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    【考研类试卷】考研数学三-274及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-274及答案解析.doc

    1、考研数学三-274 及答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其导函数)y=f“(x)的曲线如图所示,则 f(x)有 (分数:4.00)A.两个极小值点,一个极大值点,三个拐点B.一个极小值点,一个极大值点,两个拐点C.一个极小值点,一个极大值点,三个拐点D.一个极小值点,两个极大值点,三个拐点2.设 f(x)在a,b上可导, 且 (分数:4.00)A.恒为正B.恒为负C.恒为零D.变号3.设 (分数:4.00)A.I21I1B.I2I11C.1I2I1D.1I1I24.设有正项级数 是其部分和,则级数

    2、 (分数:4.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定5.设 A 是 3 阶矩阵,其特征值为 1,-1,-2,则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(分数:4.00)A.A+EB.A-EC.A+2ED.2A+E6.n 维向量组(): 1 , 2 , s 和向量组(): 1 , 2 , t 等价的充分必要条件是(分数:4.00)A.秩 r()=r()且 s=tB.r()=r()=nC.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价D.向量组()线性无关,向量组()线性无关且 s=t7.设事件 A,B,C 是一个完备事件组,即它们两两互不相容且其和为 ,则下列结论中一定成立的是 (分数:4

    3、.00)A.B.C.D.8.设 X 1 ,X 2 ,X n+1 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本,记 ,则 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)10.设 a 是一个常数,则 (分数:4.00)11.设 f(x,y)在(x 0 ,y 0 )某邻域有定义,且满足 f(x,y)=f(x 0 ,y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0),其中 a,b 为常数, ,则 (分数:4.00)12.设 (分数:4.00)13.已知三元二次型 (分数:4.00)14.设试验的成功率 p=20%,现在将试验独立地

    4、重复进行 100 次,则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=0.8413,(3)=0.9987) (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 (分数:-1.00)_16.证明下列命题: ()设 f(x 0 )=0,f“(x 0 )0,则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0 -,x 0 单调减少,在x 0 ,x 0 +)单调增加; ()设 f(x)在0,1连续,在(0,1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0,f“(x)0(x(0,1),则 f(x)0(x(0,1)又设 (分数:

    5、-1.00)_17.设二元可微函数 F(x,y)在直角坐标系中可写成 F(x,y)=f(x)+g(y),其中 f(x),g(y)均为可微函数,而在极坐标系中可写成 (分数:-1.00)_18.设平面区域 (分数:-1.00)_19.设 P 和 q 都是实数,讨论级数 (分数:-1.00)_20.已知 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵, 1 , 2 , 3 , 4 是 4 维列向量,若方程组 Ax= 的通解是(1,2,2,1) T +k(1,-2,4,0) T ,又 B=( 3 , 2 , 1 ,- 4 ),求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 (分数:-1.00)_21.已

    6、知矩阵 (分数:-1.00)_22.假设男孩的出生率为 51%,同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍,已知一双胞胎第一个是男孩,试求第二个也是男孩的概率 (分数:-1.00)_23.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,且 X 1 -N(0,1),X 2 服从 的指数分布,试求: () (分数:-1.00)_考研数学三-274 答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其导函数)y=f“(x)的曲线如图所示,则 f(x)有 (分数:4.00)A.两个极小值点,一个极大值点,三个拐点B.一个极小值点,一个极

    7、大值点,两个拐点C.一个极小值点,一个极大值点,三个拐点 D.一个极小值点,两个极大值点,三个拐点解析:解析 由图可知,f“(x)有两个零点:x 1 0,x 2 0,且在 x 1 两侧 f“(x)由正变为负,即f(x)先增后减,于是 x 1 为极大值点;类似分析可知 x 2 为极小值点x=0 为 f“(x)不存在的点(第二类间断点),在 x=0 两侧均有 f“(x)0,因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f“(x)由减函数变为增函数,由此可断定(0,f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外,除 x=0 点外,考察 f“(x)的增减性,还有两个点使 f“(x)在它们的两侧改变增减性,因此

    8、曲线y=f(x)在这两点也取得拐点 综合上述分析,应选(C) 2.设 f(x)在a,b上可导, 且 (分数:4.00)A.恒为正B.恒为负C.恒为零 D.变号解析:解析 设 ,若 F(x)在(a,b)内可取正值,由于 F(a)=F(b)=0,故 F(x)在(a,b)内存在最大值且为正,从而知 F(x)必在(a,b)内存在正的极大值,记该极大值点为 x 0 ,于是 F“(x 0 )=0,F(x 0 )0 ,代入原方程,得 3.设 (分数:4.00)A.I21I1B.I2I11 C.1I2I1D.1I1I2解析:解析 将 1 也写成一个定积分 所以 4.设有正项级数 是其部分和,则级数 (分数:4

    9、.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析:解析 首先考察级数 由 S n 与 a n 的关系: S n = 1 + 2 + n-1 + n , n =S n -S n-1 , 将一般项 改写成只与 S n 有关,即 因正项级数的部分和数列 S n 单调上升,上式可放大成 再考察级数 的部分和 T n 易求出 5.设 A 是 3 阶矩阵,其特征值为 1,-1,-2,则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(分数:4.00)A.A+EB.A-EC.A+2ED.2A+E 解析:解析 由于 故 A 可逆6.n 维向量组(): 1 , 2 , s 和向量组(): 1 , 2 , t 等价的充分

    10、必要条件是(分数:4.00)A.秩 r()=r()且 s=tB.r()=r()=nC.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价 D.向量组()线性无关,向量组()线性无关且 s=t解析:解析 向量组等价的必要条件是秩相等,等价与向量的个数无关例如: 向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(0,1,0),(0,2,0)的秩相等,但它们不等价; 向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(3,0,0)等价,但向量个数不同, 故(A)不正确 r()=r()=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件,不必要例如,向量组(1,0,0),(0,1,0)与向量组(2,0,0),(0,2,

    11、0)等价,但秩不为 n故(B)不正确 向量组()与向量组()的极大无关组等价,向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价,由等价的传递性自然有向量组()与向量组()等价,反之亦对故(C)正确应选(C) 注意,等价与向量组的相关、无关没有必然的联系,故(D)不正确7.设事件 A,B,C 是一个完备事件组,即它们两两互不相容且其和为 ,则下列结论中一定成立的是 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 ,而任何事件与概率为 1 的事件都独立,因此应选(C) 8.设 X 1 ,X 2 ,X n+1 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本

    12、,记 ,则 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由于 X 1 ,X 2 ,X n+1 相互独立,当 ij 时,cov(X i ,X j )=0;当 i=j 时,cov(X i ,X i )= 2 ,所以 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)解析: 解析 由定积分的几何意义知 (这是以原点为心,半径为 x 的圆在第一象限部分的面积) 再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分: 当 0x1 时 当 x1 时 于是 为求 f(x)在(0,+)上的最小值,先求 f“(x) 由 单调增加,从而 f(x)的最小值是 10.设 a 是一个常数,则 (分数:4.

    13、00)解析: 解析 故 11.设 f(x,y)在(x 0 ,y 0 )某邻域有定义,且满足 f(x,y)=f(x 0 ,y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0),其中 a,b 为常数, ,则 (分数:4.00)解析: 解析 由 f(x,y)=f(x 0 ,y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0)即知 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处可微且 12.设 (分数:4.00)解析: 解析 由于 f(x)在 x=0 的幂级数展开式包含 f (n) (0)(n=1,2,3,),应先求 f(x)的幂级数展开式 从而 记 ,则 于是 13.已知三元二次型

    14、 (分数:4.00)解析: 解析 二次型矩阵 因为|A|=(a+2)(a-1) 2 ,由秩 r(A)=2,易见 a=-2由 可知矩阵 A 的特征值为 3,-3,0从而正交变换下二次型标准形为 ,故其规范形为 14.设试验的成功率 p=20%,现在将试验独立地重复进行 100 次,则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=0.8413,(3)=0.9987) (分数:4.00)解析:0.84 解析 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数”,则 X 服从参数为 n=100,p=0.20 的二项分布,且 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N

    15、(0,1),于是 三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:分析与证明 注意 f(x)在 先求 f“(x)=- 2 x(1-x)sinx+(1-2x)cosx-(1-2x)cosx+2sinx 其中 g(x)=2- 2 x(1-x) 显然,f“(x)的正负号取决于 g(x)的正负号,用单调性方法判断 g(x)的符号由于 故 g(x)在 单调下降,又因 ,从而存在唯一的 x 0 使 g(x 0 )=0又由 即知 从而 故 16.证明下列命题: ()设 f(x 0 )=0,f“(x 0

    16、 )0,则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0 -,x 0 单调减少,在x 0 ,x 0 +)单调增加; ()设 f(x)在0,1连续,在(0,1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0,f“(x)0(x(0,1),则 f(x)0(x(0,1)又设 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:分析与证明 ()由二阶导数定义 及极限的不等式性质 故 f(x)在 ()由假设条件及罗尔定理知,存在 a(0,1),f“(a)=0由 f“(x)在(0,1) 知 下证另一结论 方法 1 要证: 零点作辅助函数 在0,1连续,在(0,1)可导,F(0)=f(0)=0再找 F(x)在(0,1)的一个零点由 F(a

    17、)=f(a)-Ma=M(1-a)0, F(1)=f(1)-M=-M0 在0 0,1上对 F(x)用罗尔定理 f“()=M 方法 2 作辅助函数 F(x)=f(x)-Mx,由 F(x)在0,1连续,在(0,1)可导,且 F(0)=0,F(a)=M(1-a)0,F(1)=-M0 F(x)在0,1的最大值不能在 x=0 或 x=1 取到 由费马定理 F“()=0,即 f“()=M 方法 3 先证 M 是 f“(x)的某一中间值由 a(0,1), 0,又由拉格朗日中值定理, 使得 亦即 f“(a)Mf“() 由连续函数中间值定理 最后证唯一性由 f“(x)0(x(0,1) f“()=M 17.设二元可

    18、微函数 F(x,y)在直角坐标系中可写成 F(x,y)=f(x)+g(y),其中 f(x),g(y)均为可微函数,而在极坐标系中可写成 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:分析与求解 由题设可知,在极坐标系中 F(x,y)与 无关,于是 再由 F(x,y)=f(x)+g(y)得 代入式得 由 f“(x)=x,g“(y)=y 分别得 因此 F(x,y)=f(x)+g(y)=C(x 2 +y 2 )+C 0 ,其中 C 与 C 0 为 18.设平面区域 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 将 D 分成第 1,2,3,4 象限中的 4 块,分别记为 D 1 ,D 2 ,D 3 ,D

    19、4 ,用极坐标,先对D 1 进行积分: 根据对称性,被积函数关于 x,y 均为偶函数,且积分区域关于 y 轴,x 轴对称,故 19.设 P 和 q 都是实数,讨论级数 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 分 p,q 不同取值的情况讨论 论 p 与 q 同为正数的情形 若 p=1 且 q=1,这时题目中的级数成为调和级数 +,级数是条件收敛的 即题目中的级数必发散 若 0p1 且 0q1,这时分 p=q 与 pq 两种情形讨论对于前者,这时级数成为 是交错级数,由莱布尼兹判别法知此级数收敛,且为条件收敛 对于后者,无妨设 0pq1,这时级数成为 注意其中相邻两项之差 20.已知 A=(

    20、 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵, 1 , 2 , 3 , 4 是 4 维列向量,若方程组 Ax= 的通解是(1,2,2,1) T +k(1,-2,4,0) T ,又 B=( 3 , 2 , 1 ,- 4 ),求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 由方程组 Ax= 的解的结构,可知 r(A)=r( 1 , 2 , 3 , 4 )=3, 且 1 +2 2 +2 3 + 4 =, 1 -2 2 +4 3 =0 因为 B=( 3 , 2 , 1 ,- 4 )=( 3 , 2 , 1 , 1 +2 2 +2 3 ),且 1 , 2 , 3 线

    21、性相关,而知秩 r(B)=2 可知(4,-2,1,0) T ,(2,-4,0,1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解 故 Bx= 1 - 2 的通解是:(0,-1,1,0) T +k 1 (4,-2,1,0) T +k 2 (2,-4,0,1) T 21.已知矩阵 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 ()因为 A T =A,则(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P,又 构造二次型 经配方,有 那么, 则二次型化为标准形 于是,二次型合同故 22.假设男孩的出生率为 51%,同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍,已知一双胞胎第一个是男孩,试求第二个也是男孩的概

    22、率 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 设 A i 表示第 i 个婴儿是男孩, 表示第 i 个婴儿是女孩,i=1,2所求的概率为 由已知条件有 上述 3 个方程含有 4 个未知数,故还需再建立一个方程由于 于是得方程组 故 23.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,且 X 1 -N(0,1),X 2 服从 的指数分布,试求: () (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 依题意 X 1 与 X 2 的概率密度分别为 () 的分布函数记为 F x (x),则 当 x0 时, ,从而 于是 X 的概率密度为 ()由于 X 1 与 X 2 独立,故 (即 X)与 X 2 也独立,根据独立随机变量之和的卷积公式 由于只有当 x0 且 y-x0 即 0xy 时,被积函数才不为 0,因此 于是 y 的概率密度为 () 方法 1 因 X 1 N(0,1),故 EX 1 =0,DX 1 =1, ;又 X 2 服从参数 的指数分布,故 于是 又 由于 与 X 2 独立,而独立随机变量之和的方差等于其方差的和,故 方法 2 故 DY=Ey 2 -(EY) 2 =15-9=6


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