1、考研数学三-283 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：10.00)1.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A 2 -AB=E，则 r(AB-BA+2A)= 1 （分数：1.50）2.设 （分数：1.50）3.已知 A 是 4 阶矩阵， 1 与 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，则 r(A * ) * )= 1. （分数：1.50）4.已知向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(-a，-1，2，3) T ， 3 =(1，2a-1，3，7) T ， 4 =(-1，-1，a-1，-1) T 的秩为 3，则 a= 1 （分数：1.50
2、）5.设 mn 矩阵 （分数：2.00）6.已知 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，其中 （分数：2.00）二、解答题(总题数：18，分数：90.00)7.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1 ， 2 ， t 是 Ax=0 的基础解系， 不是 Ax=0 的解证明任一 n 维向量均可由 1 ， 2 ， t ， 线性表出 （分数：5.00）_8.设向量组 () 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t ，如果()可由()线性表出，且秩 r()=r()，证明()与()等价 （分数：5.00）_已知 4 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，而 2 ， 3
3、 ， 4 ， 5 线性无关，（分数：5.01）(1).证明 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出；（分数：1.67）_(2).证明 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出；（分数：1.67）_(3).举例说明 2 能否由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出是不确定的（分数：1.67）_9.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，证明 =0 （分数：5.00）_10.已知向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，若 =l 1 1 +l 2 2 +l s s ， 其中至少有 l i 0，证明用 替换 i 后所得向量组 1
4、 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关 （分数：5.00）_11.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，若存在 i 使 A i = i ，i=1，2，t，证明向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关 （分数：5.00）_12.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， s 非零且两两正交，证明 1 ， 2 ， s 线性无关 （分数：5.00）_13.已知 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同的特征值， 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 分别是矩阵 A 属于特征值 1 和 2 的线性无关的特征向量证明： 1 ， 2 ， s ， 1
5、 ， 2 ， t 线性无关 （分数：5.00）_14.设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性 （分数：5.00）_15.试讨论 n 维向量 1 ， 2 ， s 的线性相关性，其中 （分数：5.00）_16.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由 1 ， 2 ， t 线性表出 （分数：5.00）_已知 1 ， 2 ， 3
6、是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明：（分数：5.00）(1). 1 ， 2 ， 3 中任何两个解向量均线性无关；（分数：2.50）_(2).如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关（分数：2.50）_17.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，已知 1 =(k-1) 1 ， 2 ， 3 ， 2 = 1 +(k+1) 2 + 3 ， 3 =- 1 -(1+k) 2 +(1-k) 3 试求向量组 1 ， 2 ， 3 的秩 r( 1 ， 2 ， 3 ) （分数：5.00）_18.已知向量组 （分数：5.00）_19.齐次方程组 （分数：5.00）_20.设
7、矩阵 （分数：5.00）_21.已知 A 是 34 矩阵，秩 r(A)=1，若 1 =(1，2，0，2) T ， 2 =(1，-1，a，5) T ， 3 =(2，a，-3，-5) T ， 4 =(-1，-1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程组 Ax=0 的任一解，求Ax=0 的基础解系 （分数：5.00）_22.已知 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，试判断 1 + 2 ， 2 + 3 ， t-1 + t ， t + 1 是否为 Ax=0 的基础解系，并说明理由 （分数：5.00）_考研数学三-283 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、填空
8、题(总题数：6，分数：10.00)1.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A 2 -AB=E，则 r(AB-BA+2A)= 1 （分数：1.50）解析：n 解析 由于 A(A-B)=E，且 A，A-B 均为 n 阶矩阵，故知 A 可逆且其逆是 A-B，那么 A(A-B)=(A-B)A=E 即有 A 2 -AB=A 2 -BA故 AB=BA 从而 r(AB-BA+2A)=r(2A)=r(A)=n2.设 （分数：1.50）解析： 解析 由于 故本题中 r(A * )=1 r(A)=3 因为 A 是实对称矩阵且矩阵 A 的特征值是 a+3b，a-b，a-b，a-b，因此 于是 r(A)=3 a+3b=
9、0，ab 由 由|A+E|=8，即(1-4b) 3 =8 得 由 a+3b=0 得 3.已知 A 是 4 阶矩阵， 1 与 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，则 r(A * ) * )= 1. （分数：1.50）解析：0 解析 因为 1 - 2 是齐次方程组 Ax=0 的非零解，故|A|=0 由于 4.已知向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(-a，-1，2，3) T ， 3 =(1，2a-1，3，7) T ， 4 =(-1，-1，a-1，-1) T 的秩为 3，则 a= 1 （分数：1.50）解析： 解析 对 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 如果
10、 a=1，则矩阵 A 转化为 那么 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3 3a 2 +a=2a+2，a1 5.设 mn 矩阵 （分数：2.00）解析：n-1 解析 对矩阵 A 作初等变换，由于 a i 0(i=1，2，m)，b j 0(j=1，2，n)，可得 6.已知 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，其中 （分数：2.00）解析：0 解析 因为 A 是 43 矩阵，基础解系中仅一个解向量，故 3-r(A)=1，即 r(A)=2 二、解答题(总题数：18，分数：90.00)7.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1 ， 2 ， t 是 Ax=0 的基础解系，
11、不是 Ax=0 的解证明任一 n 维向量均可由 1 ， 2 ， t ， 线性表出 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为矩阵 A 中各行元素对应成比例，故 r(A)=1，因此 t=n-1 若 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 +l=0， 用 A 左乘上式，并把 A i =0(i=1，2，n-1)代入，得 lA=0 由于 A0，故 l=0于是式为 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 =0 因为 1 ， 2 ， n-1 是基础解系，知 1 ， 2 ， n-1 线性无关 从而由知 k 1 =0，k 2 =0，k n-1 =0 因此 1 ， 2 ， n-1 ， 线
12、性无关 对任一 n 维向量 ，由于任意 n+1 个 n 维向量 1 ， 2 ， n-1 ， 必线性相关，那么 必可由 1 ， n-1 ， 线性表出8.设向量组 () 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t ，如果()可由()线性表出，且秩 r()=r()，证明()与()等价 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 设秩 r()=r()=r，()的极大线性无关组为： i1 ， i2 ， ir 因为()可由()线性表出，那么 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )=r( 1 ， 2 ， t )=r 所以 i1 ， i2 ， ir ，是向量组 1 ， 2 ， s
13、， 1 ， 2 ， t 的一个极大线性无关组 从而卢 1 ， 2 ， t 可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出，即 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， s 线性表出 方法二 只用证明 r(，)=r，因为()可由()线性表示，所以 r(，)=r()=r已知 4 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关，（分数：5.01）(1).证明 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出；（分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 由 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关，可知 2 ， 3 ， 4 线性无关，又因 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所
14、以 1 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 或者，由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关知有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0， 那么必有 k 1 0(否则有 k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 而 k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，于是 2 ， 3 ， 4 线性相关，这与 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关相矛盾)从而 (2).证明 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出；（分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 如果 5 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +
15、k 4 4 ，由第一小题可设 1 =l 2 2 +l 3 3 +l 4 4 ，那么 5 =(k 1 l 2 +k 2 ) 2 +(k 1 l 3 +k 3 ) 3 +(k 1 l 4 +k 4 ) 4 ， 这与 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关相矛盾，从而 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出(3).举例说明 2 能否由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出是不确定的（分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 设 2 =(1，0，0，0) T ， 3 =(0，1，0，0) T ， 4 =(0，0，1，0) T ， 5 =(0，0，0，1) T ，那么 当 1 =(1，1，1，
16、0) T 时， 2 可由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出； 而当 1 =3 时， 2 不能由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出9.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，证明 =0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证法一 因为 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，故可设 =x 1 1 +x 2 2 ， = y 2 2 +y 3 3 ， =z 1 1 +z 3 3 ， -：x 1 1 +(x 2 -y 2 ) 2 -y 3 3 =0， -：(x 1 -z 1 ) 1 +x 2 2 -z 3 3
17、=0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 x 1 =0，x 2 -y 2 =0，y 3 =0，x 1 -z 1 =0，x 2 =0，z 3 =0 从而 x 1 =x 2 =y 2 =y 3 =z 1 =z 3 =0 故 =0 证法二 用反证法如果 0，设 =c 1 1 +c 2 2 ，c 1 ，c 2 不能全为 0，不妨设 c 1 0，则 1 = 10.已知向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，若 =l 1 1 +l 2 2 +l s s ， 其中至少有 l i 0，证明用 替换 i 后所得向量组 1 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证法
18、一 (用定义)如果 k 1 1 +k i-1 i-1 +k+k i+1 i+1 +k s s =0，将已知条件 =l 1 1 +l s s 代入，并整理有 (k+kl) 1 +(k 2 +kl 2 ) 2 +(k i-1 +kl i-1 ) i-1 +kl i i +(k i+1 +kl i+1 ) i+1 +(k s +kl s ) s =0 由于已知向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，故必有 由于 l i 0，kl i =0 知 k=0，进而知必有 k 1 =0，k 2 =0，k s =0 所以向量组 1 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关 证法二 (用秩)由于 1 ， i-1 ，
19、 i+1 ， s 可用 1 ， 2 ， s 线性表出，用矩阵表示有 ( 1 ， i-1 ， i+1 ， s )=( 1 ， 2 ， s )C， 其中 记 A=( 1 ， i-1 ， i+1 ， s )，B=( 1 ， 2 ， s )，即 A=BC，因为 l i 0，C 是 s 阶可逆矩阵，故 r(A)=r(BC)=r(B)=r(B)=r( 1 ， s )=s 所以向量组 1 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关 证法三 (用等价向量组)令() 1 ， 2 ， s 与() 1 ， i-1 ， i+1 ， s 由于 1 ， i-1 ， i+1 ， s ()，且已知 =l i i ，所以向量组(
20、)可以由向量组()线性表出 又因 l i 0，有 i = 11.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，若存在 i 使 A i = i ，i=1，2，t，证明向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 (定义法，同乘)如果 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l t t =0， 用 A 左乘上式，并把 A i =0，A i = i ，i=1，2，t 代入，得 l 1 1 +l 2 2 +l t t =0 因为 1 ， 2 ， t 是 Ax=0 的基础解系，
21、它们线性无关，故对必有 l 1 =0，l 2 =0， ，l t =0 代入式，有 k 1 1 +k 2 2 +k t t =0 所以必有 k 1=0，k 2 =0，k t =0即向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关12.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， s 非零且两两正交，证明 1 ， 2 ， s 线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 (定义法，同乘)若 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，用 左乘上式，得 由于 1 与 2 ， s 均正交，有 =0(i=2，s) 从而 13.已知 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同的特征值， 1 ， 2 ，
22、 s 和 1 ， 2 ， t 分别是矩阵 A 属于特征值 1 和 2 的线性无关的特征向量证明： 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 按特征值定义，有 A i = i i (i=1，2，s)，A j = 2 j (j=1，2，t) 如果 k 1 1 +k 2 2 +k s s +l 1 1 +l 2 2 +l t t =0， (1) 用 A 左乘(1)式两端，有 1 k 1 1 + 1 k 2 2 + 1 k s s + 2 l 1 1 + 2 l 2 2 + 2 l t t =0 (2) 由(1) 1 -(2)得 ( 1 - 2
23、 )(l 1 1 +l 2 2 +l t t )=0 因为 1 2 ，故 l 1 1 +l 2 2 +l t t =0 由于 1 ， 2 ， t 线性无关，故必有 l 1 =0，l 2 =0，l t =0 同理可证 k 1 =0，k 2 =0，k s =0 从而 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关14.设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因经初等行变换由 A 可得到 B，故存在初等矩阵 P 1 P 1 ，P 2 ，P s 使 P s P 2
24、 P 1 A=B 对矩阵 A，B 按列分块，并记 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，P=P s P 2 P 1 ， 则有 P( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) 于是 P i = i (i=1，2，n) 15.试讨论 n 维向量 1 ， 2 ， s 的线性相关性，其中 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：若 a i =a j ，则向量组中有相等的向量，必线性相关下设 a 1 ，a 2 ，a s 互不相同，则 ()若 sn，则 1 ， 2 ， s 必线性相关 ()若 s=n，则因| 1 ， 2 ， n |= (a i -a j )0，必有
25、1 ， 2 ， n 线性无关 ()若 sn，令 16.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由 1 ， 2 ， t 线性表出 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 必要性因为 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关，故存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l t 使得 k 1 2 +k 2 2 +k s s +l 1 1 +l 2 2 +l t t =0，
26、令 =k 1 1 +k 2 2 +k s s =-l 1 1 -l 2 2 -l t t ， 则必有 0否则 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 且-l 1 1 -l 2 2 -l t t =0 由于 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 均线性无关，故 k 1 =k 2 =k s =0，l 1 =l 2 =l t =0，这与 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l t 不全为 0 相矛盾从而有非 0 的 ，它既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由 1 ， 2 ， t 线性表出 充分性由于有非 0 的 使 =x 1 1 +x 2 2 +x s s 且 =y
27、1 1 +y 2 2 +y t t ， 那么 x 1 ，x 2 ，x s 与 y 1 ，y 2 ，y t 必不全为 0从而 x 1 1 +x 2 2 +x s s -y 1 1 -y 2 2 -y t t =0， 即 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明：（分数：5.00）(1). 1 ， 2 ， 3 中任何两个解向量均线性无关；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 (反证法)如果 1 ， 2 线性相关，不妨设 2 =k 1 ，那么 A 2 =A(k 1 )=kA 1 =kb 又 A 2 =b，于是 k=
28、1，与 1 ， 2 不同相矛盾(2).如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 使 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，那么 (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 =k 2 ( 1 - 2 )+k 3 ( 1 - 3 ) 由于 1 是非齐次方程组 Ax=b 的解，而 1 - 2 ， 1 - 3 是齐次方程组 Ax=0 的解， 1 不能由 1 - 2 ， 1 - 3 线性表出，故必有 k 1 +k 2 +k 3 =0，那么
29、k 2 ( 1 - 2 )+k 3 ( 1 - 3 )=0 此时 k 2 ，k 3 不全为 0(否则亦有 k 1 =0，与 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为 0 相矛盾)，故 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关17.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，已知 1 =(k-1) 1 ， 2 ， 3 ， 2 = 1 +(k+1) 2 + 3 ， 3 =- 1 -(1+k) 2 +(1-k) 3 试求向量组 1 ， 2 ， 3 的秩 r( 1 ， 2 ， 3 ) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设有一组数 1 ， 2 ， 3 ，使得 1 1 + 2 2 + 3 3 =0，即 1 (
30、k-1) 1 + 2 + 3 + 2 1 +(k+1) 2 + 3 + 3 - 1 -(1+k) 2 +(1-k) 3 =0， 经整理得 (k-1) 1 + 2 - 3 1 + 1 +(k+1) 2 -(1+k) 3 2 + 1 + 2 +(1-k) 3 3 =0 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，则有线性方程组 其系数行列式 当 k2 且 k 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关，r( 1 ， 2 ， 3 )=3 当 k=2 时，则有 容易判定，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关由此可知，r( 1 ， 2 ， 3 )=2 同样，可以判定向量组 1 ， 2 ， 3 线
31、性相关， 2 ， 3 线性无关从而，r( 1 ， 2 ， 3 )=2 同理可得，当 k= 时，r( 1 ， 2 ， 3 )=2 所以，当 k2 且 k 时，r( 1 ， 2 ， 3 )=3；当 k=2 或 k= 18.已知向量组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 因为 1 ， 2 线性无关，而 3 =3 1 +2 2 ，所以秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2因此 r( 1 ， 2 ， 3 )=2从而 又因 3 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出，那么 3 必可用极大线性无关组 1 ， 2 线性表出于是方程组 x 1 1 +x 2= 3 有解由 故 b=5，a=15 解法二 因
32、为 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解 对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 3 )作初等行变换 19.齐次方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对系数矩阵高斯消元，有 由于 r(A)=3，基础解系由 n-r(A)=2 个解向量构成因为行列式 故可取 x 2 ，x 5 作为自由变量移项得 令 x 2 =1，x 5 =0，得 1 =(1，1，0，0，0) T ； 令 x 2 =0，x 5 =1，得 20.设矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由题设知，齐次线性方程组 Ax=0 是一个 4 元线性方程组，由于基础解系中含有 2 个线性无关的解向量，故 4-r(A)=2，即 r(A)=2对系数矩阵 A 作初等行变换，得 要使 r(A)=2，必有 t=1此时，原方程组的同解方程组为 21.已知
