1、考研数学三-273 及答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f“(x)0(x(a,b),又 (分数:4.00)A.2.在反常积分 (分数:4.00)A.3.设函数 F(x,y)在(x 0 ,y 0 )某邻域有连续的二阶偏导数,且 F(x 0 ,y 0 )=F“ x (x 0 ,y 0 )=0,F“ y (x 0 ,y 0 )0,F“ xx (x 0 ,y 0 )0由方程 F(x,y)=0 在 x 0 的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续的二阶导数,且 y(x 0 )=y 0
2、,则 (A) y(x)以 x=x 0 为极大值点 (B) y(x)以 x=x 0 为极小值点 (C) y(x)在 x=x 0 不取极值 (D) (x 0 ,y(x 0 )是曲线 y=y(x)的拐点 (分数:4.00)A.4.已知幂级数 (分数:4.00)A.5.下列矩阵中属于正定矩阵的是 (分数:4.00)A.6.设 n 维向量 1 , 2 , s 的秩为 r,则下列命题正确的是 (A) 1 , 2 , s 中任何 r-1 个向量必线性无关 (B) 1 , 2 , s 中任何 r 个向量必线性无关 (C) 如果 sn,则 s 必可由 1 , 2 , s-1 线性表示 (D) 如果 r=n,则任
3、何 n 维向量必可由 1 , 2 , s 线性表示 (分数:4.00)A.7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和 S 2 分别为样本均值和样本方差,已知 ,则 a 的值为 (A) -1 (B) 1 (分数:4.00)A.8.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立, (分数:4.00)A.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)10.设函数 f(x)在(0,+)上连续,对任意的正数 a 与 b 积分 (分数:4.00)11.设 (分数:4.00)12.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y
4、 t =16(t+1)4 t 满足初值)y 0 =3 的特解是 y t = 1 (分数:4.00)13.已知 A 是 3 阶矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,如果矩阵 A 的特征值是 1,2,3,那么矩阵(A * ) * 的最大特征值是 1 (分数:4.00)14.设随机变量 X 的概率分布为 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.设函数 ,其中 n=1,2,3,为任意自然数,f(x)为0,+)上正值连续函数求证: ()F n (x)在(0,+)存在唯一零点 x n ; () 收敛; () (分数:-1.00)_16.设 b 为常数 ()求曲线 L: (分数:-1.
5、00)_17.求 f(x,y,z)=2x+2y-z 2 +5 在区域 :x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值 (分数:-1.00)_18.设 (分数:-1.00)_19.设某企业生产一种产品,其成本 ,当边际收益 MR=44,需求价格弹性 (分数:-1.00)_20.设 且 B=P -1 AP ()求矩阵 A 的特征值与特征向量; ()当 (分数:-1.00)_21.设 A 为三阶方阵, 为三维列向量,已知向量组 ,A,A 2 线性无关,且 A 3 =3A-2A 2 证明:()矩阵 B=(,A,A 4 )可逆; ()B T B 是正定矩阵 (分数:-1.00)_22.设二维连续型
6、随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布,其中 D=(x,y)|0yx2-y 试求:()X+Y 的概率密度; ()X 的边缘概率密度; ()PY0.2|X=1.5 (分数:-1.00)_23.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:-1.00)_考研数学三-273 答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f“(x)0(x(a,b),又 (分数:4.00)A.解析:解析 由题设知 y=f(x)是a,b上的凹函数,借助几何直观我们就可选出正确答案L,M,N 分别代表梯形 ABC
7、D,梯形 ABFGE 与曲边梯形 ABCGD 的面积(如图(1),G 是点 ,EF 是曲线 y=f(x)在点 G 处的切线于是由面积的大小关系可得,LNM故选(B) 分析二 y=f(x)是a,b上的凹函数,由凹函数的性质可知 (几何意义是:弦 在曲线 y=f(x)(x(a,b)的上方,除 G 点外曲线 y=f(x)(xa,b)在曲线上G 点的切线 EF 的上方,如图(2) 将不等式中各项求积分得 其中 因此 LNM故选(B) 2.在反常积分 (分数:4.00)A.解析:解析 由题设选项可知,这 4 个反常积分中有两个收敛,两个发散 方法 1 找出其中两个收敛的 知收敛 由 知收敛 因此选(B)
8、 方法 2 找出其中两个发散的对于:由 发散,即发散 可知 3.设函数 F(x,y)在(x 0 ,y 0 )某邻域有连续的二阶偏导数,且 F(x 0 ,y 0 )=F“ x (x 0 ,y 0 )=0,F“ y (x 0 ,y 0 )0,F“ xx (x 0 ,y 0 )0由方程 F(x,y)=0 在 x 0 的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续的二阶导数,且 y(x 0 )=y 0 ,则 (A) y(x)以 x=x 0 为极大值点 (B) y(x)以 x=x 0 为极小值点 (C) y(x)在 x=x 0 不取极值 (D) (x 0 ,y(x 0 )是曲线 y=y(x)的拐点 (分数:
9、4.00)A.解析:解析 按隐函数求导法知 y“(x)满足 令 x=x 0 ,相应地 y=y 0 得 y“(x 0 )=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得 再令 x=x 0 ,相应地 y=y 0 得 因 4.已知幂级数 (分数:4.00)A.解析:解析 ,知该幂级数的收敛半径为 1,从而得其收敛区间为|x-a|1,即 a-1xa+1 又当 x-a=1 即 x=a+1 时,原级数为 ,收敛;当 x-a=-1 即 x=a-1 时,原级数为 5.下列矩阵中属于正定矩阵的是 (分数:4.00)A.解析:解析 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0,正定的必要条件是 a ii 0 (C)中
10、 a 33 =-10,必不正定;(A)中二阶顺序主子式 6.设 n 维向量 1 , 2 , s 的秩为 r,则下列命题正确的是 (A) 1 , 2 , s 中任何 r-1 个向量必线性无关 (B) 1 , 2 , s 中任何 r 个向量必线性无关 (C) 如果 sn,则 s 必可由 1 , 2 , s-1 线性表示 (D) 如果 r=n,则任何 n 维向量必可由 1 , 2 , s 线性表示 (分数:4.00)A.解析:解析 r( 1 , 2 , s )=r 7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和 S 2 分别为样本均值和样
11、本方差,已知 ,则 a 的值为 (A) -1 (B) 1 (分数:4.00)A. 解析:解析 依题意有 ,又由题设 8.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立, (分数:4.00)A.解析:解析 根据林德伯格-列维中心极限定理,如果 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立同分布且期望、方差都存在,只有(C)满足该定理条件,因此应选(C)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)解析:6 解析 其中 sinxtanx由于 又 所以原极限=3+3=6 分析二 利用泰勒公式求解由于 于是 10.设函数 f(x)在(0,+)上连续,对任意的正数 a 与 b 积分 (
12、分数:4.00)解析: 解析 由 的值与 a 无关,所以 ,即等式 f(ab)b-f(a)=0 对任意正数 a 成立,特别对 a=1 亦应成立,即对任何正数 b 有 f(b)b-f(1)=0, ,从而 验算可知 11.设 (分数:4.00)解析: 解析 这是一元函数 与二元函数 t=xy 2 的复合函数,由一阶全微分形式不变性可得 分析二 先求偏导数: 于是 12.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y t =16(t+1)4 t 满足初值)y 0 =3 的特解是 y t = 1 (分数:4.00)解析:(2t 2 +2t+3)4 t 解析 应设特解为 y t =(At 2 +Bt+C)4 t
13、 ,其中 A,B,C 为待定常数令t=0 可得 y 0 =C,利用初值 y 0 =3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 y t =(At 2 +Bt+3)4 t 把 y t+1 =A(t+1) 2 +B(t+1)+34 t+1 =4At 2 +(2A+B)t+A+B+34 t 与 y t 代入方程可得 y t+1 -4y t =4(2At+A+B)4 t , 由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2At+A+B)=16(t+1) 13.已知 A 是 3 阶矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,如果矩阵 A 的特征值是 1,2,3,那么矩阵(A * ) * 的最大特征值是 1 (分数:4
14、.00)解析:18 解析 因为 14.设随机变量 X 的概率分布为 (分数:4.00)解析: 解析 首先我们注意到该分布不考虑 a 时,与二项分布仅差 k=0 的一项,先利用概率分布的和等于 1 求出常数 a,再用二项分布的期望求 EX由 于是 三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.设函数 ,其中 n=1,2,3,为任意自然数,f(x)为0,+)上正值连续函数求证: ()F n (x)在(0,+)存在唯一零点 x n ; () 收敛; () (分数:-1.00)_正确答案:()解析:分析与证明 ()F n (x)在0,+)内可导(也就必然连续),又 故 F n (x)在 存在零点,记
15、为 x n ,则 F n (x n )=0又 从而 F n (x)在0,+)单调上升,因此 F n (x)在(0,+)有唯一零点,就是这个 x n ()在前面的证明中已得估计式 () 方法 1 前面已导出 从而对 有 又 方法 2 直接由 同样得 16.设 b 为常数 ()求曲线 L: (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 ()求 的斜渐近线由于 所以斜渐近线方程为 y=2x-4 ()面积 如果 2b+15+10,即如果 b-8,无论 b-8 还是 6-8,均有 ,从而与 A 为有限值矛盾当b=-8 时有 ,故此时所求的面积 17.求 f(x,y,z)=2x+2y-z 2 +5 在区域
16、 :x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:分析与求解 f(x,y,z)在有界闭区域 上连续,一定存在最大、最小值 第一步,先求 f(x,y,z)在 内的驻点 由 知 f(x,y,z)在 内无驻点,因此 f(x,y,z)在力的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步,求 f(x,y,z)在 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =2 上的最大、最小值,即求 f(x,y,z)在条件 x 2 +y 2 +z 2 -2=0 下的最大、最小值 令 F(x,y,z,)=2x+2y-z 2 +5+(x 2 +y 2 +z 2 -2),解方程组 由,知
17、x=y,由知 z=0 或 =1由 x=y,z=0 代入知 x=y=1,z=0当 =1 时由,也得 x=y=-1,z=0因此得驻点 P 1 (-1,-1,0)与 P 2 (1,1,0)计算得知 f(P 1 )=1,f(P 2 )=9 因此,f(x,y,z)在 的最大值为 9,最小值为 1 18.设 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 如图,用 x 2 +y 2 =1 将 D 分成三块,中间一块记为 D 3 ,左、右两块分别记为 D 1 与 D 2 ,从而 于是 而 所以 故 原式 19.设某企业生产一种产品,其成本 ,当边际收益 MR=44,需求价格弹性 (分数:-1.00)_正确答案
18、:()解析:解 收益函数 ,当取得最大利润时,边际收益等于边际成本, 即 MR=MC 又 MR=R“=a-bQ,于是 44=C“(Q)=2Q 2 -32Q+100,即 Q 2 -16Q+28=0 解得 Q 1 =14,Q 2 =2 又 故当 ,企业利润取极大值 由于 又 20.设 且 B=P -1 AP ()求矩阵 A 的特征值与特征向量; ()当 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 ()由矩阵 A 的特征多项式 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =1, 3 =-3 由齐次线性方程组(E-A)x=0, 得基础解系 1 =(-4,1,2) T 由齐次方程组(-3E-A)x=0, 得基础
19、解系 2 =(-2,1,1) T 因此,矩阵 A 关于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 k 1 (-4,1,2) T ,k 1 0;而关于特征值 =-3 的特征向量为 k 2 (-2,1,1) T ,k 2 0 () ()由 P -1 AP=B 有 P -1 A 100 P=B 100 ,故 A 100 =PB 100 P -1 又 于是 21.设 A 为三阶方阵, 为三维列向量,已知向量组 ,A,A 2 线性无关,且 A 3 =3A-2A 2 证明:()矩阵 B=(,A,A 4 )可逆; ()B T B 是正定矩阵 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:证明 ()由于 A 3 =3
20、A-2A 2 ,故 A 4 =3A 2 -2A 3 =3A 2 -2(3A-2A 2 )=7A 2 -6A 若 k 1 +k 2 A+k 3 A 4 =0,即 k 1 +k 2 A+k 3 (7A 2 -6A)=0, 亦即 k 1 +(k 2 -6k 3 )A+7k 3 A 2 =0,因为 ,A,A 2 线性无关,故 所以,A,A 4 线性无关,因而矩阵 B 可逆 ()因为(B T B) T =B T (B T ) T =B T B,故 B T B 是对称矩阵又 ,由于矩阵 B 可逆,恒有Bx0,那么恒有 x T (B T B)x=(Bx) T (Bx)0,故二次型 x T (B T B)x
21、是正定二次型,从而矩阵 B T B是正定矩阵 22.设二维连续型随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布,其中 D=(x,y)|0yx2-y 试求:()X+Y 的概率密度; ()X 的边缘概率密度; ()PY0.2|X=1.5 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:如图,区域 D 即 AOB 的面积 S D =1,因此(X,Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z),则当 z0 时,F(z)=0;当 z2 时,F(z)=1;当 0z2 时, 于是 X+Y 的概率密度 f(z)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x,z-x)只有在 0z-xx2-(z-x)时才不为 0,即只有当 () ()当 X=1.5 时 f X (1.5)=0.5,条件密度 故 23.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解 ()先求 X 的边缘密度对任意 x0,有 对于任意 x0,有-xy+,因此 于是,X 的边缘密度 故对于任意 x,随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 ()为判断独立性,需再求 Y 的边缘密度 由于 f X (x)f Y (y)f(x,y),故 X,Y 不独立 又