1、考研数学三-273 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 （分数：4.00）A.2.在反常积分 （分数：4.00）A.3.设函数 F(x，y)在(x 0 ，y 0 )某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x 0 ，y 0 )=F“ x (x 0 ，y 0 )=0，F“ y (x 0 ，y 0 )0，F“ xx (x 0 ，y 0 )0由方程 F(x，y)=0 在 x 0 的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x 0 )=y 0
2、，则 (A) y(x)以 x=x 0 为极大值点 (B) y(x)以 x=x 0 为极小值点 (C) y(x)在 x=x 0 不取极值 (D) (x 0 ，y(x 0 )是曲线 y=y(x)的拐点 （分数：4.00）A.4.已知幂级数 （分数：4.00）A.5.下列矩阵中属于正定矩阵的是 （分数：4.00）A.6.设 n 维向量 1 ， 2 ， s 的秩为 r，则下列命题正确的是 (A) 1 ， 2 ， s 中任何 r-1 个向量必线性无关 (B) 1 ， 2 ， s 中任何 r 个向量必线性无关 (C) 如果 sn，则 s 必可由 1 ， 2 ， s-1 线性表示 (D) 如果 r=n，则任
3、何 n 维向量必可由 1 ， 2 ， s 线性表示 （分数：4.00）A.7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和 S 2 分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 a 的值为 (A) -1 (B) 1 （分数：4.00）A.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立， （分数：4.00）A.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 f(x)在(0，+)上连续，对任意的正数 a 与 b 积分 （分数：4.00）11.设 （分数：4.00）12.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y
4、 t =16(t+1)4 t 满足初值)y 0 =3 的特解是 y t = 1 （分数：4.00）13.已知 A 是 3 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A * ) * 的最大特征值是 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的概率分布为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 ，其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证： ()F n (x)在(0，+)存在唯一零点 x n ； () 收敛； () （分数：-1.00）_16.设 b 为常数 ()求曲线 L： （分数：-1.
5、00）_17.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2 +5 在区域 ：x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值 （分数：-1.00）_18.设 （分数：-1.00）_19.设某企业生产一种产品，其成本 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 （分数：-1.00）_20.设 且 B=P -1 AP ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()当 （分数：-1.00）_21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 证明：()矩阵 B=(，A，A 4 )可逆； ()B T B 是正定矩阵 （分数：-1.00）_22.设二维连续型
6、随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2-y 试求：()X+Y 的概率密度； ()X 的边缘概率密度； ()PY0.2|X=1.5 （分数：-1.00）_23.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：-1.00）_考研数学三-273 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 （分数：4.00）A.解析：解析 由题设知 y=f(x)是a，b上的凹函数，借助几何直观我们就可选出正确答案L，M，N 分别代表梯形 ABC
7、D，梯形 ABFGE 与曲边梯形 ABCGD 的面积(如图(1)，G 是点 ，EF 是曲线 y=f(x)在点 G 处的切线于是由面积的大小关系可得，LNM故选(B) 分析二 y=f(x)是a，b上的凹函数，由凹函数的性质可知 (几何意义是：弦 在曲线 y=f(x)(x(a，b)的上方，除 G 点外曲线 y=f(x)(xa，b)在曲线上G 点的切线 EF 的上方，如图(2) 将不等式中各项求积分得 其中 因此 LNM故选(B) 2.在反常积分 （分数：4.00）A.解析：解析 由题设选项可知，这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散 方法 1 找出其中两个收敛的 知收敛 由 知收敛 因此选(B)
8、 方法 2 找出其中两个发散的对于：由 发散，即发散 可知 3.设函数 F(x，y)在(x 0 ，y 0 )某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x 0 ，y 0 )=F“ x (x 0 ，y 0 )=0，F“ y (x 0 ，y 0 )0，F“ xx (x 0 ，y 0 )0由方程 F(x，y)=0 在 x 0 的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x 0 )=y 0 ，则 (A) y(x)以 x=x 0 为极大值点 (B) y(x)以 x=x 0 为极小值点 (C) y(x)在 x=x 0 不取极值 (D) (x 0 ，y(x 0 )是曲线 y=y(x)的拐点 （分数：
9、4.00）A.解析：解析 按隐函数求导法知 y“(x)满足 令 x=x 0 ，相应地 y=y 0 得 y“(x 0 )=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得 再令 x=x 0 ，相应地 y=y 0 得 因 4.已知幂级数 （分数：4.00）A.解析：解析 ，知该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为|x-a|1，即 a-1xa+1 又当 x-a=1 即 x=a+1 时，原级数为 ，收敛；当 x-a=-1 即 x=a-1 时，原级数为 5.下列矩阵中属于正定矩阵的是 （分数：4.00）A.解析：解析 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是 a ii 0 (C)中
10、 a 33 =-10，必不正定；(A)中二阶顺序主子式 6.设 n 维向量 1 ， 2 ， s 的秩为 r，则下列命题正确的是 (A) 1 ， 2 ， s 中任何 r-1 个向量必线性无关 (B) 1 ， 2 ， s 中任何 r 个向量必线性无关 (C) 如果 sn，则 s 必可由 1 ， 2 ， s-1 线性表示 (D) 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1 ， 2 ， s 线性表示 （分数：4.00）A.解析：解析 r( 1 ， 2 ， s )=r 7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和 S 2 分别为样本均值和样
11、本方差，已知 ，则 a 的值为 (A) -1 (B) 1 （分数：4.00）A. 解析：解析 依题意有 ，又由题设 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立， （分数：4.00）A.解析：解析 根据林德伯格-列维中心极限定理，如果 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：6 解析 其中 sinxtanx由于 又 所以原极限=3+3=6 分析二 利用泰勒公式求解由于 于是 10.设函数 f(x)在(0，+)上连续，对任意的正数 a 与 b 积分 （
12、分数：4.00）解析： 解析 由 的值与 a 无关，所以 ，即等式 f(ab)b-f(a)=0 对任意正数 a 成立，特别对 a=1 亦应成立，即对任何正数 b 有 f(b)b-f(1)=0， ，从而 验算可知 11.设 （分数：4.00）解析： 解析 这是一元函数 与二元函数 t=xy 2 的复合函数，由一阶全微分形式不变性可得 分析二 先求偏导数： 于是 12.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y t =16(t+1)4 t 满足初值)y 0 =3 的特解是 y t = 1 （分数：4.00）解析：(2t 2 +2t+3)4 t 解析 应设特解为 y t =(At 2 +Bt+C)4 t
13、 ，其中 A，B，C 为待定常数令t=0 可得 y 0 =C，利用初值 y 0 =3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 y t =(At 2 +Bt+3)4 t 把 y t+1 =A(t+1) 2 +B(t+1)+34 t+1 =4At 2 +(2A+B)t+A+B+34 t 与 y t 代入方程可得 y t+1 -4y t =4(2At+A+B)4 t ， 由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2At+A+B)=16(t+1) 13.已知 A 是 3 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A * ) * 的最大特征值是 1 （分数：4
14、.00）解析：18 解析 因为 14.设随机变量 X 的概率分布为 （分数：4.00）解析： 解析 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于 1 求出常数 a，再用二项分布的期望求 EX由 于是 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 ，其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证： ()F n (x)在(0，+)存在唯一零点 x n ； () 收敛； () （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与证明 ()F n (x)在0，+)内可导(也就必然连续)，又 故 F n (x)在 存在零点，记
15、为 x n ，则 F n (x n )=0又 从而 F n (x)在0，+)单调上升，因此 F n (x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 x n ()在前面的证明中已得估计式 () 方法 1 前面已导出 从而对 有 又 方法 2 直接由 同样得 16.设 b 为常数 ()求曲线 L： （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()求 的斜渐近线由于 所以斜渐近线方程为 y=2x-4 ()面积 如果 2b+15+10，即如果 b-8，无论 b-8 还是 6-8，均有 ，从而与 A 为有限值矛盾当b=-8 时有 ，故此时所求的面积 17.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2 +5 在区域
16、 ：x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，先求 f(x，y，z)在 内的驻点 由 知 f(x，y，z)在 内无驻点，因此 f(x，y，z)在力的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x 2 +y 2 +z 2 -2=0 下的最大、最小值 令 F(x，y，z，)=2x+2y-z 2 +5+(x 2 +y 2 +z 2 -2)，解方程组 由，知
17、x=y，由知 z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入知 x=y=1，z=0当 =1 时由，也得 x=y=-1，z=0因此得驻点 P 1 (-1，-1，0)与 P 2 (1，1，0)计算得知 f(P 1 )=1，f(P 2 )=9 因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 1 18.设 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 如图，用 x 2 +y 2 =1 将 D 分成三块，中间一块记为 D 3 ，左、右两块分别记为 D 1 与 D 2 ，从而 于是 而 所以 故 原式 19.设某企业生产一种产品，其成本 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 （分数：-1.00）_正确答案
18、：()解析：解 收益函数 ，当取得最大利润时，边际收益等于边际成本， 即 MR=MC 又 MR=R“=a-bQ，于是 44=C“(Q)=2Q 2 -32Q+100，即 Q 2 -16Q+28=0 解得 Q 1 =14，Q 2 =2 又 故当 ，企业利润取极大值 由于 又 20.设 且 B=P -1 AP ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()当 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()由矩阵 A 的特征多项式 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =1， 3 =-3 由齐次线性方程组(E-A)x=0， 得基础解系 1 =(-4，1，2) T 由齐次方程组(-3E-A)x=0， 得基础
19、解系 2 =(-2，1，1) T 因此，矩阵 A 关于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 k 1 (-4，1，2) T ，k 1 0；而关于特征值 =-3 的特征向量为 k 2 (-2，1，1) T ，k 2 0 () ()由 P -1 AP=B 有 P -1 A 100 P=B 100 ，故 A 100 =PB 100 P -1 又 于是 21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 证明：()矩阵 B=(，A，A 4 )可逆； ()B T B 是正定矩阵 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：证明 ()由于 A 3 =3
20、A-2A 2 ，故 A 4 =3A 2 -2A 3 =3A 2 -2(3A-2A 2 )=7A 2 -6A 若 k 1 +k 2 A+k 3 A 4 =0，即 k 1 +k 2 A+k 3 (7A 2 -6A)=0， 亦即 k 1 +(k 2 -6k 3 )A+7k 3 A 2 =0，因为 ，A，A 2 线性无关，故 所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆 ()因为(B T B) T =B T (B T ) T =B T B，故 B T B 是对称矩阵又 ，由于矩阵 B 可逆，恒有Bx0，那么恒有 x T (B T B)x=(Bx) T (Bx)0，故二次型 x T (B T B)x
21、是正定二次型，从而矩阵 B T B是正定矩阵 22.设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2-y 试求：()X+Y 的概率密度； ()X 的边缘概率密度； ()PY0.2|X=1.5 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：如图，区域 D 即 AOB 的面积 S D =1，因此(X，Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时， 于是 X+Y 的概率密度 f(z)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x，z-x)只有在 0z-xx2-(z-x)时才不为 0，即只有当 () ()当 X=1.5 时 f X (1.5)=0.5，条件密度 故 23.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()先求 X 的边缘密度对任意 x0，有 对于任意 x0，有-xy+，因此 于是，X 的边缘密度 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 ()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度 由于 f X (x)f Y (y)f(x，y)，故 X，Y 不独立 又
