1、考研数学三-285 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 XN(1，2 2)，X 1，X 2，X n为 X的样本，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 其中 f(x)在 x=0处连续，且 f(0)=0，若 F(x)在 x=0处连续，则 k等于（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在闭区间0，1上二次可微，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1， 2， 3为三阶方阵 A的三个不
2、同特征值，对应特征向量依次为 1， 2， 3令 P=- 1，2 2，3 3，则 P-1AP等于（分数：4.00）A.B.C.D.不能确定6.设 A、B、C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P（分数：4.00）A.=PB.=PC.=x，则 x的最大值为(A) (B) 1(C) D.7.设 A为 n阶方阵，则不成立的是（分数：4.00）A.若 A可逆，则矩阵 A的属于特征值 的特征向量也是矩阵 A-1的属于特征值B.) A的全部特征C.若 A存在属于特征值 的 n个线性无关的特征向量，则 A=ED.A与 AT有相同的特征值8.设 0，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总
3、题数：6，分数：24.00)9.设 ，其中 f(t)连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设微分方程 有特解 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 Z=xy+xF(u)，其中 F为可微函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A为 3阶方阵，且|A+2E|=|A+E|=|A-3E|=0，则|A *+5E|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X在(1，6)上服从均匀分布，则方程 x2+Xx+1=0有实根的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)1
4、5.设 f(x)连续，且积分 （分数：10.00）_16.设 ba0，证明： （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在x 1，x 2上可微，且 0x 1x 2，证明：（分数：10.00）_18.设 (0x1)，试证：当 0x1 时，f(x)满足方程：（分数：10.00）_19.计算 （分数：10.00）_已知二次型 （分数：11.00）(1).参数 C；（分数：5.50）_(2).将二次型化为标准形，并写出正交变换矩阵（分数：5.50）_20.设 A是 n阶正定矩阵， 1， 2， 3， 4是非零的 n维列向量，且 （分数：11.00）_21.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独
5、立，且同分布，PX i=0)=0.6，PX i=1)=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式（分数：10.00）_已知随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(1，3 2)和 N(0，4 2)，且 X与 Y的相关系数 （分数：11.00）(1).Z的数学期望 E(Z)和方差 D(Z)；（分数：5.50）_(2).X与 Z的相关系数 XZ（分数：5.50）_考研数学三-285 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 XN(1，2 2)，X 1，X 2，X n为 X的样本，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：因为*(当 XN(，
6、2)时)，所以*于是 *当*时，*，故(C)入选2.设 其中 f(x)在 x=0处连续，且 f(0)=0，若 F(x)在 x=0处连续，则 k等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：根据连续的定义，有*3.设 f(x)在闭区间0，1上二次可微，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：令*，则*从而 F(x)0(0x1，即 F(x)是单调增加的，故选(A)项4.若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则 等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：*5.已知 1， 2， 3为三阶方阵 A的三个不同特征值，对应特征向量依次为 1， 2， 3令
7、P=- 1，2 2，3 3，则 P-1AP等于（分数：4.00）A.B. C.D.不能确定解析：因为 1=- 1， 2=2 2， 3=3 3分别为 1， 2， 3的特征向量，故当P=- 1，2 2，3 3= 1， 2， 3时，有*，(B)项为正确选项6.设 A、B、C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P（分数：4.00）A.=P B.=PC.=x，则 x的最大值为(A) (B) 1(C) D.解析：由题设 P(AB)=P(AC)=P(BC)=x2，P(ABC)=0，于是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x2，而 P
8、(A+B+C)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x 2，故有 3x=3x22x-x 2，即 x(1-2x)0，解得*，(A)为正确答案7.设 A为 n阶方阵，则不成立的是（分数：4.00）A.若 A可逆，则矩阵 A的属于特征值 的特征向量也是矩阵 A-1的属于特征值B.) A的全部特征 C.若 A存在属于特征值 的 n个线性无关的特征向量，则 A=ED.A与 AT有相同的特征值解析：设 是 A的特征值，对应特征向量为 x，则 Ax=x，当 A可逆时，必有 0，于是有*，说明属于特征值 的特征向量也是矩阵 A-1的属于特征值*的特征向量；若 A有 n个属于特征值 的特征向量，设
9、为 1， 2， n，则 A 1， 2， n= 1， 2， n，矩阵P= 1， 2， n可逆，故有 A=E；由|E-A|=|(E-A) T|=|E-A T|知，A 与 AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，(A)、(C)、(D)都正确，故选(B)事实上，至少(E-A)x=0 的零解就不是 A的特征向量8.设 0，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*收敛，故由比较判别法的极限形式知*收敛，又*发散，故必有*发散，正确答案为(C)项二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，其中 f(t)连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2f(a)）解析：
10、*10.设微分方程 有特解 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*故*11.设 Z=xy+xF(u)，其中 F为可微函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.设 f(x，y)连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：令*从而有*解得*，即有*13.设 A为 3阶方阵，且|A+2E|=|A+E|=|A-3E|=0，则|A *+5E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-14）解析：|A+2E|=|A+E|=|A-3E|=0，可知 A的特征值为-2，-1，3，|A|=(-2)(-1)3=6A*+5E的特征值为
11、 2，-1，7，故|A *+5E|=2(-1)7=-1414.设随机变量 X在(1，6)上服从均匀分布，则方程 x2+Xx+1=0有实根的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.8）解析：方程有实根的条件为 =b 2-4ac=X2-40，又 X服从均匀分布，其密度为*三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(x)连续，且积分 （分数：10.00）_正确答案：(令*，即*于是原等式变为 *两边对 x求导，得 f(x)+f(x)=0，特征方程 +1=0，=-1，故 f(x)=Ce-x(C为任意常数)解析：16.设 ba0，证明： （分数：10.00）_正确答案：(分
12、析当 ba0 时，*令 f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(xa)，因为*所以 f(x)“”，又 f(a)=0，于是 f(x)0(xa)，因而 f(x)“”，又 f(a)=0，故当 ba0 时，f(b)f(a)=0，即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)0，亦即*)解析：17.设函数 f(x)在x 1，x 2上可微，且 0x 1x 2，证明：（分数：10.00）_正确答案：(令*因为 0x 1x 2，所以 (x)，(x)在x 1，x 2上满足柯西中值定理，于是*一个 (x 1，x 2)，使得*即*故*)解析：18.设 (0x1)，试证：当 0x1 时，f(x)满足方程：
13、（分数：10.00）_正确答案：(由幂级数的分析性质，有* * 将，代入欲证方程的左式，有*)解析：19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(先看 y-x2在 D上符号，以便去掉绝对值y=x 2将 D分成 D1，D 2和 D3三块，在 D1和 D2上，y-x20，在 D3上 y-x30，故*)解析：已知二次型 （分数：11.00）(1).参数 C；（分数：5.50）_正确答案：(二次型矩阵*因为 R(A)=2，所以|A|=25c+9+9-45-45-c=0*C=3*特征值为 0，4，9)解析：(2).将二次型化为标准形，并写出正交变换矩阵（分数：5.50）_正确答案：(i)属于 =0 的特
14、征向量*对应齐次方程组为*，特征向量为*(ii)属于 =4 的特征向量*对应的齐次方程组为*(iii)属于 =9 的特征向量*对应的齐次方程组为*，所作正交变换矩阵为*)解析：20.设 A是 n阶正定矩阵， 1， 2， 3， 4是非零的 n维列向量，且 （分数：11.00）_正确答案：(设*常数 k1，k 2，k 3，k 4，使 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，将上式两边左乘*，得*由题设可知，上式后三项为 0，于是k1 1A 1=0，由于 A正定， 10，知*从而 k1=0，同理可证 k2=k3=k4=0，故 1， 2， 3， 4线性无关)解析：21.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且同分布，PX i=0)=0.6，PX i=1)=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式（分数：10.00）_解析：已知随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(1，3 2)和 N(0，4 2)，且 X与 Y的相关系数 （分数：11.00）(1).Z的数学期望 E(Z)和方差 D(Z)；（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).X与 Z的相关系数 XZ（分数：5.50）_正确答案：(*故*)解析：
