1、考研数学三-284 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：42.00)1.已知方程组 （分数：3.00）2.已知 1 =(-3，2，0) T ， 2 =(-1，0，-2) T 是方程组 （分数：3.00）3.设 1 =(1，3，-2) T ， 2 =(2，-1，3) T 是 Ax=0 的基础解系，又 Bx=0 和 Ax=0 是同解方程组，已知 =(2，a，b) T 是方程组 （分数：3.00）4.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，-1，那么(A+2E) 2 的特征值是 1 （分数：3.00）5.设 n 阶矩阵 A 满足条件 AA T =
2、4E，A 的行列式|A|0，但|2E+A|=0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值是 1 （分数：3.00）6.已知 （分数：3.00）7.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 -3A 3 +3A 2 -2A=0，则矩阵 A 的 n 个特征值是 1 （分数：3.00）8.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 ，且 1 = （分数：3.00）9.已知 （分数：3.00）10.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均等于 2，且满足 A 2 +kA+6E=0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则参数 k= 1 （分数：3.00）11.
3、设 A 是 3 阶矩阵，向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，=(-1，2，-2) T 已知 =2 是矩阵 A 的一个特征值， 1 ， 2 是 A 的属于 =2 的特征向量，则 A= 1 （分数：3.00）12.已知矩阵 A 第一行 3 个元素分别是 3，-1，-2，又 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，0) T ， 3 =(1，0，1) T 是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A= 1 （分数：3.00）13.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：3.00）14.若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(ax 1 +2x 2 -3x 3 ) 2 +(x
4、 2 -2x 3 ) 2 +(x 1 +ax 2 -x 3 ) 2 是正定二次型，则 a 的取值范围是 1 （分数：3.00）二、选择题(总题数：8，分数：24.00)15.已知 （分数：3.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1D.a=1 时，必有 r(B)=216.设矩阵 （分数：3.00）A.4B.5C.6D.717.设向量组 1 =- 1 ， 2 =- 2 ， s =- s ，= 1 + 2 + s (s1)，则向量组的秩（分数：3.00）A.r(1，2，s)r(1，2，s)B.r(1，2，s)r(1，2，s)C
5、.r(1，2，s)r(1，2，s，1，2，s)D.r(1，2，s)=r(1，2，s，1，2，s)18.设 1 =(1，-2，3，2) T ， 2 =(2，0，5，-2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是 A. 1=(1，-3，3，3) T B. 2=(0，0，5，-2) T C. 3=(-1，-6，-1，10) T D. 4=(1，6，1，0) T（分数：3.00）A.B.C.D.19.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，则 A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解 B
6、.Ax=0 的解均是 A*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解 D.Ax=0 与 A*x=0 仅有两个非零公共解（分数：3.00）A.B.C.D.20.设 n 阶矩阵 A 的行列式|A|=a0(n2)， 是 A 的一个特征值，A * 为 A 的伴随矩阵，则 A * 的伴随矩阵(A * ) * 的一个特征值是 A. -1an-1 B. -1an-2 C.a n-2 D.a n-1（分数：3.00）A.B.C.D.21.设 A 为 3 阶非零矩阵，且 A 2 =0，则 A 的线性无关的特征向量的个数为（分数：3.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个22.已知 （分数：
7、3.00）A.，B.，C.，D.，三、解答题(总题数：3，分数：34.00)23.解方程组 （分数：11.00）_24.设 （分数：11.00）_25.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 Ax= 的通解是(1，-2，0) T +k(2，1，1) T ，若B=( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )，求方程组 By=+ 3 的通解 （分数：12.00）_考研数学三-284 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：42.00)1.已知方程组 （分数：3.00）解析：(3，-1，0) T +k(-5，2，1) T ，k 为任意实数 解析 对增
8、广矩阵作初等行变换，有 若 a=3，则 r(A)=2， 2.已知 1 =(-3，2，0) T ， 2 =(-1，0，-2) T 是方程组 （分数：3.00）解析： 解析 要搞清解的结构就应当知道秩 r(A)因为方程组有解且不唯一，故 r(A)3又因矩阵 A 中有 2 阶子式 ，因此 r(A)=2那么，导出组的基础解系由 n-r(A)=1 个解向量所构成从而 1 - 2 =(-2，2，2) T 是 Ax=0 的解，也即 Ax=0 的基础解系 所以，方程组的通解是 3.设 1 =(1，3，-2) T ， 2 =(2，-1，3) T 是 Ax=0 的基础解系，又 Bx=0 和 Ax=0 是同解方程组
9、，已知 =(2，a，b) T 是方程组 （分数：3.00）解析：(2，-6，8) T 解析 因 是 的解，故 应满足 x 1 +2x 2 +x 3 =-2，代入 得 2+2a+b=-2，2a+b=-4 =(2，a，-2a-4) T 又 Ax=0 和 Bx=0 是同解方程组， 满足 Bx=0，即满足 Ax=0， 应可由 Ax=0 的基础解系线性表出，即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 有解 4.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，-1，那么(A+2E) 2 的特征值是 1 （分数：3.00）解析：9，16，1 解析 设矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量是 i ，那么 (A+2E)
10、i =A i +2 i =( i +2) i ， (A+2E) 2 i =(A+2E)( i +2) i =( i +2)(A+2E) i =( i +2) 2 i 由于 i 0，故 i 是矩阵(A+2E) 2 属于特征值( i +2) 2 的特征向量，即矩阵(A+2E) 2 的特征值是 9，16，15.设 n 阶矩阵 A 满足条件 AA T =4E，A 的行列式|A|0，但|2E+A|=0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值是 1 （分数：3.00）解析：2 n-1 解析 因|A|0，故 A 是可逆矩阵而由|A T |=|A|及 AA T =4E 得|A|
11、 2 =|AA T |=|4E|=4 n ，从而|A|=2 n ；又因|A|0，故|A|=-2 n 由|2E+A|=|A-(-2)E|=0，知-2 是 A 的一个特征值因为 A * =|A|A -1 ，容易推导，如果 是 A 的特征值，则 是 A * 的特征值，因此，A * 的一个特征值是 6.已知 （分数：3.00）解析：1，5，5 解析 记 B= T ，由于 7.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 -3A 3 +3A 2 -2A=0，则矩阵 A 的 n 个特征值是 1 （分数：3.00）解析：2(r 重)，0(n-r 重) 解析 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵
12、A 属于特征值 的特征向量，即 A=，0 那么，A n = n 于是有 (A 4 -3A 3 +3A 2 -2A)=( 4 -3 3 +3 2 -2)=0 从而 4 -3 3 +3 2 -2=0，即 (-2)( 2 -+1)=0 因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵 A 的特征值只能是 2 或 0又因为实对称矩阵必可相似对角化，故 8.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 ，且 1 = （分数：3.00）解析： 解析 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交设属于 =-3 的特征向量 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 由于现在属于 =3 的特征向量
13、1 ， 2 不正交，故应 Schmidt 正交化处理 令 把 1 ， 2 ， 3 单位化，得 那么 9.已知 （分数：3.00）解析：-10 解析 先求矩阵 A 的特征值，由 知矩阵 A 的特征值是 1 =1， 2 = 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故 =2 必有两个线性无关的特征向量，那么秩 r(2E-A)=1 10.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均等于 2，且满足 A 2 +kA+6E=0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则参数 k= 1 （分数：3.00）解析：-5 解析 设矩阵 A 的特征值为 ，属于 的特征向量为 ，则 A=于是，有 (A 2
14、 +kA+6E)=( 2 +k+6)=0， 由于 0，故有 2 +k+6=0 (*) 又因为矩阵 A 的各行元素之和等于 2，从而 11.设 A 是 3 阶矩阵，向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，=(-1，2，-2) T 已知 =2 是矩阵 A 的一个特征值， 1 ， 2 是 A 的属于 =2 的特征向量，则 A= 1 （分数：3.00）解析：(-2，4，-4) T 解析 将向量 表示为 1 ， 2 的线性组合形式由于 12.已知矩阵 A 第一行 3 个元素分别是 3，-1，-2，又 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，0) T ， 3 =(1，0，1)
15、 T 是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A= 1 （分数：3.00）解析： 解析 设矩阵 A 的三个特征值依次为 1 ， 2 ， 3 ，则 利用第 1 行相乘，可知 1 =0，类似可知 2 = 3 =1，那么 A( 1 ， 2 ， 3 )=(0， 2 ， 3 ) 所以 13.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：3.00）解析：2 解析 二次型矩阵与标准形矩阵分别是 由 A，有 14.若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(ax 1 +2x 2 -3x 3 ) 2 +(x 2 -2x 3 ) 2 +(x 1 +ax 2 -x 3 ) 2 是正定二次型，则 a 的取值范围是 1 （分数：3
16、.00）解析：a1 且 a 解析 由题设条件知，对任意的 x 1 ，x 2 ，x 3 ，恒有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0，其中等号成立的充分必要条件是 而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 所以，当 a1 且 a 时， 二、选择题(总题数：8，分数：24.00)15.已知 （分数：3.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1 D.a=1 时，必有 r(B)=2解析：解析 易见若 a=-1 有 r(A)=1，而 a=1 时，r(A)=2，再由 AB=0 得到 r(A)+r(B)3 可见当 a=-1
17、时，秩 r(B)有可能为 1 也可能为 2，即 A、B 均不正确 而当 a=1 时，从 B0 知必有 r(B)=1，且 r(B)=2 是不可能的所以应选 C16.设矩阵 （分数：3.00）A.4B.5C.6 D.7解析：解析 方法一 由矩阵 B 的特征多项式 可得 B 的特征值为 1 =0， 2 =-2， 3 = 4 =3因为 AB，所以矩阵 A 与矩阵 B 有相同的特征值 又因为 B 是实对称矩阵，故 B 可相似于对角矩阵从而，矩阵 A 也可相似于对角矩阵所以，矩阵 A 属于2 重特征值 3 = 4 =3，必有 2 个线性无关的特征向量由此可知，r(3E-A)=n-2=4-2=2，即 r(A
18、-3E)=2又因为 =1 不是矩阵 A 的特征值，故知|E-A|0所以，r(E-A)=4，即 r(A-E)=4因此 r(A-E)+r(A-3E)=2+4=6故应选 C 方法二 因为 AB，所以 A-EB-EA-3EB-3E，于是 r(A-E)+r(A-3E)=r(B-E)+r(B-3E) 17.设向量组 1 =- 1 ， 2 =- 2 ， s =- s ，= 1 + 2 + s (s1)，则向量组的秩（分数：3.00）A.r(1，2，s)r(1，2，s)B.r(1，2，s)r(1，2，s)C.r(1，2，s)r(1，2，s，1，2，s)D.r(1，2，s)=r(1，2，s，1，2，s) 解析：
19、解析 显然，向量组 1 ， 2 ， s 可由 1 ， 2 ， s 线性表示由于 1 + 2 + s =s-( 1 + 2 + s )=(s-1)，从而解得 ( 1 + 2 + s )于是有 即向量组 1 ， 2 ， s 也可由 1 ， 2 ， s 线性表示因此，向量组 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s 等价故知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s )选项 A，B 均应排除 又因为向量组( 1 ， 2 ， s ) 18.设 1 =(1，-2，3，2) T ， 2 =(2，0，5，-2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=
20、0 的解向量的是 A. 1=(1，-3，3，3) T B. 2=(0，0，5，-2) T C. 3=(-1，-6，-1，10) T D. 4=(1，6，1，0) T（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 Ax=0 的基础解系为 1 ， 2 ，若 i 是 Ax=0 的解向量 i 可由 1 ， 2 线性表出 非齐次线性方程组 1 x 1 + 2 x 2 = i 有解逐个 i 判别较麻烦，合在一起作初等行变换判别方便 19.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，则 A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解 B.Ax=0 的解均是 A
21、*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解 D.Ax=0 与 A*x=0 仅有两个非零公共解（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，所以方程组 Ax=0 的基础解系中解向量个数 n-r(A)2，即 r(A)n-2，由此得知 A * =0任意 n 维列向量均是方程组 A * x=0 的解因此，方程组 Ax=0 的解均是 A * x=0 的解，选项 B 正确选项 A 显然不对 对于选项 C，D，由于方程组 Ax=0 的基础解系至少含有两个解向量，故 Ax=0 有无穷多个非零解，与 A * x=0 的公共解也是有无穷多个非
22、零解显然 C，D 不正确，故应选 B20.设 n 阶矩阵 A 的行列式|A|=a0(n2)， 是 A 的一个特征值，A * 为 A 的伴随矩阵，则 A * 的伴随矩阵(A * ) * 的一个特征值是 A. -1an-1 B. -1an-2 C.a n-2 D.a n-1（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由 AA * =|A|E 得 A * =|A|A -1 对 A * 应用此式，得 (A * ) * =|A * |(A * ) -1 =|A|A -1 |(|A|A -1 ) -1 =|A| n |A -1 |(|A| -1 A)=|A| n-2 A=a n-2 A 于是由 是 A
23、 的一个特征佰知a n-2 是(A * ) * 的一个特征值故选 C21.设 A 为 3 阶非零矩阵，且 A 2 =0，则 A 的线性无关的特征向量的个数为（分数：3.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析 由 A0 及 A 2 =0 2r(A)+r(A)3 22.已知 （分数：3.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 ，其中 P=( 1 ， 2 ， 3 ) 三、解答题(总题数：3，分数：34.00)23.解方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：对增广矩阵作初等行变换，有 若 a7， ，恒有 r(A)= =45，方程组有无穷多解，此时 x 5 是自由变
24、量 Ax=0 的基础解系是： Ax=b 的特解是： 故方程组的通解是 若 a=7，b1，则 r(A)=2， =3，方程组无解 若 a=7，b=1，则 r(A)= =25，方程组有无穷多解，此时 x 3 ，x 4 ，x 5 是自由变量方程组的通解是： 24.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由于 所以方程组化简为 对增广矩阵作初等行变换，有 当 a-1 时， ，方程组有无穷多解： ，其中 k 为任意常数 当 a=-1 时， 25.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 Ax= 的通解是(1，-2，0) T +k(2，1，1) T ，若B=( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )，求方程组 By=+ 3 的通解 （分数：12.00）_正确答案：()解析：解：由方程组 Ax= 的解的结构，知 即 1 -2 2 =，2 1 + 2 + 3 =0 且 n-r(A)=1，即 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 )=3-1=2那么 r(B)=r( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 -2 2 -5 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因此，4 元方程组 By=+ 3 的通解形式为：+k 1 1 +k 2 2 由 知 =(1，-2，1，0) T 是 By=+ 3 的解 又由
