1、考研数学三-280 及答案解析(总分:100.02,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:10,分数:10.00)1.反常积分 (分数:1.00)2.已知 分别有解 与 y= ,则方程 (分数:1.00)3.已知 有特解 (分数:1.00)4.已知(x-1)y“-xy“+y=0 的一个解是 y 1 =x,又知 (分数:1.00)5.设 ,其中,有一阶连续偏导数,则 dz= 1, (分数:1.00)6.设 ,而中间变量 u 满足关系式 xe -xu -f“(u)= ,其中 u(x,y)和 f(u)均为可微函数,如果 (分数:1.00)7.设 (分数:1.00)8.交换二次积分次序: (分数:
2、1.00)设有极坐标系下的累次积分 (分数:1.00)(1).将 J 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分则是 J= 1;(分数:0.50)(2).将 J 改成先对 0 后对 r 积分的累次积分则是 J= 1(分数:0.50)由级数的敛散性确定下列参数的取值范围:(分数:1.00)(1).若 (分数:0.50)(2).级数若 (分数:0.50)二、解答题(总题数:18,分数:90.00)9.计算反常积分 (分数:5.00)_判断下列反常积分的敛散性,如果是收敛的,要求出反常积分的值(分数:5.00)(1). (分数:1.25)_(2). (分数:1.25)_(3). (分数:1.
3、25)_(4). (分数:1.25)_10.如图所示,直线 y=c 与曲线 y=8x-x 4 在第一象限中交于两点 A 和 B,且使得图中两个阴影区域的面积S 1 与 S 2 相等求常数 c 的值 (分数:5.00)_11.如图所示,设单位圆 x 2 +y 2 =1 上点 M(x 0 ,y 0 )处的切线 L 与抛物线 y=x 2 -2 围成的图形的面积S 达到最小求点 M 的坐标和切线 L 的方程 (分数:5.00)_12.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 x+y2 所确定,求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 (分数:5.00)_13.设由曲线 与直线 x=a(
4、0a1)以及 y=0,y=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a),求 V(a)的最小值与最小值点 (分数:5.00)_14.(1)求微分方程(y 2 -2x)dy-ydx=0 的通解; (2)求微分方程 xy“=y(1+lny-lnx)的通解及 y(1)=e 的特解 (分数:5.00)_设 a0 为常数,f(x)在(-,+)连续,考察一阶线性常系数方程 y“+ay=f(x) (x(-,+) (*)(分数:5.01)(1).求通解的表达式;(分数:1.67)_(2).设 a0, ,y(x)为方程(*)的任意一个解,求 (分数:1.67)_(3).设 a
5、0, ,又 收敛,求 (分数:1.67)_求下列一阶常系数线性差分方程的通解:(分数:5.00)(1).y t+1 -2y t =3+t;(分数:1.25)_(2).y t+1 -y t =3+t;(分数:1.25)_(3).y t+1 -y t =42 t ;(分数:1.25)_(4).y t+1 -2y t =42 t (分数:1.25)_15.求一阶差分方程 2y t+1 +y t =5sin (分数:5.00)_设 f(x)是连续函数,(分数:5.01)(1).求初值问题 (分数:1.67)_(2).求证: 是初值问题 (分数:1.67)_(3).求 y“+4y=f(x)的通解(分数:
6、1.67)_16.设 f(x)为连续函数,解方程 f(x)=2(e x -1)+ (分数:5.00)_17.设 y(x)在0,+)上连续,在(0,+)内有连续导数且满足 (分数:5.00)_18.设连续函数 y(x)满足方程 (分数:5.00)_19.设一凸的光滑曲线连接了 O(0,0),A(1,4)两点,而 P(x,y)为曲线上任意一点,已知曲线与线段 所围区域的面积为 ,求该曲线的方程 (分数:5.00)_20.求一曲线通过(2,3),它在两坐标轴间的 (分数:5.00)_设 f(x,y)在点(1,1)处连续且满足 (分数:5.00)(1).df(x,y)| (1,1) ;(分数:2.50
7、)_(2). (分数:2.50)_设 (分数:5.00)(1).求 (分数:2.50)_(2).f(x,y)在点(0,0)处是否可微?为什么?若可微则求 df| (0,0) (分数:2.50)_考研数学三-280 答案解析(总分:100.02,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:10,分数:10.00)1.反常积分 (分数:1.00)解析:解析 2.已知 分别有解 与 y= ,则方程 (分数:1.00)解析: 解析 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为 由 y(0)=1 C=-1因此特解为 3.已知 有特解 (分数:1.00)解析: 解析 由一阶线性方程解的叠加原理 从
8、而 是相应齐次方程 的非零特解,又 是原非齐次方程的一个特解,因此原方程的通解是 4.已知(x-1)y“-xy“+y=0 的一个解是 y 1 =x,又知 (分数:1.00)解析:(x-1) 2 C 1 x+C 2 e x -x 2 -1 解析 将 y * =-x 2 -1,(y * )“=-2x,(y * )“=-2,代入方程得 (x-1)(y * )“-x(y * )“+y * =x 2 -2x+1=(x-1) 2 f(x)=(x-1) 2 由非齐次方程 (x-1)y“-xy“+y=(x-1) 2 的两个特解 与 y * 可得它的相应的齐次方程 (x-1)y“-xy“+y=0 的另一特解 5
9、.设 ,其中,有一阶连续偏导数,则 dz= 1, (分数:1.00)解析:f(x 2 y,e x2y )(2xydx+x 2 dy) 解析 这是一元函数( )与二元函数(u=x 2 y)的复合函数,先求出相应地得 ,最后再求 dz=f(x 2 y,e x2y )d(x 2 y)=f(x 2 y,e x2y )(2xydx+x 2 dy) 由此又得 再对 y 求导得 6.设 ,而中间变量 u 满足关系式 xe -xu -f“(u)= ,其中 u(x,y)和 f(u)均为可微函数,如果 (分数:1.00)解析: 解析 因为 xe -xu -f“(u)= ,所以 f“(u)=xe -xu - 将 z
10、= +e -xu +f(u)分别对 x、y 求偏导,并把 f“(u)代入,得 类似地 由 所以 7.设 (分数:1.00)解析:-4dx+2dy 解析 显然,f(x,y)在点(0,1)处可微,由题设知 f(x,1)=(x-2) 2 ,故 f“ x (0,1)=2(x-2)| x=0 =-4 8.交换二次积分次序: (分数:1.00)解析: 解析 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 0x 时-sin sinx由此看出二次积分 是二重积分的一个二次积分,它与原式只差一个符号先把此累次积分表为 确定积分区域 D: 如图所示 现交换积分次序,但要分块积分,于是 设有极坐标系下的累次积分 (分数:
11、1.00)(1).将 J 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分则是 J= 1;(分数:0.50)解析: 解析 将累次积分 J 写成 其中,D 的极坐标表示 D: ,0rsin,于是得 D 的直角坐标形式为(如图(a)所示) x 2 +y 2 y(由 r 2 rsin 而得),x0, 即 现重新配限得 (2).将 J 改成先对 0 后对 r 积分的累次积分则是 J= 1(分数:0.50)解析: 解析 方法 1 在 Or 直角坐标系中(如图(b)所示), 当 时,0- ,由 r=sin=sin(-) -=arcsinr=-arcsinr 因此 方法 2 在 Oxy 直角坐标系中, 其
12、中,D 如题(1)所述,见图(C)半圆边界的极坐标方程是 r=sin,如方法 1中所述,反解成 =-arcsinr D 的极坐标表示: 0r1, -arcsinr 因此 由级数的敛散性确定下列参数的取值范围:(分数:1.00)(1).若 (分数:0.50)解析:|a|e 解析 因一般项含有阶乘,选用比值判别法记 ,则 由比值判别法知,当|a|e 时级数绝对收敛,从而收敛,当|a|e 时级数发散(此时 u n 0) 当|a|=e 时比,值判别法失效,但由于 (2).级数若 (分数:0.50)解析:(1,+) 解析 a0 时 n n- -1+(n) 原级数发散 由于 0 时, ,所以 又 二、解答
13、题(总题数:18,分数:90.00)9.计算反常积分 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:在反常积分 I 中令 x=cos 作换元,由于 ,且 ,dx=-sind,代入即得 再令 tan=t,因 ,且 ,故 在反常积分 J 中令 ,则 x:-10 t:01,且 x=t 3 -1,dx=3t 2 dt,ln(1+x)=ln(t 3 )=3lnt,代入就有 判断下列反常积分的敛散性,如果是收敛的,要求出反常积分的值(分数:5.00)(1). (分数:1.25)_正确答案:()解析:解:是无穷区间上的反常积分, 即 中积分收敛 我们也可用凑微分法省略变量替换的过程 (2). (分数:1.25
14、)_正确答案:()解析:解:是无穷区间上的反常积分, 即 (3). (分数:1.25)_正确答案:()解析:解:因当 x0 时被积函数无界,从而是无界函数的反常积分(称 x=0 为瑕点) 即 (4). (分数:1.25)_正确答案:()解析:解:当 x0 时被积函数无界,从而是无界函数的反常积分,因瑕点 x=0 在积分区间之内, 收敛的充分必要条件是两个反常积分 都收敛现讨论 的收敛性因为 即 10.如图所示,直线 y=c 与曲线 y=8x-x 4 在第一象限中交于两点 A 和 B,且使得图中两个阴影区域的面积S 1 与 S 2 相等求常数 c 的值 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解
15、:设 B 点的横坐标为 b,如题图由题设 S 1 =S 2 ,由图形可知,曲边梯形 OABb 的面积与矩形OeBb 的面积相等,即 又点 B 在曲线上,满足 c=8b-b 4 (2) 解方程(1),(2),可得 11.如图所示,设单位圆 x 2 +y 2 =1 上点 M(x 0 ,y 0 )处的切线 L 与抛物线 y=x 2 -2 围成的图形的面积S 达到最小求点 M 的坐标和切线 L 的方程 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:设切线 L 的方程为 y=kx-b,其中 b0(从图形知,当面积 S 最小时,点 M 应位于单位圆的下半圆上,故可作以上假设),则 L 与抛物线交点 A 和
16、B 的横坐标 x 1 和 x 2 应满足方程组 于是,L 与抛物线所围成图形的面积 因为 于是 代入,即得 从而,S 与 在同一点上取得最小值,现考虑函数 单位圆 x 2 +y 2 =1 在点 M(x 0 ,y 0 )处的切线 L 的方程是 即 ,代入 f 的表达式得 于是 对应的 y 0 满足 ,与 y 0 相应的 即点 M 的坐标为 ,过 M 的切线 L 的方程为 12.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 x+y2 所确定,求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解法一 平面图形 D=(x,y)|1x2,2-xy ,在平面图形
17、 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中,满足 xx+dx 的一层形状为圆筒形薄片,其厚度为 dx,半径为 x,高度为 -(2-x),如图(a)所示,故旋转体的体积为 解法二 平面图形 D=(x,y)|0y1,2-yx1+ ,在平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中,满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片,其厚度为 dy,外半径为 ,内半径为 2-y,如图(b)所示,故旋转体的体积为 13.设由曲线 与直线 x=a(0a1)以及 y=0,y=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a),求 V(a)的最小值与最小值点 (分数:5.00)_正确答案:()
18、解析:解法一 由曲线 与直线 x=a(0a1)以及 y=0,y=1 围成的平面图形可分为两个部分区域 在 D 1 中 xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个圆环形薄片,其内半径为 ,外半径为 y=1,厚度为dx,从而其体积 dV=1-( ) 2 dx故区域 D 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 在 D 2 中 xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个圆形薄片,其半径为 ,厚度为 dx 从而其体积dV=(1-x 2 )dx故区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 把 V 1 (a)与 V 2 (a)相加,即得 由于 故 ,即 V(a)的最小值是 ,最小值点是 解法二 由曲线
19、 与直线 x=a(0a1)以及 y=0,y=1 围成的平面图形可分为两个部分区域 在 D 1 中 yy+dy 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个薄壁圆筒,其高度为 ,半径为 y,厚度为 dy,从而其体积 故区域 D 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 在 D 2 中 yy+dy 的小窄条绕 x 轴旋转产生一个薄壁圆筒,其高度为 ,半径为 y,厚度为 dy,从而其体积 ,故区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 把 V 1 (a)与 V 2 (a)相加,即得 以下同解法一 解法三 记图形中由 x=0,x=a,y=0, 所围的梯形区域为 DD 1 ,D 2 如图形所示 区域 D 1 绕
20、x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 (a)可以表示成矩形区域旋转得到的圆柱体体积减去区域D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积即 区域 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 V 2 (a)可以表示成半球体减去区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积,即 14.(1)求微分方程(y 2 -2x)dy-ydx=0 的通解; (2)求微分方程 xy“=y(1+lny-lnx)的通解及 y(1)=e 的特解 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:先判断类型,然后再求解 (1)若以 y 为自变量,x 为因变量,则是一阶线性方程 两边乘 积分得 因此,通解为 ,其中 C 为任意常数 (2)
21、方程可写为 ,这是齐次方程于是令 (即 y=ux),方程变成 分离变量得 积分得 ln|lnu|=lnx+C 1 ,即 lnu=Cx u=e Cx 因此原方程通解为 y=xe Cx ,C 为 设 a0 为常数,f(x)在(-,+)连续,考察一阶线性常系数方程 y“+ay=f(x) (x(-,+) (*)(分数:5.01)(1).求通解的表达式;(分数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 将方程两边乘 (x)=e adx =e ax 得 于是得通解 y=Ce -ax +e -ax e ax f(x)dx 或 ,其中 C 为 (2).设 a0, ,y(x)为方程(*)的任意一个解,求 (分
22、数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 由第一小题的结论及洛必达法则即得 (3).设 a0, ,又 收敛,求 (分数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 由第一小题的结论及洛必达法则即得 当 时,这是求 求下列一阶常系数线性差分方程的通解:(分数:5.00)(1).y t+1 -2y t =3+t;(分数:1.25)_正确答案:()解析:解:设通解为 y t =C2 t +At+B,其中 C 为任意常数,A 与 B 为待定常数,代入方程得 y t+1 -2y t =C2 t+1 +A(t+1)+B-2C2 t -2(At+B)=-At+A-B (2).y t+1 -y t =3
23、+t;(分数:1.25)_正确答案:()解析:解:设通解为 y t =C+At 2 +Bt,其中 C 为任意常数,A 与 B 为待定常数,代入方程得 y t+1 -y t =C+A(t+1) 2 +B(t+1)-C-At 2 -Bt=2At+A+B 3+t, 可确定 ,故方程的通解为 (3).y t+1 -y t =42 t ;(分数:1.25)_正确答案:()解析:解:设通解为 y t =C+A2 t ,其中 C 为任意常数,A 为待定常数,代入方程得 y t+1 -y t =C+A2 t+1 -C-A2 t =A2 t (4).y t+1 -2y t =42 t (分数:1.25)_正确答
24、案:()解析:解:设通解为 y t =C2 t +At2 t ,其中 C 为任意常数,A 为待定常数,代入方程得 y t+1 -2y t =C2 t+1 +2A(t+1)2 t -2C2 t -2At2 t =2A2 t 15.求一阶差分方程 2y t+1 +y t =5sin (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:对应齐次差分方程的通解是 ,其中 C 是任意常数;非齐次差分方程有形式为 y t * = 的特解,代入方程得 可确定常数 A=1,B=-2从而原方程的通解为 令 t=0,利用初值 y 0 =4 又可确定 C=6,故所求特解为 设 f(x)是连续函数,(分数:5.01)(1).
25、求初值问题 (分数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 特征方程 2 +4=0 的特征根是 =2i y“+4y=0 的通解是 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x 由 由 因此该初值问题的解 (2).求证: 是初值问题 (分数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 将 代入 y(x)表达式得 下证 y(x)满足方程与初值,就要计算 y“(x)与 y“(x)这里 y(x)是由变限积分定义的函数,由于被积函数含参变量 x,故先作变量替换 虽然其中被积函数还含参变量 x,但含于正弦函数中,可将它展开后,含参变量 x 的函数可提出积分号外,即 现可用变限积分求导法得 (3).求 y
26、“+4y=f(x)的通解(分数:1.67)_正确答案:()解析:分析与求解 由二阶线性非齐次方程通解的结构,并用题(1)与题(2)知,y“+4y=f(x)的通解是 16.设 f(x)为连续函数,解方程 f(x)=2(e x -1)+ (分数:5.00)_正确答案:()解析:分析与求解 先将原方程改写成 然后两边求导得 (*) 在原方程中令 x=0 得 f(0)=0;又在上式中令 x=0 得 f“(0)=2 再将(*)式求导得 f“(x)=2e x +f(x) 于是,问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题,即 其中,y=f(x)特征方程为 2 -1=0,特征根 =1,非齐次项 ae ax ,
27、a=2,=1 为单特征根,故有特解 y * =Axe x ,代入方程得 A(x+2)e x -Axe x =2e x 比较上式两端系数得 A=1,于是 y * =xe x 因此,通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +xe x 由初值 y(0)=0,y“(0)=2 得 最后求得 17.设 y(x)在0,+)上连续,在(0,+)内有连续导数且满足 (分数:5.00)_正确答案:()解析:分析与求解 先作变量替换把 变成变限积分: 于是原方程变为 将方程两边求导得 即 在式中令 x=0,等式自然成立,无需加其他附加条件是一阶线性方程,两边乘 得 因此 18.设连续函数 y(x)满足方程
28、(分数:5.00)_正确答案:()解析:解:在方程 中令 x=1 可得 y(1)=4 由函数 y(x)连续及所给方程可知 y(x)当 x1 时可导,且 (*) 令 ,于是 y=xu,y“=u+xu“,把它们代入方程(*)就有 (*) 将(*)式两端求积分可得 由此即知方程(*)的通解为 ,从而方程(*)的通解就是 ,利用初值 y(1)=4 可确定常数 故所求的函数为 19.设一凸的光滑曲线连接了 O(0,0),A(1,4)两点,而 P(x,y)为曲线上任意一点,已知曲线与线段 所围区域的面积为 ,求该曲线的方程 (分数:5.00)_正确答案:()解析:分析与求解 设曲线方程为 y=y(x) 1
29、首先写出曲线 y=y(x)与线段 所围区域面积 S(x)的表达式 由于 y=y(x)是凸的,所以 O、P 两点间的曲线在线段 上方, 于是 按题意: ,即 2解含变限积分的方程转化为微分方程 两边求导得 (式中令 x=0 时,等式自然成立,无需加其他附加条件,与等价)化简得 解此一阶线性方程,两边乘 ,积分得 3 C,y(0)=0,即曲线过原点 O,又曲线经过点 A(1,4),即由 y(1)=4 C=0 因此求得曲线 20.求一曲线通过(2,3),它在两坐标轴间的 (分数:5.00)_正确答案:()解析:分析与求解 曲线 y=y(x)上 点(x,y(x)处的切线方程是 Y-y(x)=y“(x)
30、(X-x) 其中(X,Y)为切线上点的坐标切线与 y 轴的交点:(0,Y): Y-y(x)=-xy“(x) 与 x 轴的交点:(X,0) -y(x)=y“(x)(X-x), 由条件得(Y-y(x) 2 +x 2 =(X-x) 2 +y 2 即 化简得 即 xdy ydx=0 由 xdy+ydx=0,得 d(xy)=0,即 xy=c 由初值,y(2)=3 c=6,xy=6 由 xdy-ydx=0,解得 设 f(x,y)在点(1,1)处连续且满足 (分数:5.00)(1).df(x,y)| (1,1) ;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解:由条件知, 由 在(1,1)处可微 g(1+x,1
31、+y)-g(1,1)=g“ x (1,1)x+g“ y (1,1)y+o(), 其中 ,即 g(1+x,1+y)-g(1,1)=x+y+o()(0) f(1+x,1+y)-f(1,1)=g(1+x,1+y)-g(1,1)+o()=x+y+o()( ) 因此 df(x,y)| (1,1) =x+y=dx+dy 由此可得 (2). (分数:2.50)_正确答案:()解析:解:方法 1 方法 2由 f(1+3t,1)=e (1+3t)+1-2 +o(3|t|)=e 3t +o(3|t|), f(1,1-2t)=e 1+(1-2t)-2 +o(2|t|)=e -2t +o(2|t|), 代入得 设 (分数:5.00)(1).求 (分数:2.50)_正确答案:()解析:解:(x,y)(0,0)时, 当(x,y)=(0,0)时 (2).f(x,y)在点(0,