最多取到 1 件次品的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由于超几何分布中产品总数(1000)很大，而从中抽取的产品数量(3 件)相对很小，因此可将超几何分布用二项分布 B(3，0.15)近似，即 PX1=PX=0+PX=10.85 3 + 18.一大批种子的发芽率是 99.8%，从中随机地选取 1000 粒进行试验，求这 1000 粒种子中发芽数目 X 的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于该批种子数量很大，因此可以认为 X 服从二项
24、分布 B(1000，0.998)，即 19.一批玻璃杯整箱出售，每箱装有 12 只，其中含有 0 个，1 个，2 个次品的概率分别是0.6，0.2，0.2一顾客需买该产品 5 箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取 3 只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数 X 的概率分布及检查箱数不超过 6箱的概率口 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设 A i 表示一箱中有 i 个次品，i=0，1，2；B 表示一箱通过检查 已知 P(A 0 )=0.6，P(A 1 )=0.2，P(A 2 )=0.2，由全概率公式，可得 于是 X 的概率分布为 ； 或 ，
25、 其中 p=0.859，q=0.141 =PX=5+PX=6=p 5 + 20.连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为 p(0p1)，X 1 表示首次击中目标所需进行的射击次数，X 2 表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y 表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求 X 1 ，X 2 ，Y 的概率分布 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：显然 X 1 ，X 2 ，Y 都是离散型随机变量，X 1 与 X 2 的取值都是 1，2，而 Y 的取值为2，3， PX i =n=pq n-1 ，n=1，2，q=1-p，i=1，2， PY=n= p=(n-1)p 2
26、 q n-2 ，n=2，3， 或根据 Y=X 1 +X 2 且 X 1 与 X 2 相互独立，可得 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为 p 1 与 p 2 (0p 1 ，p 2 1)求：（分数：5.00）(1).甲攻擂次数 X 1 的概率分布；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题 事件“X 1 =n”表示“甲与丙对阵 n 局”即“甲、乙各自与丙在前 n-1 次对局中均失败，在第 n 次对局中甲胜丙”或
27、“甲、乙各自与丙在前 n-1 次对局中均失败，在第 n 次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第 n次对局中乙胜丙”，则 PX 1 =n=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2， 其中 q i =1-p i ，i=1，2(2).乙攻擂次数 X 2 的概率分布；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：“X 2 =0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上场PX 2 =0=p 1 ；“X 2 =n”(n1)表示“甲、乙与丙各对阵 n-1 次均失败，甲、丙第 n 次对阵中甲又失败，但乙、丙第 n 次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵 n 次均失败，甲在第 n+1 次与
28、丙再对阵时胜丙”，则 PX 2 =n=(q 1 q 2 ) n-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) n-1 ，n=1，2，(3).擂主丙对甲、乙二人守擂总次数 X 3 的概率分布（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功 “X 3 =2n-1”表示“丙在前 2n-2 次守擂均成功，第 2n-1 次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局 n-1次均失败，而在甲与丙的第 n 次对局中甲胜丙”，因此有 PX 3 =2n-1=(q 1 q 2 ) n-1 p 1 ，n=
29、1，2， 类似分析可知 PX 3 =2n=(q 1 q 2 ) n-1 q 1 p 2 ，n=1，2，(4).假设乙对丙的胜率 p 2 是 1/4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：设事件 A 表示“甲攻擂成功”，则 若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则 P(A)=1/2，即 将 p 2 =1/4 代入上式，得 p 1 =1/5 或 甲、乙胜率相同的充分必要条件是 P(A)= ，即 21.设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为 0.001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为 0.01 的指数分布若随机变量 X 表示生产线无故障工作的时间，求 X 的分布函数 F(x)以及PX100 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：当 x0 时，F(x)=PXxPX0=0； 当 x=0 时，F(x)=PX0=PX=0=0.001； 当 x0 时，F(x)=PXx=PX0，Xx+PX0，Xx 而 PX0，Xx=PX0=0.001； PX0，Xx=PX0PXx|X0=0.999(1-e -0.01x ) 故 X 的分布函数为
