1、考研数学三-271 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.仅有水平渐近线B.仅有铅直渐近线C.既有铅直又有水平渐近线D.既有铅直又有斜近线2.设 （分数：4.00）A.没有零点B.只有一个零点C.恰有两个零点D.恰有三个零点3.设 x=fcos(x 2 +y 2 )-1，ln(1+x 2 +y 2 )，其中 f 有连续的一阶偏导数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 的任一特解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，C
2、 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中 不正确 的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C.D.6.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价 、 合同但不相似 的是 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 取任何实数 a 的概率都是 0，F(x)是 X 的分布函数，则（分数：4.00）A.对任何实数 x0，都有 F(x0)=0B.对任何实数 x0，都有 F(x0)0C.对任何实数 x1x2，都有 F(x1)F(x2)D.对任何实数 x0，都有8.设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2 )
3、，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自 X 的简单随机样本，若 P|X-|a=P| |b，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设 y(x)在(-，+)连续，又当x0 时 是比x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足 （分数：4.00）11.当 x(-，+)时函数 （分数：4.00）12.微分方程 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设随机变量 x 1 ，x 2 ，x 12 独立同分布且方差存在，则随机变量 U=X 1 +X 2 +X 7 ，V=X 6 +X 7
4、 +X 12 的相关系数 P UV = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_16.()设 求f(x)dx； ()求 ()设 （分数：-1.00）_17.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数，求 结果用 （分数：-1.00）_18.设 D 为曲线 y=x 3 与直线 y=x 围成的区域，求 （分数：-1.00）_19.求幂级数 （分数：-1.00）_20.设 A 是 n 阶反对称矩阵， ()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数
5、时，A * 是对称矩阵； ()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子； ()证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值 （分数：-1.00）_21.已知 （分数：-1.00）_22.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且都服从(0，)上的均匀分布，求下列随机变量的概率密度： ()边长为 X 1 和 X 2 的矩形周长 L； ()边长为 X 1 和 X 2 的矩形面积 S （分数：-1.00）_23.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知且 从总体 X 中抽取一个容量为 8 的简单随机样本，其 8 个样本值分别是 1，0，1，-1，1，1，2，1试求： () 的矩估计值
6、() 的最大似然估计值 （分数：-1.00）_考研数学三-271 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.仅有水平渐近线B.仅有铅直渐近线C.既有铅直又有水平渐近线D.既有铅直又有斜近线 解析：解析 () ，故有铅直渐近线 x=1 () 所以无水平渐近线 () ，所以当 x+时，没有斜渐近线 又 2.设 （分数：4.00）A.没有零点B.只有一个零点C.恰有两个零点 D.恰有三个零点解析：解析 求 f“(x)，分析其单调性区间由于 因此 x=-1 是 f(x)的最小值点，且 又 3.设 x=fcos(x 2 +
7、y 2 )-1，ln(1+x 2 +y 2 )，其中 f 有连续的一阶偏导数，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 再用定义求 z(x，y)在点(0，0)处的二阶偏导数： 类似可得 从而 4.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 的任一特解，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 变形为 ，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 对 两边从 x 0 到 x 积分，得 ，于是 设 xx 0 ，则 y(x)有上界，所以 存在 同理可证，当 xx 0 时
8、y(x)有下界，所以 也存在故 存在， 5.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中 不正确 的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则 由 ABAC=E 知矩阵 A，B，C 均可逆，那么由 从而(CABA) T =E T ，即 A T B T A T C T =E，故(A)正确 由 ABAC=E 知 A -1 =BAC，由 CABA=E 知 A -1 =CAB，从而 BAC=CAB，故(B)正确。 由 6
9、.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价 、 合同但不相似 的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，-3，0，故秩 r(A)=2，二次型 x T Ax 的正、负惯性指数均为 1 (A)中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；(C)中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意 对于(D)，记其矩阵为 D，由 7.设随机变量 X 取任何实数 a 的概率都是 0，F(x)是 X 的分布函数，则（分数：4.00）A.对任何实数 x0，都有 F(x0)=0B.对任何实数 x0，都有 F(x0)0C.对任何实数 x
10、1x2，都有 F(x1)F(x2)D.对任何实数 x0，都有 解析：解析 任何随机变量 X 的分布函数 F(x)都是右连续的，且对任何实数 a，一定有 PX=a=F(a)-F(a-0)如果 PX=a=0，即 F(a-0)=F(a)，所以 F(x)也是左连续函数，应选(D) 可以举出反例说明前 3 个选项均不成立比如，X 服从0，1上的均匀分布，F(-1)=0，由此可知(B)不正确又 F(2)=F(3)=1，故(A)、(C)不正确8.设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自 X 的简单随机样本，若 P|X-|a=P| |b，则 （分数：4.00）A.B
11、. C.D.解析：解析 通过计算 确定 的值 依题设 故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：2 解析 由积分中值定理知，在 n 与 之间存在 使得 又 且当 n时 +，于是 分析二 对变限积分函数 用拉格朗日中值定理得 于是 分析三 x1 时考察 的单调性：由 当 n1 时， 又 因此 10.设 y(x)在(-，+)连续，又当x0 时 是比x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足 （分数：4.00）解析： 解析 先求 y(x)，再求 y(1)为求 y(x)先求 y“(x)将已知等式两边同除 x，并令x0，由连续
12、性知 ，于是取极限得 这是可分离变量的微分方程，分离变量得 积分得 再由 分析二 将已知等式改写成 其余解法同分析一 11.当 x(-，+)时函数 （分数：4.00）解析： 解析 由题设知 F(x)是(-，+)上连续的偶函数，且由 知 F(x)在(-，0单调减少，在0，+)单调增加 由于 F(0)=0，又 因此，函数 F(x)的值域区间是 12.微分方程 （分数：4.00）解析：y=-ln(1+e-e x ) 解析 这是可分离变量的方程，分离变量得 e -y dy=e x dx， 积分得-e -y =e x +C，即 e x +e -y =C 于是得通解 e x +e -y =C，C 为正常数
13、由初条件 y(0)=-1 可确定 C=1+e，代入后即可解出所求特解为 y=-ln(1+e-e x ) 分析二 原方程可改写为 13.设 （分数：4.00）解析： ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为 0 解析 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0 知 r(B)1 显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1 因 A T B T =0，所以齐次线性方程组 A T x=0 的解就是 B 的行向量又由 可知 A T x=0 的通解为后(-1，1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为 0 14.设随机变量 x 1 ，x 2 ，x
14、 12 独立同分布且方差存在，则随机变量 U=X 1 +X 2 +X 7 ，V=X 6 +X 7 +X 12 的相关系数 P UV = 1 （分数：4.00）解析： 解析 设 DX i = 2 ，由于随机变量 X 1 ，X 2 ，X 12 独立同分布，故有 DU=DV=7 2 ， =DX 6 +DX 7 =2 2 (因为 ij 时，cov(X i ，X j )=0) 于是 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则 下面讨论 F“(x)的连续性因 ln(1+s)，sln(1+s)当 s
15、-1 时连续，于是由式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当 x-1 且 x0 时 F“(x)连续余下只需再求 F“(0)并考察 F“(x)在点 x=0 处的连续性 注意 F(0)=0，且 从而 F(x)在点 x=0 处连续又 于是 在点 x=0 处连续 这就证明了 F“(x)在(-1，+)上连续 16.()设 求f(x)dx； ()求 ()设 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 ()用拼接法 现令 因此 其中 C 是一个任意常数 () ，其中 C 是一个任意常数 () 在0，上连续，故一定存在原函数令 ，当 x0，时 F(x)就是 f(x)在0，上的一个原函数由()知当 在
16、最后的积分中令 t=-u 作换元，于是 由于 tan(-x)=tan(-x)=-tanx，代入即得当 综合即得 17.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数，求 结果用 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 u 与 x，y 的变量依赖关系如图，其中 z 与 x，y 的函数关系由以下方程确定： 由 u=f(2x+3y，z)，有 ( * ) 将 分别对 x，y 求偏导数有 ，该式再对 y 求偏导数并将 的表达式代入有 以 x=0，y=0 从而 z(0，0)=1 代入即得 18.设 D 为曲线 y=x
17、 3 与直线 y=x 围成的区域，求 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 如图，第一象限部分记为 D 1 ，第三象限部分记为 D 2 ，于是 令 x=-t，则第二个积分与第一个积分可合并，第三个积分与第六个积分相抵消，第四个积分与第五个积分相抵消于是 原式 19.求幂级数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 因在幂级数中所有奇次幂项系数为零，可直接求级数中后项与前项绝对值之比的极限，并利用比值判别法得出收敛半径设 x0，则 从而，当|x|1 时幂级数绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，其收敛半径 R=1 当 x=1 时幂级数成为交错级数 单调减少，且 ，按莱布尼兹
18、判别法知级数条件收敛，故幂级数 的收敛域 D=-1，1 设 注意 于是，分解原幂级数，可得 因 故 又因 S 2 (0)=0，而当 x0 时 从而 注意原幂级数当 x=1 时收敛，而上面得到的和函数表达式在 x=1 处也连续，因而和函数公式在点x=1 处也成立，即 20.设 A 是 n 阶反对称矩阵， ()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A * 是对称矩阵； ()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子； ()证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()按反对称矩阵定义：A T =-A，那么 |A|=|A
19、 T |=|-A|=(-1) n |A|，即1-(-1) n |A|=0 若 n=2k+1，必有|A|=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数 因 A T =-A，由(A * ) T =(A T ) * 有 (A * ) T =(A T ) * =(-A) * 又因(kA) * =k n-1 A * ，故当 n=2k+1 时，有 (A * ) T =(-1) 2k A * =A * ， 即 A * 是对称矩阵 ()例如， 21.已知 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 由矩阵 A 的特征多项式 得到 A 的特征值是 1 =1-a， 2 =a， 3 =a+1 得到属于 1 =1-a
20、的特征向量是 1 =k 1 (1，0，1) T ，k 1 0 得到属于 2 =a 的特征向量是 2 =k 2 (1，1-2a，1) T ，k 2 0 得到属于 3 =a+1 的特征向量 3 =k 3 (2-a，-4a，a+2) T ，k30 如果 1 ， 2 ， 3 互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即 且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化 ，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化 若 a=0，即 1 = 3 =1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化 22.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且都服从
21、(0，)上的均匀分布，求下列随机变量的概率密度： ()边长为 X 1 和 X 2 的矩形周长 L； ()边长为 X 1 和 X 2 的矩形面积 S （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 依题意，X i 与 Y i =2X i (i=1，2)的概率密度分别为 因 X 1 与 X 2 独立，故 Y 1 与 Y 2 也独立且(X 1 ，X 2 )服从正方形区域 D=(x 1 ，x 2 )|0x 1 ， 0x 2 0上的二维均匀分布，其联合概率密度为 ()L=Y 1 +Y 2 ，根据两个独立随机变量之和的卷积分式，L 的概率密度为 由于只有当 0y 1 2，0l-y 1 2 时，被积函数才不为
22、零，如图(1)，于是 ()先求 S=X 1 X 2 的分布函数 方法 1 当 s0 时，F s (s)=0；当 s 2 时，F s (s)=1；当 0s0 2 时， F s (s)=PSs=PX 1 X 2 s 于是 S 的概率密度为 方法 2 当 0s 2 时， ，其中 D 为图(2)中正方形区域面积，S D = 2 ， ，则 S 的概率密度为 23.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知且 从总体 X 中抽取一个容量为 8 的简单随机样本，其 8 个样本值分别是 1，0，1，-1，1，1，2，1试求： () 的矩估计值 () 的最大似然估计值 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () 我们用样本均值作为总体期望的矩估计值，用样本均值的函数作为总体期望同一函数的矩估计值，而 因此 的矩估计值为 ()对于给定的样本值 x 1 ，x n 其似然函数为 令 ，得方程 20 2 -23+4=0，解得 于是 的最大似然估计值为 ()由于经验分布函数 ，于是有
