1、考研数学三-282 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：32.00)1.设 （分数：2.00）2.设 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：2.00）3.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A=( 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 )，B=( 3 ， 2 ， 1 )，C=( 1 +2 2 ，2 2 +3 4 ， 4 +3 1 )，若|B|=-5，|C|=40，则|A|= 1 （分数：2.00）4.设 A，B 均为 n 阶正交矩阵，且|A|+|B|=0，则|A+B|= 1 （分数：2.00）5.知 3 阶矩阵 A 的特征值
2、为 1，-1，2，又 B=A 3 -5A 2 ，则|B+4E|= 1 （分数：2.00）6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，若秩 r(A)=r，则行列式|A+3E|= 1 （分数：2.00）7.若矩阵 （分数：2.00）8.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 （分数：2.00）9.已知矩阵 （分数：2.00）10.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且 AB=B -1 A -1 ，则 r(E+AB)+r(E-AB)= 1 （分数：2.00）11.设 （分数：2.00）12.已知 （分数：2.00）13.已知矩阵 （分数：2.00）14.设矩阵 A
3、的伴随矩阵 ，且矩阵 A，B 满足 （分数：2.00）15.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）16.已知 =(0，2，-1，a) T 可以由 1 =(1，-2，3，+4) T ， 2 =(0，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，a，1) T 线性表出，则 a= 1 （分数：2.00）二、解答题(总题数：8，分数：68.00)(1).设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A 2 +A=0，B 2 +B=0，证明 =-1 必是矩阵 A 与 B 的特征值；（分数：4.00）_(2).若 AB=BA=0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分
4、数：4.00）_17.设 2，2，1 是 3 阶矩阵 A 的特征值，对应的特征向量依次为 （分数：8.00）_18.设 （分数：8.00）_19.已知 A=-E+ T ，其中 （分数：8.00）_设 A 是 n 阶反对称矩阵，（分数：9.00）(1).证明对任何 n 维列向量 ，恒有 T A=0；（分数：4.50）_(2).设 A 还是实矩阵证明对任何非零实数 c，矩阵 A+cE 恒可逆（分数：4.50）_20.设 是 n 维列向量，已知 T =1，n 阶矩阵 A=E- T ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明矩阵 A 不可逆 （分数：9.00）_21.已知向量组() 1 =(1，3，0，5)
5、 T ， 2 =(1，2，1，4) T ， 3 =(1，1，2，3) T 与向量组() 1 =(1，-3，6，-1) T ， 2 =(a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值 （分数：9.00）_22.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ， 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，证明 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示方法唯一 （分数：9.00）_考研数学三-282 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：32.00)1.设 （分数：2.00）解析：6 解析 分析一 由于|2A -1 +E|=|A -1 (2E+A)|=|A
6、-1 |2E+A|， 因为|A|=24，故 又 从而|2A -1 +E|=6 分析二 由 A 是上三角矩阵易知矩阵 A 的特征值是 1，4，6，那么 A -1 的特征值是 1， ；2A -1 的特征值是 2， ；2A -1 +E 的特征值是 3， 从而 2.设 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：2.00）解析：256 解析 由 ，(kA) * =k n-1 A * 及 A * =|A|A -1 ，有 3.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A=( 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 )，B=( 3 ， 2 ， 1 )，C=( 1 +2 2 ，2 2 +3 4 ， 4
7、+3 1 )，若|B|=-5，|C|=40，则|A|= 1 （分数：2.00）解析：8 解析 根据行列式的性质，有 |A|=| 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 |=| 1 ， 2 ，2 3 - 4 |=| 1 ， 2 ，2 3 |-| 1 ， 2 ， 4 |=-2| 3 ， 2 ， 1 |-| 1 ， 2 ， 4 |=10-| 1 ， 2 ， 4 | 由于 C=( 1 +2 2 ，2 2 +3 4 ， 4 +3 1 )=( 1 ， 2 ， 4 ) ， (*) 两边取行列式，有 4.设 A，B 均为 n 阶正交矩阵，且|A|+|B|=0，则|A+B|= 1 （分数：2.00）解析：0 解析
8、 因为 A，B 均是 n 阶正交矩阵，于是 AA T =A T A=EBB T =B T B=E 所以 A+B=AE+EB=AB T B+AA T B=A(A T +B T )B 两边同时取行列式，得 |A+B|=|A|A T +B T |B|=|A|(A+B) T |B|=|A|A+B|B|=|A|B|A+B|， 即|A+B|(1-|A|B|)=0 (*) 又因为 AA T =E，|A|+|B|=0，故有|A|A|=1，|A|=-|B|从而有 |A|(-|B|)=-|A|B|=1，即|A|B|=-1 代入(*)得 2|A+B|=0，即|A+B|=05.知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1
9、，2，又 B=A 3 -5A 2 ，则|B+4E|= 1 （分数：2.00）解析：0 解析 设矩阵 A 的特征值是 ，容易导出，矩阵 B=A 3 -5A 2 的特征值为 3 -5 2 由于A 的特征值为 1，-1，2，则矩阵 B 的特征值分别是 1 3 -51 2 =-4，(-1) 3 -5(-1) 2 =-6，2 3 -52 2 =-12 同样，设矩阵 B 的特征值为 ，则矩阵 B+4E 的特征值为 +4于是，矩阵 B+4E 的特征值分别为 0，-2，-8因为矩阵 B+4E 有 3 个相异的特征值，故存在可逆矩阵 P，使得 6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2
10、 +2A=0，若秩 r(A)=r，则行列式|A+3E|= 1 （分数：2.00）解析：3 n-r 解析 由 A 是实对称矩阵知 A 必可相似对角化，而当 AA 时，A 由 A 的 n 个特征值所构成只要能求出对角矩阵 A，根据|A|= i 就可以求出行列式|A+3E|的值 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 A=(0)，则 A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，A 4 = 4 于是( 4 +2 3 + 2 +2)=0，0 即有 4 +2 3 + 2 +2=(+2)( 2 +1)=0 因为实对称矩阵的特征值必是实数，故 A 的特征值取自-2 与 0那么由 r(A)=r，得
11、到 7.若矩阵 （分数：2.00）解析：3 解析 由 B0 知齐次方程组 Ax=0 有非零解，从而 r(A)3(或者从 r(A)+r(B)3，r(B)1，亦可知 r(A)3)那么对 A 作初等变换有 8.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 （分数：2.00）解析：4 解析 由 AB=0 知 r(A)+r(B)3，又因 r(B)=2，矩阵 A 非零，得到 r(A)=1 由 AB=0 我们还知矩阵 B 的列向量是 Ax=0 的解，所以由 知 =0 是矩阵 A 的特征值，(1，4，7) T ，(2，5，8) T 是 =0 的 2 个线性无关的特征向量由 A+3E不可逆，知 =-3 是矩阵 A 的特
12、征值那么矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量从而 进而 9.已知矩阵 （分数：2.00）解析：k 1 (1，0，1) T +k 2 (1，2，-2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数 解析 因为齐次方程组 Ax=0有非零解，故 10.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且 AB=B -1 A -1 ，则 r(E+AB)+r(E-AB)= 1 （分数：2.00）解析：n 解析 由于 AB=B -1 A -1 ，有(AB) 2 =E，即(E+AB)(E-AB)=0，从而得 r(E-AB)+r(E+AB)n 又因 r(A+B)r(A)+r(B)，知 r(E-AB)+r(E+AB)r(E-AB
13、)+(E+AB)=r(2E)=n 联立，得：r(E+AB)+r(E-AB)=n11.设 （分数：2.00）解析： 解析 由 BA=0，有 r(A)+r(B)3，又因 r(B)1，故 r(A)3-r(B)1而由题设知 推知 a=-2，b=-3，c=-2 即 那么 从而 12.已知 （分数：2.00）解析： 解析 化简矩阵方程 XA-AXA=AB-ABA，得(E-A)XA=AB(E-A) 因为 A，E-A 均可逆，故 X=(E-A) -1 AB(E-A)A -1 =(A -1 -E) -1 B(A -1 -E) 那么 X 3 =(A -1 -E) -1 B 3 (A -1 -E) 因为秩 r(B)
14、=1，有 B 2 =2B从而得 B 3 =2 2 B=4B于是 13.已知矩阵 （分数：2.00）解析： 解析 由 X(X+Y)=E，知 X+Y=X -1 ，于是 Y=X -1 -X由 A(X+Y)B=E 有 AX -1 B=E，于是X=BA那么 从而 所以 14.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且矩阵 A，B 满足 （分数：2.00）解析： 解析 由 ，知|A|=2由于 =2A -1 ，(2A -1 ) * =2 3 (A -1 ) * = ，故矩阵方程为 4ABA -1 =2AB+12E 上式左乘 A * ，有 2BA -1 -B=3A * ，即 B(A * -E)=3A * 那么 15.已知
15、ABC=D，其中 （分数：2.00）解析： 解析 由于矩阵 C 可逆，右乘 C -1 有 因为|A|=0，又因矩阵 B 的第 3 行元素是 1，2，3，故可设 ，则由 得到 解出 所以矩阵 16.已知 =(0，2，-1，a) T 可以由 1 =(1，-2，3，+4) T ， 2 =(0，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，a，1) T 线性表出，则 a= 1 （分数：2.00）解析：2 解析 设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，对( 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 当 a2 时 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 二、解答题(总题数：8，分数：68.0
16、0)(1).设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A 2 +A=0，B 2 +B=0，证明 =-1 必是矩阵 A 与 B 的特征值；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为(E+A)A=0，A0，知齐次方程组(E+A)x=0 有非零解，即行列式|E+A|=0，所以 =-1必是矩阵 A 的特征值同理 =-1 也必是矩阵 B 的特征值 类似地，由 AB=0，B0，知行列式|A|=0，所以 =0 必是矩阵 A 的特征值，同理 =0 也必是矩阵 B 的特征值(2).若 AB=BA=0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：4.00）_正确答
17、案：()解析：证明 对于 A=-，用矩阵 B 左乘等式的两端有 BA=-B，又因 BA=0，故 B=0=0即 是矩阵 B 属于特征值 =0 的特征向量 那么， 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量，因而 ， 线性无关17.设 2，2，1 是 3 阶矩阵 A 的特征值，对应的特征向量依次为 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解：按特征值特征向量的定义有 A 1 =2 1 ，A 2 =2 2 ，A 3 = 3 用分块矩阵表示，得到 A( 1 ， 2 ， 3 )=(2 1 ，2 2 ， 3 ) 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，矩阵( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A=(2 1 ，2 2
18、 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) -1 由于矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化，有 得到 A=PP -1 归纳地 A n =P n P -1 18.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解：设 ，由 对 =t，由(E-B)x=0， ，得特征向量 1 =(1，1) T ； 对 =-1，由(-E-B)x=0， ，得特征向量 2 =(2，1) T 那么令 P=( 1 ， 2 )有 ，从而 P -1 B n P= n 由于 又 故 解析 对于分块矩阵 ，有 ，故可分别求出 19.已知 A=-E+ T ，其中 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 (用特
19、征值、用定义)记 B= T ，则 A=-E+B而 由于 r(B)=1， T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =3，故 |E-B|= 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 = 3 -3 2 所以矩阵 B 的特征值是 3，0，0 那么，矩阵 A 的特征值是 2，-1，-1，故 A 可逆 因为 T = T =3，有 B 2 =( T )( T )=( T ) T =3B 于是(A+E) 2 =3(A+E)，即 A 2 -A=2E，亦即 A (A-E)=E 所以 设 A 是 n 阶反对称矩阵，（分数：9.00）(1).证明对任何 n 维列向量 ，恒有
20、 T A=0；（分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 因为 T A 是 11 矩阵，是一个数，故 T A=( T A) T = T A T ( T ) T =- T A 所以恒有 T A=0(2).设 A 还是实矩阵证明对任何非零实数 c，矩阵 A+cE 恒可逆（分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 (反证法)如果矩阵 A+cE 不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0 有非零实解，设其为 ，则 A=-c，0 左乘 T ，得 T A=-c T 0 与(1)矛盾故矩阵 A+cE 恒可逆20.设 是 n 维列向量，已知 T =1，n 阶矩阵 A=E- T ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，
21、证明矩阵 A 不可逆 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证法一 由于 A=E- T ， T =1，故有 A 2 =(E- T ) 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +( T )( T )=E-2 T +( T ) T =E-2 T + T =E- T =A 设 n 维列向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 由 21.已知向量组() 1 =(1，3，0，5) T ， 2 =(1，2，1，4) T ， 3 =(1，1，2，3) T 与向量组() 1 =(1，-3，6，-1) T ， 2 =(a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值 （分数：9.00）_正确答案：()
22、解析：解：方法一 由于- 1 +2 2 = 3 ，只需考察 1 ， 2 与 1 ， 2 的互相线性表出问题 方程组 x 1 1 +x 2 2 = 2 有解 b-3a=0，2-2a=0 a=1，b=3 即()可由()线性表出的充要条件是 a=1，b=3 反之，当 a=1，b=3 时， 方程组 x 1 1 +x 2 2 = 1 与 x 1 1 +x 2 2 = 2 均有解，说明()可由()线性表出，所以()与()等价时，a=1，b=3 方法二 ()与()等价的充分必要条件是 r()=r()=r()，()，本题中 r()=r()=2，只用使 r()，()=2，它们就等价 22.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ， 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，证明 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示方法唯一 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 因为 1 ， 2 ， s ， 线性相关，故存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，k 使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s +k=0， 那么必有 k0(否则 k 1 ，k 2 ，k s 不全为 0，而 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，这与 1 ， 2 ， s 线性无关相矛盾)从而
