1、考研数学三-272 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数 y=f“(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：4.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点2.反常积分 （分数：4.00）A.收敛，且取值为零B.收敛，且取正值C.发散D.收敛，且取负值3.设 ax 1 x 2 x 3 b，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且 f“(x)0 (x(a，b)，又
2、 ， ， （分数：4.00）A.k1k2k3B.k1k3k2C.k2k1k3D.k3k1k24.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x (ax+b-y 2 )的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（分数：4.00）A.a0，b=a+1B.a0，b=2aC.a0，b=a+1D.a0，b=2a5.下列矩阵中正定的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：4.00）A.r()=r()，并且 s=tB.r()=r() =nC.()的极大无关组和()的极大无关组等价D.()和()都线
3、性无关，并且 s=t7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）A.X 与|X|相关，且相关系数|=1B.X 与|X|相关，但|1C.X 与|X|不相关，且也不独立D.X 与|X|相互独立8.设随机变量盖的概率分布为 ，则 EX= Anp Bnpq C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）10.曲线 （分数：4.00）11.设 a 是一个常数，则 （分数：4.00）12.设某产品的需求函数 Q=Q(p)，它对价格的
4、弹性为 (01)已知产品收益 R 对价格的边际效应为c(元)，则产品的产量应是 1 个单位 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为 p，反面出现的概率为 q=1-p，随机变量 X 为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则 X 的概率分布为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.设曲线 y=y(x)上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y(x) （分数：10.00）_17.设幂级数 （分数：10.00）_18.计算二重积分 （分数：10.0
5、0）_19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证： （分数：10.00）_已知四元齐次方程组 （分数：10.00）(1).求 a 的值（分数：5.00）_(2).的通解（分数：5.00）_已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 =- 1 -3 2 -3 3 ，A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =-2 1 +3 3 （分数：12.00）(1).求 A 的特征值（分数：4.00）_(2).求 A 的特征向量（分数：4.00）_(3).求 A*-6E 的秩（分数：4.00）_设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j
6、 )(i，j=1，2)，且 ， ， （分数：11.00）(1).二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；（分数：5.50）_(2).条件概率 PY=y j |X=x 1 ，j=1，2（分数：5.50）_20.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 P假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY （分数：11.00）_考研数学三-272 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在
7、(-，+)内连续，其导函数 y=f“(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：4.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点 D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点解析：解析 由图可知，f“(x)有两个零点：x10，x20，且在 x 1 两侧 f“(x)由正变为负，即 f(x)先增后减，于是 x 1 为极大值点；类似分析可知 x 2 为极小值点x=0 为 f“(x)不存在的点(第二类间断点)，在 x=0 两侧均有 f“(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧，f“(x)由减函数变为增函数，由此
8、可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f“(x)的增减性，还有两个点 x 3 ，x 4 ，使 f“(x)在它们的两侧改变增减性，因此这两个点也是曲线 y=f(x)的拐点 综合上述分析，应选 C 2.反常积分 （分数：4.00）A.收敛，且取值为零B.收敛，且取正值C.发散 D.收敛，且取负值解析：解析 收敛的定义是： 与 均收敛，且 用分部积分法计算可得：当 b0 时，有 于是 不存在 发散 3.设 ax 1 x 2 x 3 b，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且 f“(x)0 (x(a，b)，又 ， ， （分数：4.00）A.k1k2k3B.k1k3
9、k2 C.k2k1k3D.k3k1k2解析：解析一由题设条件知，y=f(x)是(a，b)上的凸函数，且 k 1 ，k 2 ，k 3 分别是下图中所示线段 的斜率由 的斜率 的斜率 ， 得 k 1 k 3 k 2 ，因此选 C 二为比较 k 1 ，k 3 的大小关系，考察函数 (k 1 =F(x 2 )，k 3 =F(x 3 )，由 (f“(x)在(a，b)为减函数) F(x)在(x 1 ，b)为减函数 F(x 2 )F(x 3 )，即 k 1k3为比较 k2，k3 的大小关系，考查函数4.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x (ax+b-y 2 )的极大值，则常数 a，b 应满足的
10、条件是（分数：4.00）A.a0，b=a+1B.a0，b=2a C.a0，b=a+1D.a0，b=2a解析：解析 应用二元函数取极值的必要条件得 所以 b=2a由于 5.下列矩阵中正定的是 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用排除法A的第二个顺序主子式 6.n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：4.00）A.r()=r()，并且 s=tB.r()=r() =nC.()的极大无关组和()的极大无关组等价 D.()和()都线性无关，并且 s=t解析：解析 极大无关组与原组是等价的由等价的传递性立即可得到()与()
11、等价的充分必要条件是它们各自的极大无关组等价 A缺少条件 r(，)=r() B是()与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 D()和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 ()： 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)，()： 1 =(0，0，1，0)，设 2 =(0，0，0，1) ()和()都无关，并且 s=t=2，但是()和()不等价7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）A.X 与|X|相关，且相关系数|=1B.X 与|X|相关，但|1
12、C.X 与|X|不相关，且也不独立 D.X 与|X|相互独立解析：解析 依题设，x 在-1，1上服从均匀分布，其概率密度为 由于 ， 故 cov(X，|X|)=0，从而 =0，X 与|X|不相关于是可排除 A 与 B对于任意实数 a(0a1)，有 ，P|X|a=a，从而 PXaP|X|aPXa，|x|a，即 8.设随机变量盖的概率分布为 ，则 EX= Anp Bnpq C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于 1 求出常数 a，再用二项分布的期望求 EX由 于是 二、填空题(总题数：6，分
13、数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）解析： 解析一 利用洛必法则求极限 ，因为 二 利用变量替换与等价无穷小量代换求极限 令 x-1=t则有 10.曲线 （分数：4.00）解析：(-，-3) 解析 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性 不难求得 11.设 a 是一个常数，则 （分数：4.00）解析： 解析 令 ，则 ，且 t：+0，于是 故 12.设某产品的需求函数 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 (01)已知产品收益 R 对价格的边际效应为 c(元)，则产品的产量应是 1 个单位 （分数：4.00）解析： 解析 需要对价格的弹性是 ，其中 Q 为需求量
14、即产量，p 为价格依题意，有收益函数 R=pQ，它对价格的边际即 ，由题意有 所以 13.已知 （分数：4.00）解析： 解析 因为 ，所以 又 于是 14.掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为 p，反面出现的概率为 q=1-p，随机变量 X 为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则 X 的概率分布为 1 （分数：4.00）解析：PX=k=pq(p k-2 +q k-2 )k=2，3， 解析 易知 X 的取值为 2，3，而X=k表示前 k-1 次出现的是正面而第 k 次出现的是反面，或前 k-1次出现的是反面，而第 k 次出现的是反面，于是有 PX=k=p k-1 q+q k-1 p=
15、pq(p k-2 +q k-2 )k=2，3，三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设曲线 y=y(x)上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：先求截距并列方程 曲线 y=y(x)在 点(x，y(x)处的切线方程是 Y-y(x)=y“(x)(X-x) 令 X=0，得_y 轴上截距 Y=y(x)-xy“(x) 相应的法线方程是 令 Y=0，得 x 轴上截距 x=x+y(x)y“(x) 按题意 即 2)求解方程 这是齐次方程，令 ，得 分离变量得 积
16、分得 将 代入化简得 C 为 17.设幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 求解本题的关键是确定幂级数 的系数 a n (n=0，1，2，)为此在系数的递推公式 nan=a n-1 +n-1 中依次令 n=1，2，3 即得 a 1 =a 0 =2 由此可猜想 对 n=1，2，3，都成立用数学归纳法只需证明若 成立，则 也成立即可事实上，由(n+1)a n+1 =a n +n 可得 即系数a n 的递推公式对任何 n2 成立从而幂级数 即和函数 18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因区域 D 关于 y 轴对称， 为偶数 对 D 1 ，D 2 引入极坐
17、标 所以 19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法) 令 ， F(x)单调不减，故 F(x)F(a)=0(xa，b) 特别有 F(b)0，即 改写不等式，即要证 分别在区间 与 上应用积分中值定理即可得证 证明 要证 ，即要证 又 由积分中值定理*，存在 ，使 已知四元齐次方程组 （分数：10.00）(1).求 a 的值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 条件即()和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵 和 的轶相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不
18、能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a=0 时rA=1，rB=2，因此 a0 (2).的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 =- 1 -3 2 -3 3 ，A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =-2 1 +3 3 （分数：12.00）(1).求 A 的特征值（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵 AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=
19、(- 1 -3 2 -3 3 ，4 1 +4 2 + 3 ，-2 1 +3 3 ) (此处用了矩阵分解) 记 ，则 AP=PB，即 P -1 AP=B，A 与 B 相似，特征值一样 (2).求 A 的特征向量（分数：4.00）_正确答案：()解析：思路：先求 B 的特征向量，用 P 乘之得到 A 的特征向量(如果 B=，则 P -1 AP=，即 A(P)=(P) 对于特征值 1： ，B 的属于特征值 1 的特征向量(即(B-E)x=0 的非零解)为 c(1，1，1) T ，c0 则 A 的属于特征值 1 的特征向量为 c( 1 + 2 + 3 ) T ，c0 对于特征值 2： ，B 的属于特征
20、值 2 的特征向量(即(B-2E)x=0 的非零解)为 c(2，3，3) T ，c0 则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(2 1 +3 2 +3 3 ) T ，c0 对于特征值 3： (3).求 A*-6E 的秩（分数：4.00）_正确答案：()解析：由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6于是 A*的特征值为 6，3，2，A*-6E 的特征值为 0，-3，-4 于是 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且 ， ， （分数：11.00）(1).二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：因 X 与 Y 独立
21、，所以有 ， ； ， ， ，或 于是(X，Y)的联合概率分布为 (2).条件概率 PY=y j |X=x 1 ，j=1，2（分数：5.50）_正确答案：()解析：因 X 与 Y 独立，所以 PY=y j |X=x 1 =PY=y j ，j=1，2，于是有 ， 解析 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x 1 ，x 2 与 y1，y2，且 ，又题设 20.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 P假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题设知， ，m=0，；0 购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，P)，即 ，k=0，1，2，；q=1-p 由全概率公式有 又因为当 mk 时，PY=k|X|=m=0，所以
