1、考研数学三-271 (1)及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 对给定的 (01)，数 y 满足 PYy =，则有（分数：4.00）_2.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1D. 1， 2+ 3， 1+ 2+ 33.设随机变量 X1和
2、 X2相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是（分数：4.00）A.X1+X2B.X1-X2C.max(X1，X 2)D.min(X1，X 2)4.设常数 a，b 满足 0ab，若函数 f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 xf(x)2f(x)当x(a，b)时成立，则对于任何 x(a，b)必有（分数：4.00）A.a2f(x)x 2f(x)B.b2f(x)x 2f(b)C.x2f(x)b 2f(b)D.x2f(x)a 2f5.设 又 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 若矩阵 X 满足：AX+2B=BA+2X，则 X4=（分数：
3、4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x0)=1，则（分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， -1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)，(x，y)均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，又 （分数：4.00）填空项 1:_11.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(x，y)连续，则在直角坐标
4、系 Oxy 中交换累次积分的积分次序可得 （分数：4.00）_13.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为其中 0 为已知，0 是未知参数，x 1，x 2，x n是取自总体 X 的样本观察值，则 的最大似然估计值 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：10.00）(1).求 并讨论 f(x，y)在(0，0)处是否可微，若可微求出 （分数：5.00）_(2).证明 f(x，y)在点(0，0)处取极小值。 （分数：5.00）_15.设由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，
5、x=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点。（分数：11.00）_16.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： 使得（分数：9.00）_17.已知函数 z=f(x，y)有连续的二阶偏导数，且 又设 x=x(y，z)是由 z=f(x，y)确定的函数，求（分数：10.00）_18.设连续函数 f(x)满足（分数：10.00）_19.已知矩阵 和 （分数：11.00）_20.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n
6、阶单位矩阵)。（分数：11.00）_设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y j)(i，j=1，2)，且 P 试求：（分数：11.01）(1).二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；（分数：3.67）_(2).X 与 Y 的相关系数 XY；（分数：3.67）_(3).条件概率 PY=yj|X=x1 （分数：3.67）_设二维连续型随机变量的联合概率密度为（分数：11.00）(1).求在 X=x 为已知时，关于 Y 的条件分布函数；（分数：5.50）_考研数学三-271 (1)答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量
7、X1，X 2，X 3，X 4相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 对给定的 (01)，数 y 满足 PYy =，则有（分数：4.00）_解析：分析 依题意可知，*相互独立且都服从自由度为 2 的 2分布，因此 Y=*而*所以*由 =PYy 2.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4 C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1D. 1， 2+ 3， 1+ 2+ 3解析：分析 齐次方程细 Ax=0 的基础解系有三层含义
8、：它们是 Ax=0 的解；它们线性无关；向量个数t=n-r(A)。根据齐次方程组解的性质，我们知(A)，(B)，(C)，(D)均是 Ax=0 的解；由已知条件 Ax=0 的基础解系由 4个线性无关的解所构成，而(D)中只有 3 个，不合要求；用观察法易见(A)，(C)均线性相关，故应选(B)。注意：( 1- 2)+( 2+ 3)-( 3+ 4)+( 4- 1)=0*(A)相关；( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3- 4)+( 4- 1)=0*(C)相关。或 ( 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1)=( 1， 2， 3， 4)*由*相关。3.设随机变量 X1和 X2相互独立且都服从参
9、数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是（分数：4.00）A.X1+X2B.X1-X2C.max(X1，X 2)D.min(X1，X 2) 解析：分析 求出每个选项中随机变量的分布进行判断是容易想到的思路，显然这不是简捷的方法，我们应用指数分布的性质来确定选项。依题意，X i服从参数为 的指数分布，*其分布函数为*对于选项(A)：*对于选项(B)：*对于选项(C)：*因选项(A)、(B)、(C)均不正确，用排除法，应选(D)。进一步分析，对选项(D)：*即 min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布。4.设常数 a，b 满足 0ab，若函数 f(x)在区间a，b上
10、连续，在区间(a，b)内可导，且 xf(x)2f(x)当x(a，b)时成立，则对于任何 x(a，b)必有（分数：4.00）A.a2f(x)x 2f(x)B.b2f(x)x 2f(b) C.x2f(x)b 2f(b)D.x2f(x)a 2f解析：分析 因为当 x(a，b)时*从而函数*在区间a，b上单调减少，即当 x(a，b)时有*故应选(B)。5.设 又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 F(x)是分段函数的变限积分，先求出 f(x)当 0x1 时，*当 1x2 时，*即*于是*因此选(B)。分析二 不必求出 F(x)，由于*(f(t)在0，1上连续)，而*(f(t)在1，2上
11、连续)，因此选(B)。*6.设 若矩阵 X 满足：AX+2B=BA+2X，则 X4=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题设矩阵方程，得 (A-2E)X=B(A-2E)。因为*可逆，故 X=(A-2E) -1B(A-2E)，从而 X 4=(A-2E)-1B4(A-2E)*所以应选(B)。*7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x0)=1，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由题设知在点 x 与 x0点之间存在 与 分别使得*代入即得*即应选(A)。8.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由*可得*从而按照间断点分类的规定即知点 x=0 是
12、函数 f(x)的一个跳跃间断点，应选(A)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， -1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由反函数求导公式得*再由复合函数求导法得*从而*于是*分析二 将上述导出的 (y)，“(y)表达式代入得*于是*10.设 f(x，y)，(x，y)均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，又 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 由题设条件*方程妒(x，y)=0 在点
13、M0邻域确定隐函数 y=y(x)，且满足 y(x0)=y0。M0点是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点*z=fx，y(x)以 x=x0为极值点，它的必要条件是*由 x，y(x)=0 及隐函数求导法得*代入(*)得*11.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xe 2aectanx+C。）解析：分析 *=e2ttant+C=xe2arctanx+C12.设函数 f(x，y)连续，则在直角坐标系 Oxy 中交换累次积分的积分次序可得 （分数：4.00）_解析：分析 设累次积分*则二重积分*的积分区域*0如图，*在区域 D 中最高点的纵坐标是 y=0，最低点的纵坐
14、标是 y=-1，左边界的方程是 x=，右边界的方程是x=2-arccosy，故积分区域 D 又可以表示成 D=(x，y)|-1y0，x2-arccsoy13.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k(-1，1，1) T，k0 为任意常数。）解析：分析 “特征值不同特征向量线性无关”，现在矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0必是 3 重根，且秩 r( 0E-A)=2。由*知 3 0=4+(-2)+1，得特征值 =1(3 重)，又*因为秩 r(E-A)=2，因此有 a=-2，此时(E-A)x=0 的基础解系是(-1，1，1) T，故 A 的特征向量为 k(-1，1，
15、1) T，k0 为任意常数。*14.设总体 X 的概率密度为其中 0 为已知，0 是未知参数，x 1，x 2，x n是取自总体 X 的样本观察值，则 的最大似然估计值 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 似然函数*显然此方程关于 没有正数解，又因*所以 lnL 关于 是单调增函数，但是由于对i=1，2，n，x i，即*因此 的最大值为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：10.00）(1).求 并讨论 f(x，y)在(0，0)处是否可微，若可微求出 （分数：5.00）_正确答案：(当(x，y)-(0，0)时*从而
16、*由于分母当(x，y)(0，0)时极限为 0，所以分子的极限*由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得*由极限与无穷小的关系可知*(o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量)，故 f(x，y)-f(0，0)=2(x 2+y2)+(x2+y2)o(1)=o() *由可微性概念即知 f(x，y)在点(0，0)处可微且*故*)解析：(2).证明 f(x，y)在点(0，0)处取极小值。 （分数：5.00）_正确答案：(知 f(0，0)=1，于是由已知条件可得*再由极限不等式性质即知*当 0x 2+y2 2时*且 f(x，y)-f(0，0)0。因此，f(x，y)在点(0，0)处取极小值。)解析：
17、*15.设由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点。（分数：11.00）_正确答案：(把由曲线*与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形记为 D，则 D 可分为两个部分区域*与*其中，D 1绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为*D2绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为*故所求旋转体的体积*由于*故 V(a)当*时取得最小值*)解析：16.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： 使得（分数：9.00）_正
18、确答案：(因为*由连续函数的介值定理可知存在 c(0，1)使得*对此 c，在0，c与c，1上分别应用拉格朗日中值定理即知：存在 (0，c)与 (c，1)，使得*又左端为*故得证。)解析：分析 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理：*取 c(0，1)，分别在0，c与c，1上用拉格朗日中值定理*使得*即*关键是取 c(0，1)及 f(c)使得左端为 2，只需取 f(c)使得*则达目的。17.已知函数 z=f(x，y)有连续的二阶偏导数，且 又设 x=x(y，z)是由 z=f(x，y)确定的函数，求（分数：10.00）_正确答案：(由于 x=x(y，z)是由 z=f(x，y
19、)确定的函数，因此求*等偏导数时都要利用隐函数的求导方法，并将 y 与 x 看成无关的。由 z=f(x，y)两边对 y 求偏导，可得*再由 z=f(x，y)两边对 z 求偏导，可得*由对 y 求偏导，并将代入得*由对 z 求偏导，并将代入得*由对 z 求偏导，并将代入得*利用上面计算的结果就有*)解析：18.设连续函数 f(x)满足（分数：10.00）_正确答案：(题设的积分等式可改写成*在(*)式中令 x=0 得 f(0)=0，由 f(x)连续知*可导，从而(*)式右端各项均可导，由此 f(x)必可导，将(*)式两端求导可得*在(*)式中令 x=0 得 f(0)=4，同样由(*)式右端各项均
20、可导知 f(x)二阶可导，且f“(x)=-8sin2x-4f(x)于是函数 y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题*的特解微分方程 y“+4y=0 对应的特征方程是 2+4=0，其特征根为 1=2i， 2=-2i，根据方程右端项的形式知非齐次微分方程的特解具有形式y*=x(Acos2x+Bsin2x)，其中 A，B 是待定常数，由于(y*)“=-4x(Acos2x+Bsin2x)+4(Bcos2x-Asin2x)，为使 y*是非齐次线性微分方程的特解，待定系数 A，B 应满足恒等式4(Bcos2x-Asin2x)=-8sin2x，由此可确定常数 A=2，B=0，故所求非齐次微分方程的通解
21、为y=c1cos2x+c2sin2x+2xcos2x由初值 y(0)=0 可确定常数 c1=0，由于y=2c2cos2x+2cos2x-4xsin2x，由初值 y(0)=4 可确定常数 c2=1，故所求函数 f(x)=sin2x+2xcos2x。)解析：19.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2= 3=-1。由矩阵 B 的特征多项式*得到矩阵 B 的特征值也是 1=3， 2= 3=-1。当 =-1 时，由秩*知(-E-A)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可
22、以相似对角化。而(-E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵曰不能相似对角化，因此矩阵 A 和 B 不相似。)解析：*20.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)。（分数：11.00）_正确答案：(因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似。现取 n 个单位向量 i=(0，0，1，0，0) T，(i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n，那么令 P=( 1，
23、 2， n)=E，有*如果 1 2，则 A( 1+ 2)= 1 1+ 2 2因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有 A( 1+ 2)=( 1+ 2)，于是 ( 1-) 1+( 2-) 2=0由于 1-， 2- 不全为 0，与 1， 2线性无关相矛盾，所以必有 1= 2同理可知 1= 2= n=k，故 A=kE。)解析：*设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y j)(i，j=1，2)，且 P 试求：（分数：11.01）(1).二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；（分数：3.67）_正确答案：(因 X 与 Y 独立，所以有*或*于是(X，Y)的联合概率分布为*)解析：(2)
24、.X 与 Y 的相关系数 XY；（分数：3.67）_正确答案：(知 X 与 Y 独立，因此它们的相关系数 XY=0。)解析：(3).条件概率 PY=yj|X=x1 （分数：3.67）_正确答案：(因 X 与 Y 独立，所以 PY=yj|X=x1=PY=yj，j=1，2，于是有*)解析：分析 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2与 y1，y 2，且*又题设*于是有 PX=x 1|Y=y1PX=x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件Y=y 2独立；X=x 2与Y=y 2独立，即 X 与 Y 相互独立。设二维连续型随机变量的联合概率密度为（分数：11.00）(1).求在 X=x 为已知时，关于 Y 的条件分布函数；（分数：5.50）_正确答案：(当|x|1 时，f X(x)=0；Y 的条件概率密度 fY|X(y|x)不存在；当|x|1 时，*因此，当|x|1 时 Y 的条件概率密度为*于是当|x|1 时 Y 的条件分布函数为*)解析：_解析：(x，y)在图中阴影部分 D=(x，y)：x 2y1
