1、考研数学三-276 及答案解析(总分：148.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二元函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设常数 则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设袋中有 8 枚均匀硬币，其中 6 枚正品，2 枚次品，且次品硬币的两面均印有国徽，在袋中任取一枚硬币，将它连续投掷 3 次，已知 3 次均出现了国徽，则此枚硬币是正品的概率为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=ln(1+x2)-x2， （分数：4.00）A.B.C.D.5.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.
2、B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，X 1，X 2，X 10是来自 X 的简单随机样本，若 P|X-|a=（分数：4.00）A.B.C.D.8.二次型 XTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q=0C.p=1，q=1D.与 a3，b 3有关，不能确定二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a 为常数，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知生产某产品 x 个的总成本函数为 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 F(u，v)有连续的
3、偏导数，a，b，c 为常数，F u，F v不同时为零，方程 确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y-2xy=2x3满足条件 y(0)=1 的特解是 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 1， 2均是 4 维列向量，若|A|=1，|B|=2，则|A-2B|=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.设 x0，试证：2sinx+e x-e-
4、x4x。（分数：9.00）_16.计算反常积分 （分数：9.00）_17.如图，一个容积为 V(单位：立方米)的粮仓，它的顶部是高与底圆半径都是 R(单位：米)的圆锥形顶棚，底部是半径为 R 的圆形地基，侧面是高与底圆半径分别是 H(单位：米)与 R 的圆柱面形的围墙，若每平方米地基与每平方米围墙的造价是每平方米顶棚造价的两倍，求使粮仓造价最便宜的 H 与 R。（分数：11.00）_18.计算累次积分 （分数：9.00）_设 f(x)在0，+)上单调减少，且 （分数：10.00）(1).证明级数 （分数：5.00）_(2).证明级数 （分数：5.00）_已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11
5、.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求齐次方程组(i)的解；（分数：3.67）_(3).求齐次方程(ii)的解。（分数：3.67）_已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3（分数：11.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：5.50）_(2).设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP。 （分数：5.50）_19.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 A 的泊松分布，且每一顾客购买 A 种商品的概率为 p，假定各顾客是否购买 A 种商品是相互独立的，求
6、进入该超市的顾客购买 A 种商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY。（分数：11.00）_设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.00）(1).求随机变量 Y 关于 X=z 的条件密度；（分数：5.50）_(2).讨论随机变量 X 和 Y 的相关性和独立性。（分数：5.50）_考研数学三-276 答案解析(总分：148.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二元函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因为*从而 fx(x，0)=0*f x(0，0)=0，类似可得 fy(0，0)=0。故 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数
7、 fx(0，0)与 fx(0，0)都存在由于沿着路径 y=x0 有 f(x，y)| y=-x0 =1，故*即函数 f(x，y)在点(0，0)处不连续，综合以上讨论知(B)正确2.设常数 则级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因为*且级数*收敛，从而由比较判别法知正项级数*收敛，这表明交错级数*绝对收敛，故应选(B)。3.设袋中有 8 枚均匀硬币，其中 6 枚正品，2 枚次品，且次品硬币的两面均印有国徽，在袋中任取一枚硬币，将它连续投掷 3 次，已知 3 次均出现了国徽，则此枚硬币是正品的概率为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 用贝叶斯公式，设 A 表示“取到正品
8、”，B 表示“3 次均出现国徽”，根据题设，有*由全概率公式，有*于是*故应选(C)4.设 f(x)=ln(1+x2)-x2， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 因为*所以当 x0 时 f(x)是 g(x)的等价无穷小量，故应选(D)。分析二 本题也可用泰勒公式来解决。已知*，把其中的 x 换成 x2即得*又因*把其中的 x 换成 2x2即得*从而*由此可见当 x0 时 f(x)与 g(x)是等价无穷小量，故选(D)。5.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 与 B 等价是指 A 经过初等变换可得到矩阵 B，等价的前提条件是 A 和 B
9、要同型，所以选项(C)肯定不正确，要找到矩阵 A 的等价标准形就是要求出矩阵 A 的秩，本题中如果 r(A)=2，则选(A)；如果 r(A)=3，则选(B)；如果秩 r(A)和 a 有关，则选(D)，对矩阵 A 作初等变换*因为 a 和 a+3 不可能同时为 0，所以 3 阶子式*中至少有一个不为 0，那么*必有秩 r(A)=3，故应选(B)。6.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析*当 x0 时，由于*故*当 x0 时，由于*故*于是*故*，即 f(x)在点 x=0 处连续，因此选(D)。*7.设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，X 1，X 2，X 10是来自 X 的
10、简单随机样本，若 P|X-|a=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 通过计算*依题设*故*所以应选(B)8.二次型 XTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q=0C.p=1，q=1 D.与 a3，b 3有关，不能确定解析：分析 由惯性定理，经坐标变换二次型的正、负惯性指数是不变的，那么令*因为*所以()是坐标变换，那么经坐标变换()，有xTAx=y1y2再令*那么经坐标变换()，有*故 p=1，q=1，应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a 为常数
11、，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：分析一 由积分中值定理知，在 n 与 n+a 之间*，使得*当 n+时 +，于是*分析二 对变限积分函数*用拉格朗日中值定理得*分析三 x1 时考察*的单调性：*现不妨设 a0，则*又 *因此*10.已知生产某产品 x 个的总成本函数为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10）解析：分析 生产 x 个产品时的平均成本函数为*由于*从而使平均成本最小的产量 x=10 个。11.设 F(u，v)有连续的偏导数，a，b，c 为常数，F u，F v不同时为零，方程 确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）填空
12、项 1:_ （正确答案：z-c）解析：分析 将方程两边分别对 x，y 求偏导数，注意 z=z(x，y)，由复合函数求导法得*方程两边同乘(z-c) 2后分别解出*因此*12.微分方程 y-2xy=2x3满足条件 y(0)=1 的特解是 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用积分因子*同乘原微分方程两端可得*上式两端积分即得*于是微分方程的通解是*令 x=0，y(0)=1 可确定常数 C=2，故所求特解为*13.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 1， 2均是 4 维列向量，若|A|=
13、1，|B|=2，则|A-2B|=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：21）解析：分析 因为 A-2B=( 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1-2 2)，则有|A-2B|=| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1|-| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2，2 2|，又( 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1)=( 1， 2， 3， 1)*于是有 | 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1|=|A|*类似地( 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2，2 2)=( 3， 1， 2， 2)*有 | 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2，2 2|=|B
14、|*所以 |A-2B|=-7-(-28)=2114.已知随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由题设知*故*三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.设 x0，试证：2sinx+e x-e-x4x。（分数：9.00）_正确答案：(证明一 令 f(x)=2sinx+ex-e-x-4x(x0)，则f(0)=0，f(x)=2cosx+e x+e-x-4，f(0)=0，f“(x)=-2sinx+ex-e-x，f“(0)=0，f“(x)=-2cosx+ex+e-x由于 ex+e-x2，故 f“(x)0(x0，等号仅当 x=0 时成立)*f“(x)单调递增，又 f“
15、(0)=0*f“(x)0(0)*f(x)单调递增，又 f(0)=0*f(x)0(x0)*f(x)单调递增，又 f(0)=0*f(x)0(x0)，因此题设不等式成立。证明二*故当 x0 时，2sinx+e x-e-x=*证明三 当 x0 时，e x+e-x22cosx，在0，x依次积分得ex-e-x2sinx，ex+e-x-2-2cosx+2，即 ex+e-x4-2cosx，ex-e-x4x-2sinx，即 2sinx+ex-e-x4x)解析：16.计算反常积分 （分数：9.00）_正确答案：(令 ex+1=t 作换元，则 x：0+对应 t：2+，且*从而*令*其中常数 A，B，C 与 D 待定
16、，注意(*)式可改写为*于是有 t-4=At 2(t-1)+Bt(f-1)+C(t-1)+Dt3， (*)在(*)式中令 t=1 可得 D=-3，令 t=0 可得 C=4，于是(*)式可改写成*代入即得*)解析：*17.如图，一个容积为 V(单位：立方米)的粮仓，它的顶部是高与底圆半径都是 R(单位：米)的圆锥形顶棚，底部是半径为 R 的圆形地基，侧面是高与底圆半径分别是 H(单位：米)与 R 的圆柱面形的围墙，若每平方米地基与每平方米围墙的造价是每平方米顶棚造价的两倍，求使粮仓造价最便宜的 H 与 R。（分数：11.00）_正确答案：(由题设知粮食的容积*若每平方米顶棚的造价为 k 元，则粮
17、仓的总造价为*找题目要求，应求函数 W(R，H)在条件*之下的最小值点，由于函数 W(R，H)与函数*有同样的最小值点，从而可引入如下的拉格朗日函数*F(R，H，)的驻点满足*从以上第二式可得*代入第一式可得*再由第三式即可求出驻点是*因驻点唯一，且实际问题必有最低的造价，故当 H 与 R 分别取上面所求得的值时，粮仓的造价最便宜。*)解析：18.计算累次积分 （分数：9.00）_解析：设 f(x)在0，+)上单调减少，且 （分数：10.00）(1).证明级数 （分数：5.00）_正确答案：(*的前 n 项部分和为*由*知*从而有*所以*收敛，且其和为 1-f(0)。)解析：(2).证明级数
18、（分数：5.00）_正确答案：(由拉格朗日中值定理知f(n)-f(n-1)=f( 1)，f(n+1)-f(n)=f( 2)，其中 n-1 1n 2n+1，由于 f(x)单调减少，所以f(n+1)-f(n)=f( 2)f(n)f( 1)=f(n)-f(n-1)。 (*)在(*)中令 n，由夹逼定理知*故对任意的 n 有*从而级数*为正项级数。由()及正项级数的比较判别法知级数*收敛。)解析：已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：(因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii)*同解，那么(i)和(iii)的系数矩阵*有相
19、同的秩，如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0，由于*因为 a 和 a-1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3，又*当*时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解)解析：(2).求齐次方程组(i)的解；（分数：3.67）_正确答案：(由于*，基础解系为*则通解是 k ，玑其中 k 为任意实数。)解析：(3).求齐次方程(ii)的解。（分数：3.67）_正确答案：(由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1)T，则通解是 k1 1+k2 2+k3 3，其中 k1，k 2，k 3是任意实数
20、。)解析：已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3（分数：11.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：5.50）_正确答案：(由 A 1= 1，A 2=2 2，A 3=3 3，且 1， 2， 3非零可知， 1， 2， 3是 A 的不同特征值的特征向量， 1， 2， 3线性无关。又 A= 1+2 2+3 3，A 2= 1+4 2+9 3，若 k 1+k 2A+k 3A2=0，即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2+9 3)=0，则 (k 1+k2+k3)
21、1+(k1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0由 1， 2， 3线性无关，得齐次线性方程组*因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关。)解析：(2).设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP。 （分数：5.50）_正确答案：(因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6-11A+6A 2)*故*)解析：*19.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 A 的泊松分布，且每一顾客购买 A 种商品的概率为 p，假定各顾客是否购买 A 种商品是
22、相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 种商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY。（分数：11.00）_正确答案：(由题设知，*购买 A 种商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下，服从二项分布 B(m，p)，即*由全概率公式有*又因为当 mk 时，PY=k|X=m=0，所以*由此可知，Y 服从参数为 p 的泊松分布，故 EY=p。)解析：*设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.00）(1).求随机变量 Y 关于 X=z 的条件密度；（分数：5.50）_正确答案：(先求 X 的边缘密度，对任意 x0，有*对于任意 x0，有-xy+，因此*于是，X 的边缘密度*故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为*)解析：(2).讨论随机变量 X 和 Y 的相关性和独立性。（分数：5.50）_正确答案：(为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度*由于 fx(x)fy(y)f(x，y)，故 X，Y 不独立又*所以 cov(X，Y)=EXY-EXEY=0，从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关。)解析：
