1、考研数学三-286 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)1.已知齐次线性方程组 （分数：5.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)=n，证明齐次方程组 ABx=0 与 Bx=0 同解 （分数：5.00）_3.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 Ax=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，证明向量 =(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量线性表出 （分数：5.00）_4.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 A T x=
2、0 的解全是 b T x=0 的解 （分数：5.00）_5.已知齐次线性方程组 （分数：5.00）_6.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 ，试求矩阵A 的特征值与特征向量 （分数：5.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，其中 1 是齐次方程组 Ax=0 的解，又知 A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 1 -3 2 +2 3 （分数：5.01）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量；（分数：1.67）_(2).判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由；（分数：1.67）_(3).求秩
3、 r(A+E)（分数：1.67）_7.已知矩阵 （分数：5.00）_8.已知矩阵 （分数：5.00）_9.设 ，向量 （分数：5.00）_10.已知矩阵 A 和 B 相似，其中 （分数：5.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是 1 =(1，k，1) T ，属于特征值 2 = 3 的一个特征向量是 2 =(-1，1，0) T （分数：4.00）(1).求参数 k 及 A 的属于特征值 2 = 3 的另一个特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是
4、 0，并且 =(1，2，-1) T 满足 A=2（分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_11.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，-1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1 =(2，3，-1) T 与 2 =(1，a，2a) T ，A * 是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * -2E)x=0 的通解 （分数：5.00）_12.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的单位特征向量，证明 （分数：4.
5、00）_13.设三元二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形 （分数：4.00）_14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x T Ax 的正惯性指数为 p=1，又矩阵 A 满足 A 2 -2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由 （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).若矩阵 A 正定，求 a 的取值范围；（分数：2.00）_(2).若 a 是使 A 正定的正整数，求正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：2.00）_15.已知矩阵 （分数：4.00）_16.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 （分数：4.00）_1
6、7.已知 （分数：4.00）_18.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵 B T AB 正定的充分必要条件是秩 r(B)=n （分数：4.00）_考研数学三-286 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)1.已知齐次线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 设方程组()和()的系数矩阵分别是 A 和 B， a，b，c 恒有 r(A)=r(B)=2 取 x 2 ，x 4 为自由变量，得到()的基础解系 1 =(-1，1-4，0) T ， 2 =(-a，0，-3a，1) T 因为()与()同解，故 1
7、 ， 2 是()的基础解系代入()有 方程组()和()的通解均为 k 1 (-1，1，-4，0) T +k 2 (2，0，6，1) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数 解法二 ()的系数矩阵 ，()的系数矩阵 ()与()同解 r(A)=r(B)= 本题中 r(A)，r(B)显然都为 2因此同解 2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)=n，证明齐次方程组 ABx=0 与 Bx=0 同解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 设 是齐次方程组 Bx=0 的解，则 B=0那么 AB=A(B)=A0=0，即 是方程组 ABx=0的解 若 是齐次方程组 ABx=0 的
8、解，则 AB=0，那么 B 是齐次方程组 Ax=0 的解因为秩 r(A)=n，所以Ax=0 只有 0 解故 B=0从而 是齐次方程组 Bx=0 的解 因此 ABx=0 与 Bx=0 同解3.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 Ax=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，证明向量 =(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量线性表出 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 Ax=0 的解全是 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，所以 那么 4.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件
9、是 A T x=0 的解全是 b T x=0 的解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 (必要性)因为方程组 Ax=b 有解，设 是 Ax=b 的一个解，即 A=b，即 b T =(A) T = T A T 若 是 A T x=0 的任一个解，则 A T =0，那么 b T = T A T = T 0=0， 即 ，是 b T x=0 的解 (充分性)因为 A T x=0 的解全是 b T x=0 的解，所以 A T x=0 与 同解那么 5.已知齐次线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 因为方程组()、()有非零公共解，即把()、()联立所得方程组()有非零解，
10、对系数矩阵作初等行变换，有 方程组()有非零解 a=-1 求出 =(2，6，2，1) T 是()的基础解系，所以()与()的所有公共解是 k 解法二 对()的系数矩阵作初等行变换，得 所以方程组()的基础解系是 1 =(-1，2，1，0) T ， 2 =(4，2，0，1) T 那么，()的通解是 k 1 1 +k 2 2 =(-k 1 +4k 2 ，2k 1 +2k 2 ，k 1 ，k 2 ) T 将其代入()，有 整理为 因为()，()有非零公共解，故 k 1 ，k 2 必不全为 0 因此 6.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2
11、 ，试求矩阵A 的特征值与特征向量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 由于 A 3 +2A 2 -3A=0，有 A(A 2 +2A-3)=0=0(A 2 +2A-3) 因为 ，A，A 2 线性无关，故必有 A 2 +2A-30所以 =0 是 A 的特征值，而 k 1 (A 2 +2A-3)(k 1 0)是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量 类似地，由 A 3 +2A 2 -3A=0，有 (A-E)(A 2 +3A)=0=0(A 2 +3A)， (A+3E)(A 2 -A)=0=0(A 2 -A) 所以，=1 是 A 的特征值，而 k 2 (A 2 +3A)(k 2 0)是属于
12、 =1 的特征向量；=-3 是 A 的特征值，而 k 3 (A 2 -A)(k 3 0)是属于 =-3 的特征向量 解法二 由 A(，A，A 2 )=(A，A 2 ，A 3 )=(A，A 2 ，3A-2A 2 ) 知 由 知矩阵 B 的特征值是 0，1，-3，亦即 A 的特征值是 0，1，-3 由(0E-B)x=0 得基础解系 1 =(-3，2，1) T ； (E-B)x=0 得基础解系 2 =(0，3，1) T ； (-3E-B)x=0 得基础解系 3 =(0，-1，1) T 如 B= 有(P -1 AP)=，即 A(P)=P所以 设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性
13、无关的列向量，其中 1 是齐次方程组 Ax=0 的解，又知 A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 1 -3 2 +2 3 （分数：5.01）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：据已知条件，有 记 P=( 1 ， 2 ， 3 )， ，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 P 是可逆矩阵于是有 P -1 AP=B， 从而 A 和 B 相似因为 所以矩阵 B 的特征值是 2，2，0，亦即矩阵 A 的特征值是 2，2，0 对应于 1 = 2 =2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0 得基础解系 1 =(1，2，0) T 如果 B=，则(P -1 AP
14、)=，有 A(P)=(P)，那么 (2).判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：因为秩 r(2E-B)=2，矩阵 B 对应于 1 = 2 =2 只有一个线性无关的特征向量，矩阵 B 不和对角矩阵相似，所以 A 不和对角矩阵相似(3).求秩 r(A+E)（分数：1.67）_正确答案：()解析：解：因为 AB，有 A+EB+E从而 r(A+E)=r(B+E)=37.已知矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由 得到矩阵 A 的特征值 1 = 2 =3， 3 =-1 由矩阵 A 的特征值有重根，而 A 与对角矩阵相似，可知 =3 必有 2 个
15、线性无关的特征向量，因而秩r(3E-A)=1于是由 对 1 = 2 =3，解齐次线性方程组(3E-A)x=0， 得基础解系： 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 对 3 =-1，解齐次线性方程组(-E-A)x=0， 得基础解系： 3 =(1，-3，0) T 令 8.已知矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由 ，得到矩阵 A 的特征值： 1 = 2 =0， 3 =1 对应于 1 = 2 =0，解齐次线性方程组(0E-A)x=0，得基础解系： 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(-3，0，1) T 对应于 3 =1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系
16、： 3 =(1，0，0) T 令 由 ，得到矩阵 B 的特征值： 1 = 2 =0， 3 =1 对应于 1 = 2 =0，解齐次线性方程组(0E-B)x=0，得基础解系： 1 =(1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T 对应于 3 =1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系： 3 =(2，1，0) T 令 由 记 P 即为所求可逆矩阵 解析 因为 A 和 B 均与对角矩阵 相似，可有 从而 ，可知 P -1 AP=B，其中 9.设 ，向量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由 A -1 = 0 两边左乘 A 得 0 A=，即 由此可得 又因 10.已知矩阵 A 和
17、B 相似，其中 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于矩阵 A 与对角矩阵 B 相似，知矩阵 A 的特征值是 b，b，c且 =b 有两个线性无关的特征向量，故秩 r(bE-A)=1 矩阵 A 的特征多项式 =(-2)( 2 -10+13-a)， 若 b=2，则 2 -10+13-a 必含有 -2 的因式于是 2 2 -20+13-a=0 a=-3 再由 1+5+6=b+b+c c=8此时， 故 a=-3，b=2，c=8 合于所求 若 c=2，则由 1+5+6=b+b+c 知 b=5 于是 2 -10+13-a=(-5) 2 ，解出 a=-12因为 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是
18、 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是 1 =(1，k，1) T ，属于特征值 2 = 3 的一个特征向量是 2 =(-1，1，0) T （分数：4.00）(1).求参数 k 及 A 的属于特征值 2 = 3 的另一个特征向量；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：因为 A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交 1 ， 2 是 A 的分别属于特征值 1 ， 2 = 3 的特征向量，故有 ，即 -1+k+0=0 解得 k=1，从而， 1 =(1，1，1) T 设矩阵 A 的属于特征值 2 = 3 的另一个特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x
19、3 ) T 由于 1 ， 3 是 A 的属于不同特征值的特征向量，故有 为使属于同一特征值 2 = 3 的 2 个特征向量线性无关，进一步设 于是有齐次线性方程组 (2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：令矩阵 ，则有 由于 ，所以 设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 =(1，2，-1) T 满足 A=2（分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：设 ，由 A=2 得到 故 (2).求正交矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：由矩阵 A 的特征多项式 得到矩阵 A
20、的特征值为 1 = 2=2， 3 =-4 对于 =2，由(2E-A)x=0， 得到属于 =2 的特征向量 1 =(1，2，-1) T ， 2 =(1，0，1) T 对 =-4，由(-4E-A)x=0， 得到属于 =-4 的特征向量 3 =(-1，1，1) T 因为 1 ， 2 已正交，故只需单位化，有 那么，令 11.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，-1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1 =(2，3，-1) T 与 2 =(1，a，2a) T ，A * 是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * -2E)x=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析
21、：解：由 A 的特征值是 1，2，-1，可知行列式|A|=-2，那么 A * 的特征值是-2，-1，2于是 所以 r(A * -2E)=r(A)=2那么，(A * -2E)x=0 的基础解系由一个线性无关的解向量所构成 又因矩阵 A 属于 =-1 的特征向量就是 A * 属于 =2 的特征向量，亦即 A * -2E 属于 =0 的特征向量 由于 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交设矩阵 A 属于特征值 =-1 的特征向量是 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 12.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ，
22、3 是相应的单位特征向量，证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 是正交矩阵，由于 A 是实对称矩阵，故必有 那么 由于 从而有 13.设三元二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：二次型经正交变换化为标准形 ，知矩阵 A 的特征值是 5，-1，-1设 =-1 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于 A 是实对称矩阵，故 与 正交，则有 x 1 +x 2 +x 3 =0 解出 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 那么令 于是 所以 14.设二次型
23、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x T Ax 的正惯性指数为 p=1，又矩阵 A 满足 A 2 -2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即A=，0那么(A 2 -2A)=3，即有( 2 -2-3)=0，即有 2 -2-3=0，故 =3 或-1 又因正惯性指数 p=1，故 f 的特征值必为 3，-1，-1，-1 所以，二次型的规范形是 设 （分数：4.00）(1).若矩阵 A 正定，求 a 的取值范围；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：由 A 的特征多项式
24、 得到矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =2-a， 3 =2a+2 那么 A 正定 (2).若 a 是使 A 正定的正整数，求正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：2.00）_正确答案：()解析：解：满足矩阵 A 正定的正整数 a=1，那么 此时，矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =1， 3 =4 对于 =1，由(E-A)x=0， ， 得到属于 =1 的特征向量 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 对于 =4，由(4E-A)x=0， ， 得到属于 =4 的特征向量 3 =(1，1，1) T 对 1 ， 2 正交规范化处理，有 得到 那么令
25、则经 x=Py，有 x T Ax=y T y= 15.已知矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由 A 的特征多项式 ， 知矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =6， 3 =-2由于矩阵 A 可以相似对角化，故 =6 必有 2 个线性无关的特征向量，那么由 得知 a=0因此 二次型的矩阵为 由 知二次型 x T Ax=x T A 1 x 的特征值是 6，7，-3 对 =6，由(6E-A 1 )x=0 得 1 =(0，0，1) T 对 =7，由(7E-A 1 )x=0 得 2 =(1，1，0) T 对 =-3，由(-3E-A 1 )x=0 得 3 =(1，-1，0) T 不同特征值的特
26、征向量已正交，故只需单位化，有 那么，令 财经 x=Py，有 16.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证法一 由于 A，B 均是正定矩阵，知 A T =A，B T =B，那么 所以，矩阵 C 是对称矩阵由于 可知矩阵 A 的特征值 1 ， 2 ， m 与矩阵 B 的特征值 1 ， 2 ， n 就是矩阵 C 的特征值 因为矩阵 A，B 均正定，所以 i (i=1，2，m)， j (j=1，2，n)均为正数，即矩阵 C 的特征值全大于零，故矩阵 C 正定 证法二 矩阵 C 对称同前，略 设 x=(x 1 ，x 2 ，x m ，x m+1 ，
27、x m+n ) T = ，其中 X 1 =(x 1 ，x 2 ，x m ) T ，X 2 =(x m+1 ，x m+2 ，x m+n ) T ，那么， ，必有 X 1 ，X 2 不同时为 0不妨设 X 1 0，由于 因为 A 正定，有 ，由 B 正定知 ，所以， ，恒有 x T Cx0，即 C 是正定矩阵 证法三 C 对称同前，略 因为 A，B 分别是 m 阶，n 阶正定矩阵，故存在 m 阶与 n 阶可逆矩阵 D 1 与 D 2 ，使得 那么，令 ，则|D|=|D 1 |D 2 |0，D 是可逆矩阵，且 17.已知 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由(A T A) T =A T (
28、A T ) T =A T A，知 A T A 是对称矩阵 (1)如果 sn，则齐次方程组 Ax=0 有非零解，设为 x 0 ，那么 ，x 0 0所以矩阵 A T A 不正定 (2)如果 s=n，因为 a i a j ，|A|=(a i -a j )0，A 是可逆矩阵，那么 B=A T A=A T EA 即 B 与 E 合同故矩阵 B 正定 (3)如果 sn，则因 可逆，知 18.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵 B T AB 正定的充分必要条件是秩 r(B)=n （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 首先证必要性 方法 1 (齐次方程组只有 0 解) x0，由于
29、 B T AB 正定，知 x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0 所以必有 Bx0，即齐次方程组 Bx=0 只有零解，故 r(B)=n 方法 2 (用秩的概念、性质)由 B T AB 正定，知|B T AB|0，那么 n=r(B T AB)r(B)min(m，n)n 所以，r(B)=n 或者，由 A 正定，知 A=D T D，D 是可逆矩阵，那么 n=r(B T AB)=r(B T D T DB)=r(DB) T (DB)=r(DB)=r(B) 方法 3 (用反证法)如果 r(B)n，则 B=( 1 ， 2 ， n )的列向量线性相关，于是存在不全为 0 的数 k 1 ，k 2
30、 ，k n ，使 即存在 x 0 =(k 1 ，k 2 ，k n ) T 0，使得 x 0 T (B T AB)x 0 =x 0 T B T A(Bx 0 )=0 这与 B T AB 正定相矛盾 再证充分性 方法 1 (用特征值)因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，故矩阵 B T AB 对称 设 是矩阵 B T AB 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 B T AB=0 用 T 左乘上式的两端，有(B) T A(B)= T 由于秩 r(B)=n，0，知 B0 及 T =| 2 0，又因 A 正定，从而 T =(B) T A(B)0 因此，特征值 0，即 B T AB 正定 方法 2 (用定义)B T AB 对称性，略 由于秩 r(B)=n，知齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，那么 ，恒有 Bx 0 0，又因 A 是正定矩阵，所以对 Bx 0 0，必有(Bx 0 ) T A(Bx 0 )0，即
