1、考研数学三-282 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:16,分数:32.00)1.设 (分数:2.00)2.设 A 是 3 阶矩阵且 ,则 (分数:2.00)3.已知 1 , 2 , 3 , 4 是 3 维列向量,矩阵 A=( 1 , 2 ,2 3 - 4 + 2 ),B=( 3 , 2 , 1 ),C=( 1 +2 2 ,2 2 +3 4 , 4 +3 1 ),若|B|=-5,|C|=40,则|A|= 1 (分数:2.00)4.设 A,B 均为 n 阶正交矩阵,且|A|+|B|=0,则|A+B|= 1 (分数:2.00)5.知 3 阶矩阵 A 的特征值
2、为 1,-1,2,又 B=A 3 -5A 2 ,则|B+4E|= 1 (分数:2.00)6.设 A 是 n 阶实对称矩阵,满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0,若秩 r(A)=r,则行列式|A+3E|= 1 (分数:2.00)7.若矩阵 (分数:2.00)8.已知 A 是 3 阶非零矩阵,若矩阵 (分数:2.00)9.已知矩阵 (分数:2.00)10.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,且 AB=B -1 A -1 ,则 r(E+AB)+r(E-AB)= 1 (分数:2.00)11.设 (分数:2.00)12.已知 (分数:2.00)13.已知矩阵 (分数:2.00)14.设矩阵 A
3、的伴随矩阵 ,且矩阵 A,B 满足 (分数:2.00)15.已知 ABC=D,其中 (分数:2.00)16.已知 =(0,2,-1,a) T 可以由 1 =(1,-2,3,+4) T , 2 =(0,1,-1,1) T , 3 =(1,3,a,1) T 线性表出,则 a= 1 (分数:2.00)二、解答题(总题数:8,分数:68.00)(1).设 A,B 均为 n 阶非零矩阵,且 A 2 +A=0,B 2 +B=0,证明 =-1 必是矩阵 A 与 B 的特征值;(分数:4.00)_(2).若 AB=BA=0, 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量,证明向量组 , 线性无关(分
4、数:4.00)_17.设 2,2,1 是 3 阶矩阵 A 的特征值,对应的特征向量依次为 (分数:8.00)_18.设 (分数:8.00)_19.已知 A=-E+ T ,其中 (分数:8.00)_设 A 是 n 阶反对称矩阵,(分数:9.00)(1).证明对任何 n 维列向量 ,恒有 T A=0;(分数:4.50)_(2).设 A 还是实矩阵证明对任何非零实数 c,矩阵 A+cE 恒可逆(分数:4.50)_20.设 是 n 维列向量,已知 T =1,n 阶矩阵 A=E- T ,其中 E 为 n 阶单位矩阵,证明矩阵 A 不可逆 (分数:9.00)_21.已知向量组() 1 =(1,3,0,5)
5、 T , 2 =(1,2,1,4) T , 3 =(1,1,2,3) T 与向量组() 1 =(1,-3,6,-1) T , 2 =(a,0,b,2) T 等价,求 a,b 的值 (分数:9.00)_22.设 n 维向量 1 , 2 , s , 线性无关,而 1 , 2 , s , 线性相关,证明 可以由 1 , 2 , s 线性表出,且表示方法唯一 (分数:9.00)_考研数学三-282 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:16,分数:32.00)1.设 (分数:2.00)解析:6 解析 分析一 由于|2A -1 +E|=|A -1 (2E+A)|=|A
6、-1 |2E+A|, 因为|A|=24,故 又 从而|2A -1 +E|=6 分析二 由 A 是上三角矩阵易知矩阵 A 的特征值是 1,4,6,那么 A -1 的特征值是 1, ;2A -1 的特征值是 2, ;2A -1 +E 的特征值是 3, 从而 2.设 A 是 3 阶矩阵且 ,则 (分数:2.00)解析:256 解析 由 ,(kA) * =k n-1 A * 及 A * =|A|A -1 ,有 3.已知 1 , 2 , 3 , 4 是 3 维列向量,矩阵 A=( 1 , 2 ,2 3 - 4 + 2 ),B=( 3 , 2 , 1 ),C=( 1 +2 2 ,2 2 +3 4 , 4
7、+3 1 ),若|B|=-5,|C|=40,则|A|= 1 (分数:2.00)解析:8 解析 根据行列式的性质,有 |A|=| 1 , 2 ,2 3 - 4 + 2 |=| 1 , 2 ,2 3 - 4 |=| 1 , 2 ,2 3 |-| 1 , 2 , 4 |=-2| 3 , 2 , 1 |-| 1 , 2 , 4 |=10-| 1 , 2 , 4 | 由于 C=( 1 +2 2 ,2 2 +3 4 , 4 +3 1 )=( 1 , 2 , 4 ) , (*) 两边取行列式,有 4.设 A,B 均为 n 阶正交矩阵,且|A|+|B|=0,则|A+B|= 1 (分数:2.00)解析:0 解析
8、 因为 A,B 均是 n 阶正交矩阵,于是 AA T =A T A=EBB T =B T B=E 所以 A+B=AE+EB=AB T B+AA T B=A(A T +B T )B 两边同时取行列式,得 |A+B|=|A|A T +B T |B|=|A|(A+B) T |B|=|A|A+B|B|=|A|B|A+B|, 即|A+B|(1-|A|B|)=0 (*) 又因为 AA T =E,|A|+|B|=0,故有|A|A|=1,|A|=-|B|从而有 |A|(-|B|)=-|A|B|=1,即|A|B|=-1 代入(*)得 2|A+B|=0,即|A+B|=05.知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,-1
9、,2,又 B=A 3 -5A 2 ,则|B+4E|= 1 (分数:2.00)解析:0 解析 设矩阵 A 的特征值是 ,容易导出,矩阵 B=A 3 -5A 2 的特征值为 3 -5 2 由于A 的特征值为 1,-1,2,则矩阵 B 的特征值分别是 1 3 -51 2 =-4,(-1) 3 -5(-1) 2 =-6,2 3 -52 2 =-12 同样,设矩阵 B 的特征值为 ,则矩阵 B+4E 的特征值为 +4于是,矩阵 B+4E 的特征值分别为 0,-2,-8因为矩阵 B+4E 有 3 个相异的特征值,故存在可逆矩阵 P,使得 6.设 A 是 n 阶实对称矩阵,满足 A 4 +2A 3 +A 2
10、 +2A=0,若秩 r(A)=r,则行列式|A+3E|= 1 (分数:2.00)解析:3 n-r 解析 由 A 是实对称矩阵知 A 必可相似对角化,而当 AA 时,A 由 A 的 n 个特征值所构成只要能求出对角矩阵 A,根据|A|= i 就可以求出行列式|A+3E|的值 设 是矩阵 A 的任一特征值, 是属于特征值 的特征向量,即 A=(0),则 A 2 = 2 ,A 3 = 3 ,A 4 = 4 于是( 4 +2 3 + 2 +2)=0,0 即有 4 +2 3 + 2 +2=(+2)( 2 +1)=0 因为实对称矩阵的特征值必是实数,故 A 的特征值取自-2 与 0那么由 r(A)=r,得
11、到 7.若矩阵 (分数:2.00)解析:3 解析 由 B0 知齐次方程组 Ax=0 有非零解,从而 r(A)3(或者从 r(A)+r(B)3,r(B)1,亦可知 r(A)3)那么对 A 作初等变换有 8.已知 A 是 3 阶非零矩阵,若矩阵 (分数:2.00)解析:4 解析 由 AB=0 知 r(A)+r(B)3,又因 r(B)=2,矩阵 A 非零,得到 r(A)=1 由 AB=0 我们还知矩阵 B 的列向量是 Ax=0 的解,所以由 知 =0 是矩阵 A 的特征值,(1,4,7) T ,(2,5,8) T 是 =0 的 2 个线性无关的特征向量由 A+3E不可逆,知 =-3 是矩阵 A 的特
12、征值那么矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量从而 进而 9.已知矩阵 (分数:2.00)解析:k 1 (1,0,1) T +k 2 (1,2,-2) T ,其中 k 1 ,k 2 为任意常数 解析 因为齐次方程组 Ax=0有非零解,故 10.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,且 AB=B -1 A -1 ,则 r(E+AB)+r(E-AB)= 1 (分数:2.00)解析:n 解析 由于 AB=B -1 A -1 ,有(AB) 2 =E,即(E+AB)(E-AB)=0,从而得 r(E-AB)+r(E+AB)n 又因 r(A+B)r(A)+r(B),知 r(E-AB)+r(E+AB)r(E-AB
13、)+(E+AB)=r(2E)=n 联立,得:r(E+AB)+r(E-AB)=n11.设 (分数:2.00)解析: 解析 由 BA=0,有 r(A)+r(B)3,又因 r(B)1,故 r(A)3-r(B)1而由题设知 推知 a=-2,b=-3,c=-2 即 那么 从而 12.已知 (分数:2.00)解析: 解析 化简矩阵方程 XA-AXA=AB-ABA,得(E-A)XA=AB(E-A) 因为 A,E-A 均可逆,故 X=(E-A) -1 AB(E-A)A -1 =(A -1 -E) -1 B(A -1 -E) 那么 X 3 =(A -1 -E) -1 B 3 (A -1 -E) 因为秩 r(B)
14、=1,有 B 2 =2B从而得 B 3 =2 2 B=4B于是 13.已知矩阵 (分数:2.00)解析: 解析 由 X(X+Y)=E,知 X+Y=X -1 ,于是 Y=X -1 -X由 A(X+Y)B=E 有 AX -1 B=E,于是X=BA那么 从而 所以 14.设矩阵 A 的伴随矩阵 ,且矩阵 A,B 满足 (分数:2.00)解析: 解析 由 ,知|A|=2由于 =2A -1 ,(2A -1 ) * =2 3 (A -1 ) * = ,故矩阵方程为 4ABA -1 =2AB+12E 上式左乘 A * ,有 2BA -1 -B=3A * ,即 B(A * -E)=3A * 那么 15.已知
15、ABC=D,其中 (分数:2.00)解析: 解析 由于矩阵 C 可逆,右乘 C -1 有 因为|A|=0,又因矩阵 B 的第 3 行元素是 1,2,3,故可设 ,则由 得到 解出 所以矩阵 16.已知 =(0,2,-1,a) T 可以由 1 =(1,-2,3,+4) T , 2 =(0,1,-1,1) T , 3 =(1,3,a,1) T 线性表出,则 a= 1 (分数:2.00)解析:2 解析 设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =,对( 1 , 2 , 3 )作初等行变换,有 当 a2 时 r( 1 , 2 , 3 )r( 1 , 2 , 3 二、解答题(总题数:8,分数:68.0
16、0)(1).设 A,B 均为 n 阶非零矩阵,且 A 2 +A=0,B 2 +B=0,证明 =-1 必是矩阵 A 与 B 的特征值;(分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 因为(E+A)A=0,A0,知齐次方程组(E+A)x=0 有非零解,即行列式|E+A|=0,所以 =-1必是矩阵 A 的特征值同理 =-1 也必是矩阵 B 的特征值 类似地,由 AB=0,B0,知行列式|A|=0,所以 =0 必是矩阵 A 的特征值,同理 =0 也必是矩阵 B 的特征值(2).若 AB=BA=0, 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量,证明向量组 , 线性无关(分数:4.00)_正确答
17、案:()解析:证明 对于 A=-,用矩阵 B 左乘等式的两端有 BA=-B,又因 BA=0,故 B=0=0即 是矩阵 B 属于特征值 =0 的特征向量 那么, 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量,因而 , 线性无关17.设 2,2,1 是 3 阶矩阵 A 的特征值,对应的特征向量依次为 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解:按特征值特征向量的定义有 A 1 =2 1 ,A 2 =2 2 ,A 3 = 3 用分块矩阵表示,得到 A( 1 , 2 , 3 )=(2 1 ,2 2 , 3 ) 因为 1 , 2 , 3 线性无关,矩阵( 1 , 2 , 3 )可逆,故 A=(2 1 ,2 2
18、 , 3 )( 1 , 2 , 3 ) -1 由于矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量,矩阵 A 可以相似对角化,有 得到 A=PP -1 归纳地 A n =P n P -1 18.设 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解:设 ,由 对 =t,由(E-B)x=0, ,得特征向量 1 =(1,1) T ; 对 =-1,由(-E-B)x=0, ,得特征向量 2 =(2,1) T 那么令 P=( 1 , 2 )有 ,从而 P -1 B n P= n 由于 又 故 解析 对于分块矩阵 ,有 ,故可分别求出 19.已知 A=-E+ T ,其中 (分数:8.00)_正确答案:()解析:证明 (用特
19、征值、用定义)记 B= T ,则 A=-E+B而 由于 r(B)=1, T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =3,故 |E-B|= 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 = 3 -3 2 所以矩阵 B 的特征值是 3,0,0 那么,矩阵 A 的特征值是 2,-1,-1,故 A 可逆 因为 T = T =3,有 B 2 =( T )( T )=( T ) T =3B 于是(A+E) 2 =3(A+E),即 A 2 -A=2E,亦即 A (A-E)=E 所以 设 A 是 n 阶反对称矩阵,(分数:9.00)(1).证明对任何 n 维列向量 ,恒有
20、 T A=0;(分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 因为 T A 是 11 矩阵,是一个数,故 T A=( T A) T = T A T ( T ) T =- T A 所以恒有 T A=0(2).设 A 还是实矩阵证明对任何非零实数 c,矩阵 A+cE 恒可逆(分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 (反证法)如果矩阵 A+cE 不可逆,则齐次方程组(A+cE)x=0 有非零实解,设其为 ,则 A=-c,0 左乘 T ,得 T A=-c T 0 与(1)矛盾故矩阵 A+cE 恒可逆20.设 是 n 维列向量,已知 T =1,n 阶矩阵 A=E- T ,其中 E 为 n 阶单位矩阵,
21、证明矩阵 A 不可逆 (分数:9.00)_正确答案:()解析:证法一 由于 A=E- T , T =1,故有 A 2 =(E- T ) 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +( T )( T )=E-2 T +( T ) T =E-2 T + T =E- T =A 设 n 维列向量 =(a 1 ,a 2 ,a n ) T 由 21.已知向量组() 1 =(1,3,0,5) T , 2 =(1,2,1,4) T , 3 =(1,1,2,3) T 与向量组() 1 =(1,-3,6,-1) T , 2 =(a,0,b,2) T 等价,求 a,b 的值 (分数:9.00)_正确答案:()
22、解析:解:方法一 由于- 1 +2 2 = 3 ,只需考察 1 , 2 与 1 , 2 的互相线性表出问题 方程组 x 1 1 +x 2 2 = 2 有解 b-3a=0,2-2a=0 a=1,b=3 即()可由()线性表出的充要条件是 a=1,b=3 反之,当 a=1,b=3 时, 方程组 x 1 1 +x 2 2 = 1 与 x 1 1 +x 2 2 = 2 均有解,说明()可由()线性表出,所以()与()等价时,a=1,b=3 方法二 ()与()等价的充分必要条件是 r()=r()=r(),(),本题中 r()=r()=2,只用使 r(),()=2,它们就等价 22.设 n 维向量 1 , 2 , s , 线性无关,而 1 , 2 , s , 线性相关,证明 可以由 1 , 2 , s 线性表出,且表示方法唯一 (分数:9.00)_正确答案:()解析:证明 因为 1 , 2 , s , 线性相关,故存在不全为 0 的 k 1 ,k 2 ,k s ,k 使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s +k=0, 那么必有 k0(否则 k 1 ,k 2 ,k s 不全为 0,而 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0,这与 1 , 2 , s 线性无关相矛盾)从而