1、考研数学三-273 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.把当 x0 时的无穷小量 =ln(1+x 2 )-ln(1-x 4 )， （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，2.设 ， （分数：4.00）A.I21I1B.I2I11C.1I2I1D.1I1I23.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.F(x+)F(x)(x(-，+)B.F(x+)F(x)(x(-，+)C.F(x+)=F(x)(x(-，+)D.x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)4.设 D 是以点 A(1，1)，B(-1，1
2、)，C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 （分数：4.00）A.2B.5C.8D.65.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 的基础解系的是（分数：4.00）A.1+2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1+2，2+3，3-4，4-1D.与 1，2，3，4 等价的向量组6.下列矩阵中不相似于对角矩阵的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶
3、率为 p(0P1)，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立8.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 ，则 A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）10.设曲线 （分数：4.00）11.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y t =16(t+1)4 t 满足初值 y 0 =3 的特解是 y t = 1 （分数：4.00）12.设方程 （分数：4.00）13.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，
4、2，3则(A*)*的最大特征值为 1 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若曲线 与 x 轴、y 轴及直线 （分数：10.00）_设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：12.00）(1).求 f(1)及 （分数：6.00）_(2).求 f“(1)，若又设 f“(1)存在，求 f“(1)（分数：6.00）_16.求二元函数 F(x，y)=xye -(x2+y2) 在区域 D=(x，y)|x0，y0上的最大值与最小值 （分数：10.00）_
5、17.求级数 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意正数 a，b，在(0，1)内存在不同的两点 ，使 （分数：10.00）_19.设 4 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，方程组 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，-2，4，0) T ，c 任意 记 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：10.00）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =E，并且 r(A+E)=kn（分数：10.00）(1).求二次型 x T Ax 的规范形（分
6、数：5.00）_(2).证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求|B|（分数：5.00）_20.设 X，Y 相互独立且同服从0，(0)上的均匀分布，求 Emin(X，Y)，Emax(X，Y) （分数：11.00）_设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度；（分数：5.50）_(2).讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性（分数：5.50）_考研数学三-273 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.把当 x0 时的无穷小量 =ln(1+x
7、2 )-ln(1-x 4 )， （分数：4.00）A.，B.，C.， D.，解析：解析 我们分别确定当 x0 时，、，分别是 x 的几阶无穷小当 x0 时 =ln(1+x 2 )-ln(1-x 4 )x 2 因为 ln(1+x 2 )x 2 ln(1-x 4 )-x 4 =0(x 2 ) ， 又由 可知当 x0 时， 2.设 ， （分数：4.00）A.I21I1B.I2I11 C.1I2I1D.1I1I2解析：解析 将 1 也写成一个定积分 从而为比较 I1 ，I 2 ，1 的大小，只要比较 ， ， 的大小由于当 x0 时 xsinx， ，所以只要比较当 时， 与 的大小考虑 ，由于 ， ，
8、所以 (x)0 当 3.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.F(x+)F(x)(x(-，+)B.F(x+)F(x)(x(-，+)C.F(x+)=F(x)(x(-，+) D.x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)解析：解析一f(|sinx|)是以 为周期的周期函数，因而有 f|sin(x+)=f(|sinx|) 因此选 C 二考察 ，由于 其中 f(|sin(x+)|)=f(|sinx|)， ， 于是 4.设 D 是以点 A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 （分数：4.00）A.2B.5C.8 D.6解析：解析 D 如图所示
9、，连 将 D 分成 D=D 1 D 2 ，D 1 ，D 2 分别关于 x，y 轴对称， 对 x，y 均为奇函数 因此 选 C 5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 的基础解系的是（分数：4.00）A.1+2，2-3，3-4，4-1 B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1+2，2+3，3-4，4-1D.与 1，2，3，4 等价的向量组解析：解析 首先可排除 D，因为与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价的向量组不必线性无关，包含向量个数也不必为 4 另外 3 项都给出了 Ax=0 的 4 个解，是否构成基础解系只用看它们是否线性无关
10、，即看秩是否为 4 A向量组 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 对 1 ， 2 ， 3 ， 4 的表示矩阵为 其行列式的值为 2，因此是可逆矩阵于是 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 的秩为4 B向量组 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 + 1 对 1 ， 2 ， 3 ， 4 的表示矩阵为 其行列式的值为 0，因此是不可逆矩阵 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 + 1 的秩4 C向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 对 1 ， 2 ， 3 ， 4 的表示矩阵为 6.下列矩阵中不
11、相似于对角矩阵的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 C矩阵的 3 个特征值都为 1，因此如果一个对角矩阵与它相似，则必须是单位矩阵 E，但是对每个可逆矩阵 P，P -1 EP=E，即 E 只和自己相似，因此 C矩阵不相似于对角矩阵7.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0P1)，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立 B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立解析：解析 依题意 A 与 B 为对立事件，因此
12、，又 8.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 ，则 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 X 1 ，X 2 ，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X j ，X j )=0；当 i=j 时，cov(X i ，X j )= 2 ，所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）解析：-10!2 10 解析 10.设曲线 （分数：4.00）解析： 解析 图形如下图所示 曲线与直线的两个交点分别为(0，0)， 由 V x =V y ，得 11.一阶常系数差分方程 y t+1 -4y t =
13、16(t+1)4 t 满足初值 y 0 =3 的特解是 y t = 1 （分数：4.00）解析：(2t 2 +2t+3)4 t 解析 应设特解为 y t =(At 2 +Bt+C)4 t ，其中 A，B，C 为待定常数令t=0 可得 y 0 =C，利用初值 y 0 =3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 y t =(At 2 +Bt+3)4 t 把 y t+1 =A(t+1) 2 +B(t+1)+34 t+1 =4At 2 +(2A+B)t+A+B+34 t 与 y t 代入方程可得 y t+1 -4y t =4(2At+A+B)4 t ， 由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2
14、At+A+B)16(t+1) 12.设方程 （分数：4.00）解析： 解析 一阶线性齐次方程 的全部解为 它们均以 为周期 以 为周期 ()a+sin 2 t 以 为周期，则 以 为周期 ，即 ()由于 它以 为周期 13.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则(A*)*的最大特征值为 1 （分数：4.00）解析：18 解析 方法一 |A|=123=6，于是 A*的特征值为 6，3，2，|A*|=36则(A*)*的特征值为6，12，18，最大的是 18 方法二 用关系式(A*)*=|A| n-2 A，本题 n=3，|A|=6，则(A*)*=6A，其特征值为 6，12，18，最大
15、的是1814.设 X 1 ，X 2 ，X n+1 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，则 （分数：4.00）解析： 解析 由于 X i (i=1，2，n+1)均来自同一总体，且相互独立故 EX i =，DX i = 2 ，Y 是 X i 的线性组合，故仍服从正态分布 且 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若曲线 与 x 轴、y 轴及直线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 面积图形如下图 先求 y=asinx 与 y=cosx 的曲线在区间(0， )的交点横坐标，设交点横坐标为 c 由 asinx=cosx，得 而曲线 y=cosx 与两坐标轴及 所围图
16、形面积 ，所以 由 ，利用辅助三角形可得 ， 于是有 ，解得 同理。y=bsinx 与 y=cosx 交点的横坐标 即 ，解之得 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：12.00）(1).求 f(1)及 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由条件知 又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2 xf(1)+0=0 f(1)=0 (2).求 f“(1)，若又设 f“(1)存在，求 f“(1)（分数：6.00）_正确答案：()解析：方法 1 由 f“(1) f(x)在 x=1 的
17、邻域内可导 方法 2用勒公式先由一阶勒公式得 当 f“(1)存在时，可用二阶勒公式得 16.求二元函数 F(x，y)=xye -(x2+y2) 在区域 D=(x，y)|x0，y0上的最大值与最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 在平面直角坐标系 Oxy 上的第一象限，区域 D 有两条边界 1 =(x，0)|x0与 2 =(0，y)|y0，它们分别是平面直角坐标系 Oxy 的 x 轴与 y 轴的正半轴在这两条边界上 F(x，y)=0又因 ， 由于当 x 2 +y 2 +时 ，从而又有 ，于是 在区域 D 内，由于 仅有唯一解 ，这表明 F(x，y)在区域 D 内仅有唯一
18、驻点 ，在此点处 注意 比 F(x，y)，在 D 的两条边界上的函数值以及当(x，y)在区域内趋向无限远处函数 F(x，y)的极限值都要大，可见 17.求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下： 令 ，我们考察幂数 ，其中 由 知 的收敛区间是 由于 时 (因为 发散， 收敛)，而 时 收敛，因此 的收敛域是 又 对应于 ，因此，原级数的收敛域是 18.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意正数 a，b，在(0，1)内存在不同的两点 ，使 （分数：10.0
19、0）_正确答案：()解析：按要证的结论，我们需要找一点 c(0，1)，分别在0，c与c，1上用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c，1)使得 ，即 ，即 于是 问题转化为如何取 c，使 即 只需取 c 使得 也即只需取 c 使得 因为 a0，b0，定有 ，又 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知， c(0，1)，使 19.设 4 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，方程组 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，-2，4，0) T ，c 任意 记 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：10.00）
20、_正确答案：()解析：解 首先从 AX= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，-2，4，0) T 可得到下列信息： Ax=0 的基础解系包含 1 个解，即 4-rA=1，得 rA=3即 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 =3 (1，2，2，1) T 是 Ax= 解，即 1 +2 2 +2 3 + 4 = (1，-2，4，0) T 是 Ax=0 解，即 1 -2 2 +4 3 =0 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )=2 显然 B(0，-1，1，0) T = 1 - 2 ，即(0，-1，1，0) T 是 Bx= 1 - 2 的一个解 由，B=( 3 ， 2 ， 1
21、，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )，于是 rB=r( 3 ， 2 ， 1 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 则 Bx=0 的基础解系包含解的个数为 4-rB=2 个 1 -2 2 +4 3 =0 说明(4，-2，1，0) T 是 Bx=0的解；又从 B=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )容易得到 B(-2，-2，-1，1) T =0，说明(-2，-2，-1，1) T 也是 Bx=0 的解于是(4，-2，1，0) T 和(-2，-2，-1，1) T 构成 Bx=0 的基础解系 Bx= 1 - 2 的通解
22、为： (0，-1，1，0) T +c 1 (4，-2，1，0) T +c 2 (-2，-2，-1，1) T ，c 1 ，c 2 任意设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =E，并且 r(A+E)=kn（分数：10.00）(1).求二次型 x T Ax 的规范形（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由于 A 2 =E，A 的特征值九应满足 2 =1，即只能是 1 和-1于是 A+E 的特征值只能是 2和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵 ， 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+B 的特征值是2(k 重)和 0(n-k 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重)和-1(n-k
23、重)A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和 n-k，x T Ax 的规范形为 (2).证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求|B|（分数：5.00）_正确答案：()解析：B 是实对称矩阵由 A 2 =E，有 B=3E+2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(n-k 重)都是正数因此 B 是正定矩阵20.设 X，Y 相互独立且同服从0，(0)上的均匀分布，求 Emin(X，Y)，Emax(X，Y) （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由于 X，Y 相互独立，且都服从0，上的均匀分布，故可得(X，Y)的联合密度 故 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).求随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有 ； 对于任意 x0，有-xy+，因此 于是，X 的边缘密度 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 (2).讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性（分数：5.50）_正确答案：()解析：为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度 由于 f X (x)f Y (y)f(x，y)，故 X，Y 不独立 又
