1、考研数学三-278 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.对于任意两个互不相容的事件 A 与 B，以下等式中只有一个不正确，它是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，.，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有（分数：4.00）A.B.C.D.4.设（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.累次积分 化为直角坐标形式为（分数：4.00）A.B.C.D.7.设
2、 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足（分数：4.00）A.k=0B.k=1C.klD.k=n8.设 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导，且 f(x)g(x)，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.f(x)g(-x)B.f(x)g(x)C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_.（分数：4.0
3、0）填空项 1:_12.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，又|A|0，则|A+E|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)是由 x-x3+x5-.+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数(1)判定函数 f(x)的单调性及函数 f(x)的图形的凹凸性；(2)求函数 f(x)的极值及函数 f(
4、x)的图形的拐点（分数：10.00）_16.(1)写出 f(x)=xex在 x0=0 处的 n 阶泰勒(Taylor)公式，其中余项要按拉格朗日型写出(2)证明 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，证明： （分数：10.00）_18.设 3 阶矩阵 A 的三个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1=(a，a+3，a+2) T， 2=(a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有（分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.设 6，3，3 为实对称矩阵 A 的特征值，属于 6 的特征向量为 1=(1，1，k) -1，属于 3
5、的一个特征向量为 2=(-1，0，1) T()求 k 及属于 3 的另一特征向量；()求矩阵 A（分数：10.00）_21.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中 A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT，证明：f 是正定的（分数：10.00）_22.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中，0，0 是常数引入随机变量（分数：10.00）_23.设随机变量 Z、Y 独立同分布于 N(， 2)，求 Emax(Z，Y)（分数：10.00）_考研数学三-278 答案解析(总分：146.00，做题时
6、间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *所以(0，f(0)是拐点，故选 C2.对于任意两个互不相容的事件 A 与 B，以下等式中只有一个不正确，它是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 P(AB)=0，则 P(A-B)=PA-P(AB)=PA，所以 A 式正确；*可知 C 式不正确，故 C*3.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，.，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *4.设（分数：4.00）
7、A. B.C.D.解析：解析 根据矩阵作一次初等行(列)变换相当于矩阵左(右)乘相应类型的初等矩阵，故选 A5.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *所以 f(x，y)偏导数存在，排除 A故 C 项正确6.累次积分 化为直角坐标形式为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *故选 D7.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足（分数：4.00）A.k=0B.k=1C.kl D.k=n解析：解析 由题设必有 A*=0，从而 rAn-1，故 Ax=0 的
8、基础解系所含解向量的个数k=n-rA1，故选 C8.设 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导，且 f(x)g(x)，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.f(x)g(-x)B.f(x)g(x)C. D.解析：解析 利用反例排除令 f(x)=2，g(x)=1，则可排除 A，B，D故 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解析 *10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-x+2）解析：解析 令 u=tx，则 du=xdt，当 t=0 时，u=0；当 t=1 时，u=x 所以*上式两边求导对 x 得*解上述
9、一阶线性微分方程得f(x)=Cx+2，因为 f(1)=1，所以 C=-1，故 f(x)=-x+211.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3）解析：解析 由题意可得 y(1)=a+b+c=1，y(1)=6a+4b+2c=0，y“(1)=30a+12b+2=0解上述方程组可得 a=1，b=-3，c=312.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转
10、置)，又|A|0，则|A+E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为|A+E|=|A+AA T|=|A|E+AT|=|A|(E+A)T|=|A|E+A 1，所以(1-|A|)|A+E|=0，又因为|A|0，即 1-|A|0，所以|A+E|=014.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 X 的可能值为 1，2，3，4，5，6则*三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)是由 x-x3+x5-.+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数(1)判
11、定函数 f(x)的单调性及函数 f(x)的图形的凹凸性；(2)求函数 f(x)的极值及函数 f(x)的图形的拐点（分数：10.00）_正确答案：(由*于是*列表如下：*因此，(1)函数 f(x)在区间(-，-1)和(1，+)内单调减少，在区间(-1，1)内单调增加；*)解析：16.(1)写出 f(x)=xex在 x0=0 处的 n 阶泰勒(Taylor)公式，其中余项要按拉格朗日型写出(2)证明 （分数：10.00）_正确答案：(1)f(x)=xe x，f(x)=(x+1，1)e x，f“(x)=(x+2)e x，f(n)(x)=(x+，n)e x，从而 f(0)=0，f(0)=1，f“(0)
12、=2，f (n)(0)=n于是 f(x)=xex在 x0=0 处的 n 阶泰勒公式*)解析：17.设 f(x)在0，1上连续，证明： （分数：10.00）_正确答案：(方法一 对于实数 u0，有 eu1+u于是*)解析：18.设 3 阶矩阵 A 的三个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1=(a，a+3，a+2) T， 2=(a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有（分数：10.00）_正确答案：(*当 a=-1 时， 1=(-1，2，1) T， 2=(-3，-1，0) T， 3=(1，-2，-1) T满足 1+ 3=0，所以 1、 2、 3线性相关，这与 1
13、、 2、 3是对应不同特征值的特征向量矛盾(因为不同特征值对应的特征向量线性无关)，因此 a一 1，故 a=0此时 1=(0，3，2) T， 2=(-2，-1，1) T， 3=(1，0，-1) T*)解析：19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：20.设 6，3，3 为实对称矩阵 A 的特征值，属于 6 的特征向量为 1=(1，1，k) -1，属于 3 的一个特征向量为 2=(-1，0，1) T()求 k 及属于 3 的另一特征向量；()求矩阵 A（分数：10.00）_正确答案：(I)因为 1=(1，1，k) T和 2=(-1，0，1) T是实对称矩阵 A 的属于不同特征的
14、特征向量，故它们正交，即*设属于 3 的另一特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T为了保证 2与 3线性无关，可进一步要求 2与 3正交，即 2T 3=0，又 1T 3=0，这样有*解得基础解系为(1，-2，1) T，即 3=(1，-2，1) T()由 A 1， 2， 3=6 1，3 2，3 3，*)解析：21.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中 A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT，证明：f 是正定的（分数：10.00）_正确答案：(对于正定矩阵 B=(bij)，存在满秩矩阵 P=(pij)，使
15、得*因为 A 正定，所以对任一(p k1x1，P k2x2，P knxn)T0，有(pk1x1，P k2x2，P knxn)A(pk1x1，P k2x2，P knxn)T0，又因为 P 满秩，于是，对任一非零向量 X=(x1，x 2，x n)，有 PXT0，则(p k1x1，P k2x2，P knxn)(k=1，2，n)不全为零，故 f 正定)解析：22.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中，0，0 是常数引入随机变量（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：23.设随机变量 Z、Y 独立同分布于 N(， 2)，求 Emax(Z，Y)（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：
