1、考研数学三-280 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.反常积分 （分数：1.00）2.已知 分别有解 与 y= ，则方程 （分数：1.00）3.已知 有特解 （分数：1.00）4.已知(x-1)y“-xy“+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：1.00）5.设 ，其中，有一阶连续偏导数，则 dz= 1， （分数：1.00）6.设 ，而中间变量 u 满足关系式 xe -xu -f“(u)= ，其中 u(x，y)和 f(u)均为可微函数，如果 （分数：1.00）7.设 （分数：1.00）8.交换二次积分次序： （分数：
2、1.00）设有极坐标系下的累次积分 （分数：1.00）(1).将 J 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分则是 J= 1；（分数：0.50）(2).将 J 改成先对 0 后对 r 积分的累次积分则是 J= 1（分数：0.50）由级数的敛散性确定下列参数的取值范围：（分数：1.00）(1).若 （分数：0.50）(2).级数若 （分数：0.50）二、解答题(总题数：18，分数：90.00)9.计算反常积分 （分数：5.00）_判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的，要求出反常积分的值（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_(2). （分数：1.25）_(3). （分数：1.
3、25）_(4). （分数：1.25）_10.如图所示，直线 y=c 与曲线 y=8x-x 4 在第一象限中交于两点 A 和 B，且使得图中两个阴影区域的面积S 1 与 S 2 相等求常数 c 的值 （分数：5.00）_11.如图所示，设单位圆 x 2 +y 2 =1 上点 M(x 0 ，y 0 )处的切线 L 与抛物线 y=x 2 -2 围成的图形的面积S 达到最小求点 M 的坐标和切线 L 的方程 （分数：5.00）_12.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 x+y2 所确定，求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：5.00）_13.设由曲线 与直线 x=a(
4、0a1)以及 y=0，y=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点 （分数：5.00）_14.(1)求微分方程(y 2 -2x)dy-ydx=0 的通解； (2)求微分方程 xy“=y(1+lny-lnx)的通解及 y(1)=e 的特解 （分数：5.00）_设 a0 为常数，f(x)在(-，+)连续，考察一阶线性常系数方程 y“+ay=f(x) (x(-，+) (*)（分数：5.01）(1).求通解的表达式；（分数：1.67）_(2).设 a0， ，y(x)为方程(*)的任意一个解，求 （分数：1.67）_(3).设 a
5、0， ，又 收敛，求 （分数：1.67）_求下列一阶常系数线性差分方程的通解：（分数：5.00）(1).y t+1 -2y t =3+t；（分数：1.25）_(2).y t+1 -y t =3+t；（分数：1.25）_(3).y t+1 -y t =42 t ；（分数：1.25）_(4).y t+1 -2y t =42 t （分数：1.25）_15.求一阶差分方程 2y t+1 +y t =5sin （分数：5.00）_设 f(x)是连续函数，（分数：5.01）(1).求初值问题 （分数：1.67）_(2).求证： 是初值问题 （分数：1.67）_(3).求 y“+4y=f(x)的通解（分数：
6、1.67）_16.设 f(x)为连续函数，解方程 f(x)=2(e x -1)+ （分数：5.00）_17.设 y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内有连续导数且满足 （分数：5.00）_18.设连续函数 y(x)满足方程 （分数：5.00）_19.设一凸的光滑曲线连接了 O(0，0)，A(1，4)两点，而 P(x，y)为曲线上任意一点，已知曲线与线段 所围区域的面积为 ，求该曲线的方程 （分数：5.00）_20.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的 （分数：5.00）_设 f(x，y)在点(1，1)处连续且满足 （分数：5.00）(1).df(x，y)| (1，1) ；（分数：2.50
7、）_(2). （分数：2.50）_设 （分数：5.00）(1).求 （分数：2.50）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么?若可微则求 df| (0，0) （分数：2.50）_考研数学三-280 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.反常积分 （分数：1.00）解析：解析 2.已知 分别有解 与 y= ，则方程 （分数：1.00）解析： 解析 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为 由 y(0)=1 C=-1因此特解为 3.已知 有特解 （分数：1.00）解析： 解析 由一阶线性方程解的叠加原理 从
8、而 是相应齐次方程 的非零特解，又 是原非齐次方程的一个特解，因此原方程的通解是 4.已知(x-1)y“-xy“+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：1.00）解析：(x-1) 2 C 1 x+C 2 e x -x 2 -1 解析 将 y * =-x 2 -1，(y * )“=-2x，(y * )“=-2，代入方程得 (x-1)(y * )“-x(y * )“+y * =x 2 -2x+1=(x-1) 2 f(x)=(x-1) 2 由非齐次方程 (x-1)y“-xy“+y=(x-1) 2 的两个特解 与 y * 可得它的相应的齐次方程 (x-1)y“-xy“+y=0 的另一特解 5
9、.设 ，其中，有一阶连续偏导数，则 dz= 1， （分数：1.00）解析：f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy) 解析 这是一元函数( )与二元函数(u=x 2 y)的复合函数，先求出相应地得 ，最后再求 dz=f(x 2 y，e x2y )d(x 2 y)=f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy) 由此又得 再对 y 求导得 6.设 ，而中间变量 u 满足关系式 xe -xu -f“(u)= ，其中 u(x，y)和 f(u)均为可微函数，如果 （分数：1.00）解析： 解析 因为 xe -xu -f“(u)= ，所以 f“(u)=xe -xu - 将 z
10、= +e -xu +f(u)分别对 x、y 求偏导，并把 f“(u)代入，得 类似地 由 所以 7.设 （分数：1.00）解析：-4dx+2dy 解析 显然，f(x，y)在点(0，1)处可微，由题设知 f(x，1)=(x-2) 2 ，故 f“ x (0，1)=2(x-2)| x=0 =-4 8.交换二次积分次序： （分数：1.00）解析： 解析 这个二次积分不是二重积分的累次积分，因为 0x 时-sin sinx由此看出二次积分 是二重积分的一个二次积分，它与原式只差一个符号先把此累次积分表为 确定积分区域 D： 如图所示 现交换积分次序，但要分块积分，于是 设有极坐标系下的累次积分 （分数：
11、1.00）(1).将 J 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分则是 J= 1；（分数：0.50）解析： 解析 将累次积分 J 写成 其中，D 的极坐标表示 D: ，0rsin，于是得 D 的直角坐标形式为(如图(a)所示) x 2 +y 2 y(由 r 2 rsin 而得)，x0， 即 现重新配限得 (2).将 J 改成先对 0 后对 r 积分的累次积分则是 J= 1（分数：0.50）解析： 解析 方法 1 在 Or 直角坐标系中(如图(b)所示)， 当 时，0- ，由 r=sin=sin(-) -=arcsinr=-arcsinr 因此 方法 2 在 Oxy 直角坐标系中， 其
12、中，D 如题(1)所述，见图(C)半圆边界的极坐标方程是 r=sin，如方法 1中所述，反解成 =-arcsinr D 的极坐标表示： 0r1， -arcsinr 因此 由级数的敛散性确定下列参数的取值范围：（分数：1.00）(1).若 （分数：0.50）解析：|a|e 解析 因一般项含有阶乘，选用比值判别法记 ，则 由比值判别法知，当|a|e 时级数绝对收敛，从而收敛，当|a|e 时级数发散(此时 u n 0) 当|a|=e 时比，值判别法失效，但由于 (2).级数若 （分数：0.50）解析：(1，+) 解析 a0 时 n n- -1+(n) 原级数发散 由于 0 时， ，所以 又 二、解答
13、题(总题数：18，分数：90.00)9.计算反常积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：在反常积分 I 中令 x=cos 作换元，由于 ，且 ，dx=-sind，代入即得 再令 tan=t，因 ，且 ，故 在反常积分 J 中令 ，则 x:-10 t:01，且 x=t 3 -1，dx=3t 2 dt，ln(1+x)=ln(t 3 )=3lnt，代入就有 判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的，要求出反常积分的值（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：是无穷区间上的反常积分， 即 中积分收敛 我们也可用凑微分法省略变量替换的过程 (2). （分数：1.25
14、）_正确答案：()解析：解：是无穷区间上的反常积分， 即 (3). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：因当 x0 时被积函数无界，从而是无界函数的反常积分(称 x=0 为瑕点) 即 (4). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：当 x0 时被积函数无界，从而是无界函数的反常积分，因瑕点 x=0 在积分区间之内， 收敛的充分必要条件是两个反常积分 都收敛现讨论 的收敛性因为 即 10.如图所示，直线 y=c 与曲线 y=8x-x 4 在第一象限中交于两点 A 和 B，且使得图中两个阴影区域的面积S 1 与 S 2 相等求常数 c 的值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解
15、：设 B 点的横坐标为 b，如题图由题设 S 1 =S 2 ，由图形可知，曲边梯形 OABb 的面积与矩形OeBb 的面积相等，即 又点 B 在曲线上，满足 c=8b-b 4 (2) 解方程(1)，(2)，可得 11.如图所示，设单位圆 x 2 +y 2 =1 上点 M(x 0 ，y 0 )处的切线 L 与抛物线 y=x 2 -2 围成的图形的面积S 达到最小求点 M 的坐标和切线 L 的方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设切线 L 的方程为 y=kx-b，其中 b0(从图形知，当面积 S 最小时，点 M 应位于单位圆的下半圆上，故可作以上假设)，则 L 与抛物线交点 A 和
16、B 的横坐标 x 1 和 x 2 应满足方程组 于是，L 与抛物线所围成图形的面积 因为 于是 代入，即得 从而，S 与 在同一点上取得最小值，现考虑函数 单位圆 x 2 +y 2 =1 在点 M(x 0 ，y 0 )处的切线 L 的方程是 即 ，代入 f 的表达式得 于是 对应的 y 0 满足 ，与 y 0 相应的 即点 M 的坐标为 ，过 M 的切线 L 的方程为 12.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 x+y2 所确定，求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 平面图形 D=(x，y)|1x2，2-xy ，在平面图形
17、 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中，满足 xx+dx 的一层形状为圆筒形薄片，其厚度为 dx，半径为 x，高度为 -(2-x)，如图(a)所示，故旋转体的体积为 解法二 平面图形 D=(x，y)|0y1，2-yx1+ ，在平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中，满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其厚度为 dy，外半径为 ，内半径为 2-y，如图(b)所示，故旋转体的体积为 13.设由曲线 与直线 x=a(0a1)以及 y=0，y=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点 （分数：5.00）_正确答案：()
18、解析：解法一 由曲线 与直线 x=a(0a1)以及 y=0，y=1 围成的平面图形可分为两个部分区域 在 D 1 中 xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个圆环形薄片，其内半径为 ，外半径为 y=1，厚度为dx，从而其体积 dV=1-( ) 2 dx故区域 D 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 在 D 2 中 xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个圆形薄片，其半径为 ，厚度为 dx 从而其体积dV=(1-x 2 )dx故区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 把 V 1 (a)与 V 2 (a)相加，即得 由于 故 ，即 V(a)的最小值是 ，最小值点是 解法二 由曲线
19、 与直线 x=a(0a1)以及 y=0，y=1 围成的平面图形可分为两个部分区域 在 D 1 中 yy+dy 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为 ，半径为 y，厚度为 dy，从而其体积 故区域 D 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 在 D 2 中 yy+dy 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为 ，半径为 y，厚度为 dy，从而其体积 ，故区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 把 V 1 (a)与 V 2 (a)相加，即得 以下同解法一 解法三 记图形中由 x=0，x=a，y=0， 所围的梯形区域为 DD 1 ，D 2 如图形所示 区域 D 1 绕
20、x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 (a)可以表示成矩形区域旋转得到的圆柱体体积减去区域D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积即 区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 V 2 (a)可以表示成半球体减去区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积，即 14.(1)求微分方程(y 2 -2x)dy-ydx=0 的通解； (2)求微分方程 xy“=y(1+lny-lnx)的通解及 y(1)=e 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：先判断类型，然后再求解 (1)若以 y 为自变量，x 为因变量，则是一阶线性方程 两边乘 积分得 因此，通解为 ，其中 C 为任意常数 (2)
21、方程可写为 ，这是齐次方程于是令 (即 y=ux)，方程变成 分离变量得 积分得 ln|lnu|=lnx+C 1 ，即 lnu=Cx u=e Cx 因此原方程通解为 y=xe Cx ，C 为 设 a0 为常数，f(x)在(-，+)连续，考察一阶线性常系数方程 y“+ay=f(x) (x(-，+) (*)（分数：5.01）(1).求通解的表达式；（分数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 将方程两边乘 (x)=e adx =e ax 得 于是得通解 y=Ce -ax +e -ax e ax f(x)dx 或 ，其中 C 为 (2).设 a0， ，y(x)为方程(*)的任意一个解，求 （分
22、数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 由第一小题的结论及洛必达法则即得 (3).设 a0， ，又 收敛，求 （分数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 由第一小题的结论及洛必达法则即得 当 时，这是求 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：（分数：5.00）(1).y t+1 -2y t =3+t；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：设通解为 y t =C2 t +At+B，其中 C 为任意常数，A 与 B 为待定常数，代入方程得 y t+1 -2y t =C2 t+1 +A(t+1)+B-2C2 t -2(At+B)=-At+A-B (2).y t+1 -y t =3
23、+t；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：设通解为 y t =C+At 2 +Bt，其中 C 为任意常数，A 与 B 为待定常数，代入方程得 y t+1 -y t =C+A(t+1) 2 +B(t+1)-C-At 2 -Bt=2At+A+B 3+t， 可确定 ，故方程的通解为 (3).y t+1 -y t =42 t ；（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：设通解为 y t =C+A2 t ，其中 C 为任意常数，A 为待定常数，代入方程得 y t+1 -y t =C+A2 t+1 -C-A2 t =A2 t (4).y t+1 -2y t =42 t （分数：1.25）_正确答
24、案：()解析：解：设通解为 y t =C2 t +At2 t ，其中 C 为任意常数，A 为待定常数，代入方程得 y t+1 -2y t =C2 t+1 +2A(t+1)2 t -2C2 t -2At2 t =2A2 t 15.求一阶差分方程 2y t+1 +y t =5sin （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对应齐次差分方程的通解是 ，其中 C 是任意常数；非齐次差分方程有形式为 y t * = 的特解，代入方程得 可确定常数 A=1，B=-2从而原方程的通解为 令 t=0，利用初值 y 0 =4 又可确定 C=6，故所求特解为 设 f(x)是连续函数，（分数：5.01）(1).
25、求初值问题 （分数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 特征方程 2 +4=0 的特征根是 =2i y“+4y=0 的通解是 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x 由 由 因此该初值问题的解 (2).求证： 是初值问题 （分数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 将 代入 y(x)表达式得 下证 y(x)满足方程与初值，就要计算 y“(x)与 y“(x)这里 y(x)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含参变量 x，故先作变量替换 虽然其中被积函数还含参变量 x，但含于正弦函数中，可将它展开后，含参变量 x 的函数可提出积分号外，即 现可用变限积分求导法得 (3).求 y
26、“+4y=f(x)的通解（分数：1.67）_正确答案：()解析：分析与求解 由二阶线性非齐次方程通解的结构，并用题(1)与题(2)知，y“+4y=f(x)的通解是 16.设 f(x)为连续函数，解方程 f(x)=2(e x -1)+ （分数：5.00）_正确答案：()解析：分析与求解 先将原方程改写成 然后两边求导得 (*) 在原方程中令 x=0 得 f(0)=0；又在上式中令 x=0 得 f“(0)=2 再将(*)式求导得 f“(x)=2e x +f(x) 于是，问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题，即 其中，y=f(x)特征方程为 2 -1=0，特征根 =1，非齐次项 ae ax ，
27、a=2，=1 为单特征根，故有特解 y * =Axe x ，代入方程得 A(x+2)e x -Axe x =2e x 比较上式两端系数得 A=1，于是 y * =xe x 因此，通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +xe x 由初值 y(0)=0，y“(0)=2 得 最后求得 17.设 y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内有连续导数且满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：分析与求解 先作变量替换把 变成变限积分： 于是原方程变为 将方程两边求导得 即 在式中令 x=0，等式自然成立，无需加其他附加条件是一阶线性方程，两边乘 得 因此 18.设连续函数 y(x)满足方程
28、（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：在方程 中令 x=1 可得 y(1)=4 由函数 y(x)连续及所给方程可知 y(x)当 x1 时可导，且 (*) 令 ，于是 y=xu，y“=u+xu“，把它们代入方程(*)就有 (*) 将(*)式两端求积分可得 由此即知方程(*)的通解为 ，从而方程(*)的通解就是 ，利用初值 y(1)=4 可确定常数 故所求的函数为 19.设一凸的光滑曲线连接了 O(0，0)，A(1，4)两点，而 P(x，y)为曲线上任意一点，已知曲线与线段 所围区域的面积为 ，求该曲线的方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：分析与求解 设曲线方程为 y=y(x) 1
29、首先写出曲线 y=y(x)与线段 所围区域面积 S(x)的表达式 由于 y=y(x)是凸的，所以 O、P 两点间的曲线在线段 上方， 于是 按题意： ，即 2解含变限积分的方程转化为微分方程 两边求导得 (式中令 x=0 时，等式自然成立，无需加其他附加条件，与等价)化简得 解此一阶线性方程，两边乘 ，积分得 3 C，y(0)=0，即曲线过原点 O，又曲线经过点 A(1，4)，即由 y(1)=4 C=0 因此求得曲线 20.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的 （分数：5.00）_正确答案：()解析：分析与求解 曲线 y=y(x)上 点(x，y(x)处的切线方程是 Y-y(x)=y“(x)
30、(X-x) 其中(X，Y)为切线上点的坐标切线与 y 轴的交点：(0，Y)： Y-y(x)=-xy“(x) 与 x 轴的交点：(X，0) -y(x)=y“(x)(X-x)， 由条件得(Y-y(x) 2 +x 2 =(X-x) 2 +y 2 即 化简得 即 xdy ydx=0 由 xdy+ydx=0，得 d(xy)=0，即 xy=c 由初值，y(2)=3 c=6，xy=6 由 xdy-ydx=0，解得 设 f(x，y)在点(1，1)处连续且满足 （分数：5.00）(1).df(x，y)| (1，1) ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由条件知， 由 在(1，1)处可微 g(1+x，1
31、+y)-g(1，1)=g“ x (1，1)x+g“ y (1，1)y+o()， 其中 ，即 g(1+x，1+y)-g(1，1)=x+y+o()(0) f(1+x，1+y)-f(1，1)=g(1+x，1+y)-g(1，1)+o()=x+y+o()( ) 因此 df(x，y)| (1，1) =x+y=dx+dy 由此可得 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：方法 1 方法 2由 f(1+3t，1)=e (1+3t)+1-2 +o(3|t|)=e 3t +o(3|t|)， f(1，1-2t)=e 1+(1-2t)-2 +o(2|t|)=e -2t +o(2|t|)， 代入得 设 （分数：5.00）(1).求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(x，y)(0，0)时， 当(x，y)=(0，0)时 (2).f(x，y)在点(0，
