1、考研数学三-275 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：12.00)1. （分数：1.00）2. （分数：1.00）3. （分数：1.00）4.若 （分数：1.00）5. （分数：1.00）6.已知 （分数：1.00）7. （分数：1.00）8. （分数：1.00）9.设 f(x)是满足 的连续函数，且当 x0 时 （分数：1.00）10.设 f(x)连续，且当 x0 时 F(x)= （分数：1.00）11.设 f(x)具有连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=6，则 （分数：1.00）12.设 f(x)在(-1，1)内具有连续的二阶导数，且
2、函数 （分数：1.00）二、解答题(总题数：14，分数：88.00)求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2).，其中常数 a0 （分数：3.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_13.求极限 （分数：6.00）_14.确定常数 a 与 b 的值，使得 （分数：6.00）_15.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：6.00）_16.确定常数 a 和 b0 的值，使函数 （分数：6.00）_17.设 f(x)在 x=1 处
3、连续，且 （分数：6.00）_18.设 f(x)在 x0 处有定义，f“(1)=2，且对任意 x0 及 y0 满足 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1) 对任意 x0，求 f(x)及 f“(x) （分数：6.00）_设 f(x)为连续函数，且 ，当 x0 时， （分数：10.00）(1).求 k 与 b 的值及 f(0)；（分数：5.00）_(2).证明 f(x)在 x=0 处可导并求 f“(0)（分数：5.00）_19.设 f(x)是周期为 3 的连续函数，f(x)在点 x=1 处可导，且满足恒等式 f(1+tanx)-4f(1-3tanx)=26x+g(x)， 其中 g(x
4、)当 x0 时是比 x 高阶的无穷小量求曲线 y=f(x)在点(4，f(4)处的切线方程 （分数：6.00）_设函数 f(x)在0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0若对任意的 x0，用函数u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图所示 （分数：6.00）(1).写出函数 u(x)的表达式，并求 （分数：3.00）_(2).求 （分数：3.00）_设某商品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，需求对价格的弹性记为 E p （分数：6.00）(1).求证：边际收益 （分数：3.00）_(2).若当价格为 P 0 ，对应
5、的需求量为 Q 0 时，边际收益 MR=0，而 R“(P 0 )=c0，且这时需求对价格的弹性 E p 满足|E p |=b1，求 P 0 和 Q 0 （分数：3.00）_20.设 y=x x +x xx ，求 y“ （分数：6.00）_考研数学三-275 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：12.00)1. （分数：1.00）解析：解析 2. （分数：1.00）解析：e -2 解析 求数列极限不可以直接用洛必达法则为了应用洛必达法则求本例中的极限，可引入函数极限 ，而所求的数列极限是这个函数极限中变量 x 取数列 的特例 引入函数 与数列 x
6、n = (n=1，2，3，)，则 且 由洛必达法则可得 故 3. （分数：1.00）解析：1 解析 先用等价无穷小因子替换： 然后用分项求极限法可得 4.若 （分数：1.00）解析： 解析 注意|x|是以 x=0 为分界点的分段函数，且 ，可见应分别求当 x0 时的左、右极限因为 所以，题中极限存在 5. （分数：1.00）解析： 解析 解法一 解法二 故 解法三 不妨取满足题设条件的一个特例来计算最简单的 f(x)是满足 的函数，于是 进而有 6.已知 （分数：1.00）解析：-(ln2) 2 解析 此时必有 利用当 x0 时的等价无穷小关系 ln(1+x)x 和 1-cosx ，把分子换为
7、 ，把分母换为 ，即得 又 4 x -1xln4，从而 7. （分数：1.00）解析： 解析 因为 把 看作函数 在 处的函数值，其中 正好是将区间0，1n 等分所得的第 k 个分点(k=1，2，n)，这时每个小区间的长度为 于是 可看作定积分 对应的积分和 ，其中 ，x k = (k=1，2，n)又因 在0，1上连续，于是在0，1上可积，故 8. （分数：1.00）解析：2ln2-1 解析 则不难发现 S n T n (n=1，2，)，其中 T n 是把0，1n 等分，且取 (k=1，2，n)时 对应的积分和，因函数 ln(1+x)在0，1上连续，故在0，1上可积，则 此外，还有 ，从而由极
8、限存在的夹逼准则得 9.设 f(x)是满足 的连续函数，且当 x0 时 （分数：1.00）解析： 6 解析 首先，由题设可得 现考察极限 ，选取 A，n 使得极限 I 为 1由洛必达法则可得 这表明 当 x0 时是与 等价的无穷小，即 A= 10.设 f(x)连续，且当 x0 时 F(x)= （分数：1.00）解析： 解析 由等价无穷小的定义及洛必达法则可得 故 11.设 f(x)具有连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=6，则 （分数：1.00）解析： 解析 引入 ，于是 F(0)=0，F“(0)=f(0)=0，F“(0)=f“(0)=6，且由洛必达法则得 由此又可得 故 12.设 f(x
9、)在(-1，1)内具有连续的二阶导数，且函数 （分数：1.00）解析：-4 解析 由题设知 且 又由洛必达法则知 即 二、解答题(总题数：14，分数：88.00)求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：本题是求“ ”型未定式的极限，可先用等价无穷小因子替换： ，然后利用洛必达法则，得 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：本题也是求“ ”型未定式的极限从分子和分母的表达式不难发现，若直接利用洛必达法则会碰到复杂的计算为简化计算过程，应当在分子和分母中分别利用等价无穷小因子代换 当 x0 时，有 e x -e sinx =e sinx
10、(e x-sinx -1) 又因 e x-sinx -1x-sinx， ，于是，分子可用 x-sinx 代换 当 x0 时， 是无穷小量，于是分母可作等价无穷小因子代换，即 于是 求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：所求极限是“-”型未定式，但现在无法经过通分化为“ ”或“ ”型的未定式，这时可从括号内提出无穷大因子 x，先化为“0”型的未定式，最后再通过换元 y= 化为“ ”型未定式求极限 (2).，其中常数 a0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：所求极限也是“-”型未定式，首先应通过变形化为“ ”型未定式后，再用洛必达法则求极限
11、令 =t，由 以及洛必达法则可得 或 求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：因 ，又 故 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：本题也是“0 0 ”型未定式y=x xx-1 =e (xx-1)lnx ， 其中 13.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解：利用当 x0 时的等价无穷小关系 sinxx 与 ln(1+x)x 可知当 x0 时 ln(1+sin 2 x)sin 2 xx 2 ，再利用极限的四则运算法则即知 其中 用洛必达法则可得 代入即知所求极限 14.确定常数 a 与 b 的值，使得 （分数：6.00）_正
12、确答案：()解析：解法一 作换元 ，并利用洛必达法则求极限，可得 由此可见，符合题目要求的常数 a 和 b 是方程组 的解，即 解法二 同解法一作换元 可得 以下利用麦克劳林公式求极限把 代入极限式，有 同解法一可得 15.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解：记 由于 b0，计算可得 从而，当 a2 时对任何 b0 以及当 a=2 且 b1 时都有 I(a，b)= 当 a=2 且 b=1 时，I(a，b)=I(2，1)是“0”型未定式，化为 型并作变量替换 ，再利用洛必达法则可得 故符合题目要求的常数 a，b，c 分别是 a=2，b=1，c= 16.确定常
13、数 a 和 b0 的值，使函数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解：当 x0 时，f(x)等于初等函数(2x 2 +cos 2 x)x -2 ，由初等函数连续性知 f(x)在(-，0)连续，且 当 x0 时 f(x)等于初等函数 ，由初等函数的连续性知 f(x)在(0，+)连续，且 从而，为使 f(x)在(-，+)上连续，必须且只需 f(x)还在点 x=0 处连续，即 f(0-0)=a=f(0+0) 17.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法一 由此即得 f(x)=3-x x +(x)-3)(x-1) 于是 f(1)= 3-x x +(x)-
14、3)(x-1)=2 进而由洛必达法则可得 即 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=-4 解法二 由题设知，当 x1 时，f(x)+x x -3 是 x-1 的同阶无穷小，从而 0= f(x)+x x -3=f(1)+1-3=f(1)-2 f(1)=2 又由极限的四则运算法则，等价无穷小代换 e y -1y(y0)和洛必达法则可得 综合即得 即 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=-4 解析 为证明 f(x)在 x=1 处可导，按定义只需证明 存在从而解决问题的关键是求出函数值 f(1)又由题设知 18.设 f(x)在 x0 处有定义，f“(1)=2，且对任意 x0 及 y0 满
15、足 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1) 对任意 x0，求 f(x)及 f“(x) （分数：6.00）_正确答案：()解析：解： 将 y=1 代入条件 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1)中，得 f(x)=f(x)+f(1) 由此可得 f(1)=0由导数定义及上述条件 即 设 f(x)为连续函数，且 ，当 x0 时， （分数：10.00）(1).求 k 与 b 的值及 f(0)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 又 代入前式 故可知 k=3， 由 (2).证明 f(x)在 x=0 处可导并求 f“(0)（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由导
16、数定义 故 f“(0)存在，即 f(x)在 x=0 处可导，且 19.设 f(x)是周期为 3 的连续函数，f(x)在点 x=1 处可导，且满足恒等式 f(1+tanx)-4f(1-3tanx)=26x+g(x)， 其中 g(x)当 x0 时是比 x 高阶的无穷小量求曲线 y=f(x)在点(4，f(4)处的切线方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解：曲线 y=f(x)在点(4，f(4)处的切线方程是 y=f(4)+f“(4)(x-4) 由 f(x)的周期性以及 f(x)在 x=1 处的可导性知 f(4)=f(1)，f“(4)=f“(1)，代入即得所求切线方程为 y=f(1)+f“(1
17、)(x-4) 由 f(x)的连续性可知 再由 f(x)在 x=1 处的可导性与 f(1)=0 可得 在式左端中作换元 tanx=t，则有 而式右端 设函数 f(x)在0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0若对任意的 x0，用函数u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图所示 （分数：6.00）(1).写出函数 u(x)的表达式，并求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：如图所示，设点 M 的坐标为(x，f(x)，点 N 的坐标为(x，0)，点 P 的坐标为(u(x)，0)，则MN 的长度是 f(x)，NP 的长度是 x-u(x)
18、，从而由导数的几何意义知 用洛必达法则可得 又因 (2).求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由洛必达法则及(1)可知 而 故 设某商品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，需求对价格的弹性记为 E p （分数：6.00）(1).求证：边际收益 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明与求解 因需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，从而存在反函数 P=P(Q)，于是边际收益 且 (2).若当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 MR=0，而 R“(P 0 )=c0，且这时需求对价格的弹性 E p 满足|E p |=b1，求 P 0 和 Q 0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明与求解 利用上一小题中所得公式，当 P=P 0 ，Q=Q 0 时，有 20.设 y=x x +x xx ，求 y“ （分数：6.00）_正确答案：()解析：解：因为 x x =e xlnx ，于是(x x )“=(e xlnx )“=e xlnx (xlnx)“=x x (1+lnx) 又因为 x xx =e xxlnx ，于是 所以
