1、考研数学三-287 及答案解析(总分：150.04，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B.C.D.2.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 x=(x1，x 2，x 3)T恒有 xTAx=0 的充分必要条件是（分数：4.00）A.|A|=0B.AT=-AC.A=0D.A2
2、=A3.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 则（分数：4.00）A.B.C.D.4.下列等式中（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f“(x)0 当 x(-1，1)时成立，则（分数：4.00）A.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)xB.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)xC.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)xD.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x6.设常数 0，则级数 （分数
3、：4.00）A.B.C.D.7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标，设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）_8.设 f(x)=9(x+1)ex+1，则 f(x)在(-，+)内（分数：4.00）A.没有零点B.恰有一个零点C.恰有两个零点D.至少有三个零点二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)连续，f(0)=1，令（分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程 2yt+1-6yt=53t满足 y0=0 的特解为_。（
4、分数：4.00）填空项 1:_13.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)当|x|1 时具有二阶导数，且满足（分数：10.00）_设曲线 （分数：11.01）(1). （分数：3.67）_(2). （分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_16.设 f(x)在a，b上连续，求证：（分数：9.00）_17.计算二重积分
5、 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3。（分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.67）_(2).求矩阵 A 的特征向量；（分数：3.67）_(3).求矩阵 A*-6E 的秩。 （分数：3.67）_设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn。（分数：11.00）(1).求二次型 xTAx 的规范形；（分数：5.50）_(2).证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩
6、阵，并求行列式|B|的值。（分数：5.50）_设随机变变量 X 服从参数为 A 的指数分布，X表示不超过 X 的最大整数，令 Y=X+1，求：（分数：11.01）_(2).PY6|Y5（分数：3.67）_(3).E(X+Y)。（分数：3.67）_设随机变量 X 的概率密度函数为 对 X 进行两次独立观察，其结果分别记为 （分数：11.01）(1).确定常数 A，并计算概率 PX10，X 21（分数：3.67）_(2).求二维随机变量(Y 1，Y 2)的联合概率分布；（分数：3.67）_考研数学三-287 答案解析(总分：150.04，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.0
7、0)1.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B. C.D.解析：分析 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关，所以必有*从而*，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确，下面只需判断或正确即可。若 r(A)=n 说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故
8、应选(B)。当 r(A)=m 时，必有 nm，如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确。当 r(A)=n 时，*有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以元解，所以不正确，你能举例说明吗?2.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 x=(x1，x 2，x 3)T恒有 xTAx=0 的充分必要条件是（分数：4.00）A.|A|=0B.AT=-A C.A=0D.A2=A解析：分析 设 A=(aij)，因为*是 11 矩阵(记为 f(x1，x 2，x 3)，所以f(x1，x 2，x 3)=xTAx=(xTAx)T=xTAx如果 AT=-A，则有 xTAx=-xTA
9、x，即 2xTAx=0，从而 xTAx=0，充分性成立。当 e1=(1，0，0) T时，由*得到 f(1，0，0)=a 11=0类似可知 a22=0，a 33=0当 e12=(1，1，0) T时，由*，得到f(1，1，0)=a 12+a21=0，即 a12=-a21类似有 a13=-a31，a 23=-a32所以 a ii=0，a ii=-aji即 AT=-A，必要性成立，所以选(B)。关于条件(C)，它是充分条件，并非必要条件。由 AT=-A 得|A|=|A T|=|-A|=(-1)3|A|，知|A|=0，所以(A)是必要条件，但不是充分条件。条件(D)既不充分也不必要。*3.设 X1，X
10、2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *由于 X1，X 2，X n+1相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)= 2，所以*故选(B)。*4.下列等式中（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 要逐一分析是错误的，由于*在0，上连续，又 f(x)0(0)，(x0，*不正确。错误的步骤是*应是*，也是错误的。由 f(x)在(-，+)连续且是奇函数*可能积分*对于来说，*因为*对于，*是瑕积分，x=0 是瑕点，*不正确。是正确的，易知*，f(x)在-1，1上连续，
11、且是奇函数*因此，选(B)。*5.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f“(x)0 当 x(-1，1)时成立，则（分数：4.00）A.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)xB.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)xC.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)xD.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x 解析：分析 由题设知，曲线 y=f(x)在点 x=0 处的切线方程为 y=x，而曲线 y=f(x)在区间(-1，1)内是凸弧，由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论
12、(D)正确。也可直接证明如下：令 F(x)=f(x)-x，则 F(0)=0，F(0)=f(0)-1=0，且 F“(x)=f“(x)0 当 x(-1，1)时成立，由此可得 F(x)在区间(-1，1)内单调减少，从而，当 x(-1，0)时 F(x)F(0)=0，这表明F(x)在区间(-1，0上单调增加，故当 x(-1，0)时有 F(x)F(0)=0*f(x)x 成立，类似可得，当x(0，1)时 F(x)F(0)=0，因此 F(x)在区间0，1)上单调减少，故当 x(0，1)时有 F(x)F(0)=0*f(x)x 也成立。6.设常数 0，则级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 首先考
13、虑级数是否绝对收敛，因*且对任何常数 0 有*发散，从而，由极限形式的比较判别法知题目中级数不是绝对收敛的。其次考虑级数是否收敛，因对任何常数 0，有*且*故由莱布尼兹判别法知交错级数*收敛。综合以上可知，对任何常数 0 题目中级数总是条件收敛的，故应选(B)。*7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标，设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）_解析：分析 依题设，X 在-1，1上服从均匀分布，其概率密度为*由于*故 cov(X，|X|)=0，从而 =0，X 与|X|不相关，于是可排除(A)与(B)。对于任意实数*又 PX
14、a，|X|a=P|X|0=a，从而 PXaP|X|aPXa，|X|a8.设 f(x)=9(x+1)ex+1，则 f(x)在(-，+)内（分数：4.00）A.没有零点B.恰有一个零点C.恰有两个零点 D.至少有三个零点解析：分析 由题设知函数 f(x)在(-，+)可导，且*此外还有*是 f(x)在(-，+)的最小值。注意 f(x)在(-，-2从极限为 1 单调减少到 f(-2)0，可见在区间(-，-2)内函数 f(x)恰有一个零点，f(x)在-2，+)从 f(-2)0 单调增加到极限为+，可见在区间(-2，+)内函数 f(x)也恰有一个零点，综合即知 f(x)在(-，+)内恰有两个零点，故应选(
15、C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设*并令*则*又因*故由数列极限与函数极限之间的关系可得*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4e）解析：分析 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)*由复合函数求导法及变限积分求导法*11.设函数 f(x)连续，f(0)=1，令（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 从被积函数 f(x2+y2)及积分域 x2+y2t 2看，显然取极坐标变换，变成变上限的定积分后可对上限的变量求导，因题目中只给出 f(x
16、)连续，所以 F“(0)要由定义来计算。作极坐标变换，令 x=rcos，y=rsin，则*因为 f(x)连续，所以 F(t)=2tf(t 2)，且 F(0)=0，于是*12.差分方程 2yt+1-6yt=53t满足 y0=0 的特解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 原方程化为*其特征根 =3，从而可设其特解为y*(t)=at3t代入原方程，解出*由于 y*(0)=0，故符合题目要求。13.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a=
17、_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 任何两个向量都可以由另两个向量线性表出，说明任两个向量都是这个向量组的极大线性无关组，由于*可见 a=1 时，秩 r( 1， 2， 3， 4)=2，且 1， 2， 3， 4中任何两个向量的坐标均不成比例，故任何两个向量都是向量组的极大线性无关组。14.设随机变量 （分数：4.00）_解析：分析 由题设知 PX1+X20=0，而PX1+X20=PX 1=-1，X 2=-1+PX1=-1，X 2=0+PX1=0，X 2=-1+PX1=0，X 2=1+PX1=1，X 2=1=0。所以等式中的各项概率都等于零，再根据 Xi的分布，可以求
18、得(X 1，X 2)的联合分布表(如右所示)，从而算得*PX1=X2=PX1=-1，X 2=-1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)当|x|1 时具有二阶导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(解法一 由题设*利用当 x0 时的等价无穷小关系*可得*把函数 f(x)的二阶麦克劳林公式代入上式，就有*由此即得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=18解法二 同解法一首先得到*于是由函数二阶可导与极限的四则运算法则以及导数的定义可得*从而函数 f(x)的二阶麦克劳林公式是*由此可得*令 x0 在上式两端取极限就有
19、*于是，为了求得 f“(0)，只需给出函数 f(x)的表达式并代入上式计算相应极限即可，利用极限与无穷小量的关系可得*其中函数 g(x)满足*由(*)式不难解出f(x)=xln(3+g(x)ln(esinx+2x)+1故*在上面的求极限过程中利用了当0 时的等价无穷小关系：e -1与 ln(1+)来简化计算。)解析：设曲线 （分数：11.01）(1). （分数：3.67）_正确答案：(如下图，*令*于是*)解析：(2). （分数：3.67）_正确答案：(对题()中的 I(n)表达式，令 t=sin，则有* 方法 1。 将式作如下变形*方法 2。 将式作如下变形* 将，两式相加得*由连续函数定积
20、分的比较性质可得*，从而* )解析：(3). （分数：3.67）_正确答案：(由*及式可知*由比值判别法易知正项级数*收敛，为求其和，先求其前 n 项的部分和*又*由式减去式即得*从而有*故*进而就有*)解析：16.设 f(x)在a，b上连续，求证：（分数：9.00）_正确答案：(记*以下分 f(x)在区间(a，b)内是否变号两种情形来证明所需的结论。首先，若 f(x)在(a，b)内不变号，则必有*其次，若 f(x)在(a，b)内变号，则必存在 x0(a，b)使 f(x0)=0，由 f(x)在a，b上连续可得|f(x)|也在a，b上连续，由闭区间连续函数的性质知，存在 x1a，b，使得*于是*
21、综合即知要证的结论总是成立的。)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(区域 D 如图所示，由*可得交点*引入极坐标 x=rcos，y=rsin，区域 D 的极坐标表示为*从而*)解析：18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(因幂级数*中所有 x2n-1项的系数都是零，所以直接利用比值判别法求其收敛半径，当 x=0时幂级数显然收敛，设 x0，因*可见幂级数*当|x|1 时绝对收敛，当|x|1 时发散，故幂级数的收敛半径 R=1。当 x=1 时幂级数成为交错级数*由于*单调减少且*按莱布尼兹判别法可知幂级数在 x=-1 与 x=1 都收敛，即其收敛域为-1，1。设*
22、则幂级数*当-1x1 时由于*利用 S1(0)=0，积分可得 S1(x)=-arctanx，从而当|x|1 时*由于上式左端的幂级数在 x=-1 与 x=1 收敛，而函数-xarctanx 在 x=-1 与 x=1 都连续，故当-1x1 时有*)解析：已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3。（分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.67）_正确答案：(据已知条件，有A( 1， 2， 3)=(- 1-3 2-3 3，4 1+4 2+ 3，-2 1+3 3
23、)*记*及 P1=( 1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3线性无关知矩阵 P1可逆，且*即 A 与 B 相似。由矩阵 B 的特征多项式*得矩阵 B 的特征值是 1，2，3，从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3。)解析：(2).求矩阵 A 的特征向量；（分数：3.67）_正确答案：(由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵曰属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P2=(
24、1， 2， 3)，则有*于是令*=( 1+ 2+ 3，2 1+3 2+3 3， 1+3 2+4 3)，则有*所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)，k 2(2 1+3 2+3 3)，k 3( 1+3 2+4 3)，ki0(i=1，2，3)。)解析：(3).求矩阵 A*-6E 的秩。 （分数：3.67）_正确答案：(由*从而*所以秩 r(A *-6E)=2。)解析：*设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn。（分数：11.00）(1).求二次型 xTAx 的规范形；（分数：5.50）_正确答案：(设 为矩阵 A 的特征值
25、，对应的特征向量为 ，即 A=，0，则 A2= 2 由于A2=E，从而( 2-1)=0，又因 0，故有 2-1=0，解得 =1 或 =-1。因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是*那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，-1(n-k 个)。故二次型*)解析：(2).证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值。（分数：5.50）_正确答案：(因为 A2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个)，1(n-k 个)，由于口的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且|B|=5 k1n
26、-k=5 k。)解析：设随机变变量 X 服从参数为 A 的指数分布，X表示不超过 X 的最大整数，令 Y=X+1，求：（分数：11.01）_解析：(2).PY6|Y5（分数：3.67）_正确答案：(根据几何分布的无记忆性，可得PY6|Y5=PY1=1-PY=1=e - )解析：(3).E(X+Y)。（分数：3.67）_正确答案：(根据参数为 的指数分布与参数为 p 的几何分布数学期望公式以及数学期望性质可知*于是*)解析：设随机变量 X 的概率密度函数为 对 X 进行两次独立观察，其结果分别记为 （分数：11.01）(1).确定常数 A，并计算概率 PX10，X 21（分数：3.67）_正确答案：(由*即*显然，X 1与 X2独立且与 X 同分布，因而有PX10，X 21=PX 10PX 21*)解析：(2).求二维随机变量(Y 1，Y 2)的联合概率分布；（分数：3.67）_正确答案：(由于 Y1，Y 2均为离散型随机变量，且都可取值 1，0，由已知条件可得其联合概率分布*于是(Y1，Y 2)的联合概率分布见下表，其中*)解析：_解析：
