1、考研数学三-274 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数)y=f“(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：4.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点2.设 f(x)在a，b上可导， 且 （分数：4.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为零D.变号3.设 （分数：4.00）A.I21I1B.I2I11C.1I2I1D.1I1I24.设有正项级数 是其部分和，则级数
2、 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（分数：4.00）A.A+EB.A-EC.A+2ED.2A+E6.n 维向量组()： 1 ， 2 ， s 和向量组()： 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：4.00）A.秩 r()=r()且 s=tB.r()=r()=nC.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价D.向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t7.设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是 （分数：4
3、.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.设 a 是一个常数，则 （分数：4.00）11.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )某邻域有定义，且满足 f(x，y)=f(x 0 ，y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.已知三元二次型 （分数：4.00）14.设试验的成功率 p=20%，现在将试验独立地
4、重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=0.8413，(3)=0.9987) （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 （分数：-1.00）_16.证明下列命题： ()设 f(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0 -，x 0 单调减少，在x 0 ，x 0 +)单调增加； ()设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f“(x)0(x(0，1)，则 f(x)0(x(0，1)又设 （分数：
5、-1.00）_17.设二元可微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 （分数：-1.00）_18.设平面区域 （分数：-1.00）_19.设 P 和 q 都是实数，讨论级数 （分数：-1.00）_20.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：-1.00）_21.已
6、知矩阵 （分数：-1.00）_22.假设男孩的出生率为 51%，同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率 （分数：-1.00）_23.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，且 X 1 -N(0，1)，X 2 服从 的指数分布，试求： () （分数：-1.00）_考研数学三-274 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数)y=f“(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：4.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极
7、大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点 D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点解析：解析 由图可知，f“(x)有两个零点：x 1 0，x 2 0，且在 x 1 两侧 f“(x)由正变为负，即f(x)先增后减，于是 x 1 为极大值点；类似分析可知 x 2 为极小值点x=0 为 f“(x)不存在的点(第二类间断点)，在 x=0 两侧均有 f“(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f“(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f“(x)的增减性，还有两个点使 f“(x)在它们的两侧改变增减性，因此
8、曲线y=f(x)在这两点也取得拐点 综合上述分析，应选(C) 2.设 f(x)在a，b上可导， 且 （分数：4.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为零 D.变号解析：解析 设 ，若 F(x)在(a，b)内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x 0 ，于是 F“(x 0 )=0，F(x 0 )0 ，代入原方程，得 3.设 （分数：4.00）A.I21I1B.I2I11 C.1I2I1D.1I1I2解析：解析 将 1 也写成一个定积分 所以 4.设有正项级数 是其部分和，则级数 （分数：4
9、.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析：解析 首先考察级数 由 S n 与 a n 的关系： S n = 1 + 2 + n-1 + n ， n =S n -S n-1 ， 将一般项 改写成只与 S n 有关，即 因正项级数的部分和数列 S n 单调上升，上式可放大成 再考察级数 的部分和 T n 易求出 5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（分数：4.00）A.A+EB.A-EC.A+2ED.2A+E 解析：解析 由于 故 A 可逆6.n 维向量组()： 1 ， 2 ， s 和向量组()： 1 ， 2 ， t 等价的充分
10、必要条件是（分数：4.00）A.秩 r()=r()且 s=tB.r()=r()=nC.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价 D.向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t解析：解析 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如： 向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价； 向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同， 故(A)不正确 r()=r()=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，
11、0)等价，但秩不为 n故(B)不正确 向量组()与向量组()的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组()与向量组()等价，反之亦对故(C)正确应选(C) 注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确7.设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ，而任何事件与概率为 1 的事件都独立，因此应选(C) 8.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本
12、，记 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 X 1 ，X 2 ，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X i ，X j )=0；当 i=j 时，cov(X i ，X i )= 2 ，所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析： 解析 由定积分的几何意义知 (这是以原点为心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积) 再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分： 当 0x1 时 当 x1 时 于是 为求 f(x)在(0，+)上的最小值，先求 f“(x) 由 单调增加，从而 f(x)的最小值是 10.设 a 是一个常数，则 （分数：4.
13、00）解析： 解析 故 11.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )某邻域有定义，且满足 f(x，y)=f(x 0 ，y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 f(x，y)=f(x 0 ，y 0 )+a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+o()(0)即知 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微且 12.设 （分数：4.00）解析： 解析 由于 f(x)在 x=0 的幂级数展开式包含 f (n) (0)(n=1，2，3，)，应先求 f(x)的幂级数展开式 从而 记 ，则 于是 13.已知三元二次型
14、 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 因为|A|=(a+2)(a-1) 2 ，由秩 r(A)=2，易见 a=-2由 可知矩阵 A 的特征值为 3，-3，0从而正交变换下二次型标准形为 ，故其规范形为 14.设试验的成功率 p=20%，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=0.8413，(3)=0.9987) （分数：4.00）解析：0.84 解析 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数”，则 X 服从参数为 n=100，p=0.20 的二项分布，且 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N
15、(0，1)，于是 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与证明 注意 f(x)在 先求 f“(x)=- 2 x(1-x)sinx+(1-2x)cosx-(1-2x)cosx+2sinx 其中 g(x)=2- 2 x(1-x) 显然，f“(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 故 g(x)在 单调下降，又因 ，从而存在唯一的 x 0 使 g(x 0 )=0又由 即知 从而 故 16.证明下列命题： ()设 f(x 0 )=0，f“(x 0
16、 )0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0 -，x 0 单调减少，在x 0 ，x 0 +)单调增加； ()设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f“(x)0(x(0，1)，则 f(x)0(x(0，1)又设 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与证明 ()由二阶导数定义 及极限的不等式性质 故 f(x)在 ()由假设条件及罗尔定理知，存在 a(0，1)，f“(a)=0由 f“(x)在(0，1) 知 下证另一结论 方法 1 要证： 零点作辅助函数 在0，1连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0再找 F(x)在(0，1)的一个零点由 F(a
17、)=f(a)-Ma=M(1-a)0， F(1)=f(1)-M=-M0 在0 0，1上对 F(x)用罗尔定理 f“()=M 方法 2 作辅助函数 F(x)=f(x)-Mx，由 F(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 F(0)=0，F(a)=M(1-a)0，F(1)=-M0 F(x)在0，1的最大值不能在 x=0 或 x=1 取到 由费马定理 F“()=0，即 f“()=M 方法 3 先证 M 是 f“(x)的某一中间值由 a(0，1)， 0，又由拉格朗日中值定理， 使得 亦即 f“(a)Mf“() 由连续函数中间值定理 最后证唯一性由 f“(x)0(x(0，1) f“()=M 17.设二元可
18、微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 由题设可知，在极坐标系中 F(x，y)与 无关，于是 再由 F(x，y)=f(x)+g(y)得 代入式得 由 f“(x)=x，g“(y)=y 分别得 因此 F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x 2 +y 2 )+C 0 ，其中 C 与 C 0 为 18.设平面区域 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 将 D 分成第 1，2，3，4 象限中的 4 块，分别记为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D
19、4 ，用极坐标，先对D 1 进行积分： 根据对称性，被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 y 轴，x 轴对称，故 19.设 P 和 q 都是实数，讨论级数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 分 p，q 不同取值的情况讨论 论 p 与 q 同为正数的情形 若 p=1 且 q=1，这时题目中的级数成为调和级数 +，级数是条件收敛的 即题目中的级数必发散 若 0p1 且 0q1，这时分 p=q 与 pq 两种情形讨论对于前者，这时级数成为 是交错级数，由莱布尼兹判别法知此级数收敛，且为条件收敛 对于后者，无妨设 0pq1，这时级数成为 注意其中相邻两项之差 20.已知 A=(
20、 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3， 且 1 +2 2 +2 3 + 4 =， 1 -2 2 +4 3 =0 因为 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )，且 1 ， 2 ， 3 线
21、性相关，而知秩 r(B)=2 可知(4，-2，1，0) T ，(2，-4，0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解 故 Bx= 1 - 2 的通解是：(0，-1，1，0) T +k 1 (4，-2，1，0) T +k 2 (2，-4，0，1) T 21.已知矩阵 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()因为 A T =A，则(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P，又 构造二次型 经配方，有 那么， 则二次型化为标准形 于是，二次型合同故 22.假设男孩的出生率为 51%，同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概
22、率 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 设 A i 表示第 i 个婴儿是男孩， 表示第 i 个婴儿是女孩，i=1，2所求的概率为 由已知条件有 上述 3 个方程含有 4 个未知数，故还需再建立一个方程由于 于是得方程组 故 23.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，且 X 1 -N(0，1)，X 2 服从 的指数分布，试求： () （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 依题意 X 1 与 X 2 的概率密度分别为 () 的分布函数记为 F x (x)，则 当 x0 时， ，从而 于是 X 的概率密度为 ()由于 X 1 与 X 2 独立，故 (即 X)与 X 2 也独立，根据独立随机变量之和的卷积公式 由于只有当 x0 且 y-x0 即 0xy 时，被积函数才不为 0，因此 于是 y 的概率密度为 () 方法 1 因 X 1 N(0，1)，故 EX 1 =0，DX 1 =1， ；又 X 2 服从参数 的指数分布，故 于是 又 由于 与 X 2 独立，而独立随机变量之和的方差等于其方差的和，故 方法 2 故 DY=Ey 2 -(EY) 2 =15-9=6
