1、考研数学三-272 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点D.可导2.设 f(x)=x(x+1)(2x+1)(3x-1)，则方程 f“(x)=0 在(-1，0)内实根的个数恰为（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.设 m 与 n 是正整数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)为可导奇函数，g(x)为 f(x)的反函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的
2、基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是（分数：4.00）A.1+2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2-3，3-4，4+1C.1+2，2+3，3-4，4-1D.1，2，3，4 的等价向量组6.已知 P -1 AP=B，若 A=，0，则 A.B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P B.B 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 具有相同的分布函数 F(x)，随机变量 Z=X+Y 的分布函数为 G(x)，则对任意实数 x，必有 o A.G(2x)=2F(x)o B.G(2x)=F2(x)o C.G(2x)2F(x)o D.G(2x)2F(x)（分数
3、：4.00）A.B.C.D.8.设 是取自同一正态总体 N(， 2 )的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：4.00）A.4B.8C.16D.32二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）10.设 z=(1+x 2 y) xy2 则 （分数：4.00）11.设 D=(x，y)|-xyx，x 2 +y 2 2x，则 （分数：4.00）12.设某产品的需求函数 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 (01)已知产品收益 R 对价格的边际效应为 c(元)，则产品的产量应是 1 个单位 （分数：4.00）13.已知 ，A * 是 A 的伴随矩阵，
4、则 （分数：4.00）14.设随机变量 X，Y 相互独立，其概率分布分别为 PX=k=p k (k=0，1，2，)，PY=r=g r (r=0，1，2，)，则随机变量 Z=X+Y 的概率分布 PZ=i= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D(如图的阴影部分)求 D 的面积 A 及 D 绕直线 x=1 旋转一周所得旋转体的体积V （分数：-1.00）_16.设 x0，证明 （分数：-1.00）_17.()求级数 的收敛域； ()求证：和函数
5、（分数：-1.00）_18.设函数 计算二重积分 （分数：-1.00）_19.设 f(x)是周期为 1 的周期函数，在0，1上可导，且 f(1)=0，令 （分数：-1.00）_20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：-1.00）_21.已知三元二次型 x T Ax 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1)T 且满足 A=2 ()求该二次型表达式； ()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换 （分数：-1.00）_22.设随机变量 x 的概率密度为 （分数：-1.00）_23.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，
6、1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数 ()求(X，Y)的联合分布； ()求 cov(X，Y)+cov(Y，Z) （分数：-1.00）_考研数学三-272 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点 D.可导解析：解析 先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时， 当 1x2 时， 即 易验证 F(x)在0，2上连续 当 x1 时显然 F(x)
7、可导，且 从而 F(x)在点 x=1 处不可导故应选(C) 分析二 不必求出 F(x) 这里 f(x)在0，2上有界，除 x=1 外连续，x=1 是 f(x)的跳跃间断点由可积性的充分条件知 f(x)在0，2上可积，再由基本定理知 F(x)在0，2上连续故(A)，(B)不对 进一步考察 F(x)的可导性当 x1 时，F“(x)=f(x)，又 x=1 是 f(x)的跳跃间断点，从而 F(x)在点 x=1处不可导故应选(C) 2.设 f(x)=x(x+1)(2x+1)(3x-1)，则方程 f“(x)=0 在(-1，0)内实根的个数恰为（分数：4.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析
8、：解析 函数 f(x)在(-，+)上连续且可导，显然 f(x)有 4 个实根：x 1 =0，x 2 =-1，x 3 = ，由罗尔定理知，f“(x)至少有 3 个零点，分别为 3.设 m 与 n 是正整数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限 继续进行分部积分可得 4.设 f(x)为可导奇函数，g(x)为 f(x)的反函数，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 记 g(t-x)dt，令 t-x=u，则 dt=du，于是 5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则
9、下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是（分数：4.00）A.1+2，2-3，3-4，4-1 B.1+2，2-3，3-4，4+1C.1+2，2+3，3-4，4-1D.1，2，3，4 的等价向量组解析：解析 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 + 2 与向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故(D)不正确 (B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系故(B)与(C)也不正确 注意到：( 1 + 2 )-( 2 - 3 )-( 3 - 4 )-( 4 + 1 )=0， ( 1 + 2 )-( 2
10、+ 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 唯有(A)， 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 是 Ax=0 的解，又由 6.已知 P -1 AP=B，若 A=，0，则 A.B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P B.B 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除(B)、(D) 7.设随机变量 X 与 Y 具有相同的分布函数 F(x)，随机变量 Z=X+Y 的分布函数为 G(x)，则对任意实数 x，必有 o A.G(2x)=2F(x)o B.G(2x)=F2(x)o C.G(2x)
11、2F(x)o D.G(2x)2F(x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 G(+)=1，F(+)=1，故(A)、(D)必不成立又 G(2x)=PZ2x=PX+Y2x P(Xx)(Yx) PXx+PYx=2F(x)， 所以应选(C) 8.设 是取自同一正态总体 N(， 2 )的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：4.00）A.4B.8 C.16D.32解析：解析 因总体服从正态分布 N(， 2 )，则 且 于是 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 利用三角函数代换去根号，则有 再利用分解法，有 c
12、ost=A(cost+sint)+B(cost+sint)“ =(A+B)cost+(A-B)sint 取 A，B 满足 A+B=1，A-B=0，即 ，于是 分析二 作上述三角函数代换后，再转化为有理式的积分，即 分析三 作上述三角函数代换后得 对原式再作三角函数代换 x=acost 得 或对式再作代换 ，得 同样得式 将，式相加得 10.设 z=(1+x 2 y) xy2 则 （分数：4.00）解析：-3xy 2 (1+x 2 y) xy2 ln(1+x 2 y) 解析 z=(1+x 2 y) )xy2 =e xy2ln(1+x2y) ， 所以 11.设 D=(x，y)|-xyx，x 2 +
13、y 2 2x，则 （分数：4.00）解析： 解析 用极坐标令 x=rcos，y=rsin，于是 12.设某产品的需求函数 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 (01)已知产品收益 R 对价格的边际效应为 c(元)，则产品的产量应是 1 个单位 （分数：4.00）解析： 解析 需求对价格的弹性是 ，其中 Q 为需求量即产量，p 为价格依题意，有 收益函数 R=pQ，它对价格的边际即 ，由题意有 所以 13.已知 ，A * 是 A 的伴随矩阵，则 （分数：4.00）解析： 解析 因为 AA * =A * A=|A|E，又 所以 于是 14.设随机变量 X，Y 相互独立，其概率分布分别为 PX=k=p
14、k (k=0，1，2，)，PY=r=g r (r=0，1，2，)，则随机变量 Z=X+Y 的概率分布 PZ=i= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由于 X，Y，的取值均为非负整数，故有 z=i=X+Y=i =X=0，Y=iX=1，Y=i-1X=i，Y=0 于是由 X，Y 的独立性，有 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D(如图的阴影部分)求 D 的面积 A 及 D 绕直线 x=1 旋转一周所得旋转体的体积V （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 设切
15、点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 y 0 “=e x0 ， 切线方程为 y-y 0 =e x0 (x-x 0 ) 它经过点(0，0)，所以-y 0 =-x 0 e x0 又因 y 0 =e x0 ，代入求得 x 0 =1， 从而 y 0 =e x0 =e，切线方程为 y=ex ()取水平条为 A 的面积元素，则 D 的面积为 (积分 来自洛必达法则) ()D 绕直线 x=1 旋转一周所得旋转体的体积微元为 从而 16.设 x0，证明 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：证明 先证明当 0x1 时， 令 则 F(1)=0， 记 ，从而知，当
16、0x1 时 (0)0，即有 F“(x)0因 F“(1)=0，所以当 0x1 时F“(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时 F(x)0，于是当 0x1 时 上式中令 ，这表明上述不等式当 x1 时也成立又当 x=1 时 所以当 0x+时，有 17.()求级数 的收敛域； ()求证：和函数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 ()令 ，问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下： 令 由 知 发散 ，因此，原级数的收敛域是 ()为证当 x0，+)时级数 收敛，且和函数 S(x)在0，+)有界，自然的想法是给出级数一般项当 x0，+)时的估计 收
17、敛就可得出结论 为了在0，+)上估计 ，我们求 f(x)=x 2 e -nx 在0，+)上的最大值：由 知 f(x)在 取0，+)上的最大值，即 18.设函数 计算二重积分 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D 1 ，在 y=1 上方的部分记为 D 2 ，且 D 2 在 y 轴右侧的部分记为 D 2 “，于是 19.设 f(x)是周期为 1 的周期函数，在0，1上可导，且 f(1)=0，令 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与证明 首先，因 f(x)是周期为 1 的周期函数，则只需证明 0 (0，1)使得|f“( 0 )|2M
18、由 f(x)在0，1上可导，则|f(x)|必在0，1上连续，又因 f(1)=f(0)=0,， 故 f(x)不能在端点 x=0 或 x=1 处取得其最大值 M，即只能存在 x M (0，1)，使得 20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与 同解 那么(i)和(iii)的系数矩阵 有相同的秩 如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于 因为 a 和 a-1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又 当 时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解 ()由于 21.已知三元二次型 x T
19、 Ax 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1)T 且满足 A=2 ()求该二次型表达式； ()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()据已知条件，有 即 解出 a 12 =2，a 13 =2，a 23 =-2， 所以 x T Ax=4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -4x 2 x 3 ()由 得矩阵 A 的特征值为 2，2，-4 由(2E-A)x=0， 得 =2 的特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ； 由(-4E-A)x=0， 得 =-4 的特征向量 3 =(-1，1，1) T 将
20、1 ， 2 正交化令 1 = 1 ，则 再对 1 ， 2 ， 3 单位化，有 那么令 ，有 22.设随机变量 x 的概率密度为 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()由条件知，对任意 x0，随机变量 Y 关于 X=x 的条件分布是区间(0，x)上的均匀分布，故 由密度函数的乘法公式，有 ()当 y0 时，显然 f 2 (y)=0；当 y0 时， 所以 由此可知，Y 服从参数为 =2 的指数分布 () 由于 Y 服从指数分布，=2，故 又 从而 于是 23.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有
21、2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数 ()求(X，Y)的联合分布； ()求 cov(X，Y)+cov(Y，Z) （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解法一 ()用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有 从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列成下表： () 于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ) 解法二 ()求(X，Y)的联合分布同解法一，但不要求(Y，Z)的联合分布 ()由于 Z=2-X-Y，故 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y) =cov(X，Y)-cov(X，Y)-cov(Y，Y)=-DY 又
