1、考研数学三-270 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)满足 f“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf(x)=sinx，且 f(0)=2，则（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是，f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左邻域内是凹的，右邻域内是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左邻域内是凸的，右邻域内是凹的3.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又 （
2、分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=6 有解，则（分数：4.00）A.当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=nB.当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=nC.当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mnD.当 Ax=6 有无穷多解时，必有 r(A)m6.下列矩阵中 不能 相似对角化的是 （分数：4.00）A.B.C.D.7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）A.X
3、与|X|相关，且相关系数|=1B.X 与|X|相关，但|1C.X 与|X|不相关，且也不独立D.X 与|X|相互独立8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 ，对给定的/(01)，数 y 满足 PYy =，则有 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）10.设 y=y(x)由方程 （分数：4.00）11.设 G“(x)=e -x2 ，且 （分数：4.00）12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 y=
4、1 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设 X，Y 相互独立，且分别服从区间-1，4，1，5上的均匀分布，则 P0maxX，Y3= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.试讨论曲线 y=f(x)=e x +ax 3 的拐点的个数，其中 a 为常数 （分数：-1.00）_16.设，f(x)在-a，a(n0)上具有三阶连续导数，且满足 ，证明存在 -a，a，使得 （分数：-1.00）_17.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 所确定，其中 f，g，h 对各变量有连续的偏导数，且 求 （分数
5、：-1.00）_18.计算二重积分 （分数：-1.00）_19.将函数 （分数：-1.00）_20.已知 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，-1，7) T ， ()若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 的值； ()当 n=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 ； ()当 n=3 时，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任一个 4 维列向量 （分数：-1.00）_21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1 =- 2 -3 2 -3 3 ，A 2 =4 1 +4 2
6、+ 3 ，A 3 =-2 1 +3 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求矩阵 A 的特征向量； ()求矩阵 A * -6E 的秩 （分数：-1.00）_22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且 PX=x 2 = ，PY=y 1 |X=x 2 = ，PX=x 1 |Y=y 1 = （分数：-1.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ，-x+，A0 是未知参数 ()求 的矩估计量 ()求 的最大似然估计量 （分数：-1.00）_考研数学三-270 答案解析(总分：47.00，做题时间：90
7、分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 考察 f(x)与 f“(x)的关系设 x0，1，则由牛顿-莱布尼兹公式及 f(0)=0，有 由积分基本性质，并考虑到 ，有 于是 分析二 同样考察 f(x)与，f“(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时 f(x)=f(x)-f(0)=f“()x，(0，x) 2.设 f(x)满足 f“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf(x)=sinx，且 f(0)=2，则（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是
8、，f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左邻域内是凹的，右邻域内是凸的 D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左邻域内是凸的，右邻域内是凹的解析：解析 由 f“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf(x)=sinx，有 f“(0)=0，且 f“(x)+sinxf“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf“(x)+f(x)=cosx， 于是 f“(0)=1-f(0)=-10， 即有 而 f“(0)=0，所以 于是存在 0 使得当-x0 时 f“(x)0，即曲线 y=f(x)是凹的；当 0x 时，f“(x)0，即曲线 y=f(x)是凸的故选(C) 3.设 f(x)在 x=0
9、 处存在 4 阶导数，又 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 用带皮亚诺余项的泰勒公式先考虑分母， 然后将分子 f(x)在 x 0 =0 按带三阶皮亚诺余项的泰勒公式展开，则有 将上式代入极限式，由题设有 所以 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=3故选(C) 分析二 分母用等价无穷小替换，有 可见 不然与极限为 1 矛盾对上式用洛必达法则，有 可见， 不然，上式应为，与等于 1 矛盾再用洛必达法则，有 故选(C) 4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 其中，D 1 ：0x，0ysinx；D 2 ：x2
10、，sinxy0 sin(x-2)=sinx=y，x-2=arcsiny，x=2+arcsiny因此 D 1 ，D 2 可以表示为 D 1 ：0y1，arcsinyx-arcsiny， D 2 ：-1y0，-arcsinyx2+arcsiny， 如右图所示 于是 5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=6 有解，则（分数：4.00）A.当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=nB.当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n C.当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mnD.当 Ax=6 有无穷多解时，必有 r(A)m解析：解析 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以(B)正确注意方程组有唯一解不
11、要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，可以有 mn例如 方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数 当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如 6.下列矩阵中 不能 相似对角化的是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 有 n 个线性无关的特征向量记(C)项的矩阵为 C，由 可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 n-r(E-C)=3-2=1说明齐次线性方程组(E-C)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以(C)不能对角化故选(C) 7.在区间(-1，1)上任意投一质点，
12、以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）A.X 与|X|相关，且相关系数|=1B.X 与|X|相关，但|1C.X 与|X|不相关，且也不独立 D.X 与|X|相互独立解析：解析 依题设，X 在-1，1上服从均匀分布，其概率密度为 由于 故 cov(X，|X|)=0，从而 =0，X 与|X|不相关于是可排除(A)与(B) 对于任意实数 a(0a1)，有 又 Pxa，|X|a=P|X|a=a， 从而 PXaP|X|aPXa，|X|a，即 所以 X 与|X|不独立，故应选(C) 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X
13、 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 ，对给定的/(01)，数 y 满足 PYy =，则有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 依题意可知， 相互独立都服从自由度为 2 的 2 分布，因此 Y= 因为 PYy =，即 y =F (2，2)，又 由 =PYy 可知 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）解析： 解析 由极限与无穷小的关系，有 分析二 利用 sinx 的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有 代入原极限式即得 可见 ，于是 ，且 10.设 y=y(x)由方程 （分数：4.00）解析：-2 解析 由 ，
14、以 x=0 代入可知 y=1再将所给方程两边对 x 求导即得 11.设 G“(x)=e -x2 ，且 （分数：4.00）解析： 解析 由洛必达法则分别可得 所以原式 12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 原方程可改写为 xdy+ydy+ydx+dx=0 即 从而方程的通解为 ，利用 y(1)=2 可确定常数 ，故所求特解满足 y 2 +2xy+2x=10，解出即得 13.已知 （分数：4.00）解析： 解析 因为 ，所以 那么 14.设 X，Y 相互独立，且分别服从区间-1，4，1，5上的均匀分布，则 P0ma
15、xX，Y3= 1 （分数：4.00）解析： 解析 P0maxX，Y3=PmaxX，Y3-PmaxX，Y0 =PX3P；Y3-PX0Py0 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.试讨论曲线 y=f(x)=e x +ax 3 的拐点的个数，其中 a 为常数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析 曲线 y=f(x)的拐点就是使其二阶导函数 f“(x)从正变到负或从负变到正的点，因而应先求出 ，并研究 g(x)在其零点两侧的符号显然，a=0 时 g(x)无零点；a0 且 x0 时 g(x)无零点；a0 且 x0 时 g(x)无零点故只需讨论 a0，x0 时与 a0，x0 时的情形
16、解法一 考察 g(x)的单调性区间， ，g(0)及 g(x)的极值的正负号 ()a0，x(-，0时，由 g“(x)=e x +6a0 g(x)在(-，0单调上升，又 由二者异号知 g(x)在(-，0)有唯一零点，记为 x 1 ，如图(1)，且零点两侧 g(x)异号因此 a0 时曲线 y=f“(x)有唯一拐点(x 1 ，f(x 1 ) ()a0，x0，+)时，由 (如图(2)， 可知 g(x)在0，x * 单调下降，在x * ，+)单调上升，故 g(x)g(x * )(x0，+)，xx * )又由于 g(x * )=e ln(-6a) +6aln(-6a) 可见当 时 g(x)g(x * )0(
17、x0)，即 y=f(x)无拐点 当 时 g(x)0，又 g(0)=1，且 从而 g(x)在(0，x * )，(x * ，+)各有唯一零点，分别记为 x 1 ，x 2 ，如图(3)，且在零点两侧 g(x)异号因此当 时 f(x)有且仅有两个拐点(x 1 ，f(x 1 )与(x 2 ，f(x 2 )，其中 x 1 (0，x * )，x 2 (x * ，+) 解法二 显然 g(0)0，于是 g(x)的零点且零点两侧 g(x)异号等价于 的零点且两侧 h(x)异号下面考察 h(x)的单调性区间， 及 h(x)的极值的正负号由于 ()当 x(-，0)时 h(x)单调下降，又 于是当0 时 h(x)在(-
18、，0)无零点，即 y=f(x)在(-，0)无拐点；当 x0 时 h(x)在(-，0)有唯一零点且两侧 h(x)异号(如图(4)，即 y=f(x)在(-，0)有唯一拐点 ()当 x(0，+)时 h(x)在(0，1单调下降，在1，+)单调上升，从而 h(x)h(1)(x0，x1)又由 可知，当 时 h(x)h(1)0(x0)，即 y=f(x)在(0，+)无拐点(如图(5)；当 时 h(1)0，又由 即知 h(x)在(0，1)，(1，+)各有唯一零点(分别记为 x 1 ，x 2 ，如图(6)且在零点两侧 h(x)异号因此， 时 y=f(x)有且仅有两个拐点(x 1 ，f(x 1 )，(x 2 ，f(
19、x 2 )，其中 x 1 (0，1)，x 2 (1，+) 综上分析，结论是当 a0 时 y=f(x)有唯一拐点(且横坐标为负)；当 时 y=f(x)无拐点；当 16.设，f(x)在-a，a(n0)上具有三阶连续导数，且满足 ，证明存在 -a，a，使得 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与证明 本题即证存在 看到这种形式，应该想到对 f“(x)在-a，a上使用介值定理，这样便需要联系积分 函数 f(x)与其导数 f“(x)，涉及积分的保号性与麦克劳林公式 在 中令 u=x-t 可得 于是 由麦克劳林公式，有 其中 介于 0 与 x 之间，x-a，a 由于，f“(x)在-a，a上连续，
20、因此 f“(x)在-a，a上有最大值 M 与最小值 m，从而 即 再由连续函数的介值定理可知，至少存在一点 -a，a，使得 17.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 所确定，其中 f，g，h 对各变量有连续的偏导数，且 求 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析与求解 在本题的三个方程中包含五个变量，因而其中有三个因变量，其余两个为自变量按题意 x，y 为自变量，从而 u，z，t 均为因变量由第二、第三个方程知 x 与 t 只是 y 的函数，因此 对 y 求偏导数，由复合函数求导法得 方程，是以 为未知数的二元线性方程组，由系
21、数行列式不为零知有唯一解，即 代入即得 18.计算二重积分 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 首先，由被积函数与积分区域关于 x 与 y 的轮换对称性有 令 x+y=u(视 x 为常数)，得 交换积分次序即得 令 作换元，易得 19.将函数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 令 u=x-2，则 x=u+2，于是 又 成立的范围是 与|u|1 的公共部分，即|u|1从而知 即 20.已知 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，-1，7) T ， ()若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 的值； ()当 n=3 时，求与
22、 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 ； ()当 n=3 时，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任一个 4 维列向量 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () 1 ， 2 ， 3 线性相关 秩 r( 1 ， 2 ， 3 )3由于 所以 a=-3 ()设 4 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T ，则有( 1 ， 4 )=0，( 2 ， 4 )=0，( 3 ， 4 )=0，即 所以 4 =k(19，-6，0，1) T ，其中 k0 ()由于 所以 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1 ， 2 ， 3 ，
23、 4 线性表出 或者由()知 a=3 时， 1 ， 2 ， 3 必线性无关，那么：若 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0， 用 左乘上式两端并利用 21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1 =- 2 -3 2 -3 3 ，A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =-2 1 +3 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求矩阵 A 的特征向量； ()求矩阵 A * -6E 的秩 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()据已知条件，有 A( 1 ， 2 ， 3 )=(- 1 -3 2 -3 3 ，4 1 +4
24、 2 + 3 ，-2 1 十 3 3 ) 记 及 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，那么由 1 ， 2 ， 3 线性无关知矩阵 P 1 可逆，且 ，即 A 与 B 相似 由矩阵 B 的特征多项式 得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3 ()由(E-B)x=0 得基础解系 1 =(1，1，1) T ，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0得基础解系 2 =(2，3，3) T ，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3 =(1，3，4) T ，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P 2
25、 =( 1 ， 2 ， 3 )，则有 于是令 =( 1 + 2 + 3 ，2 1 +3 2 +3 3 ， 1 +3 2 +4 3 )， 则有 所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为 k 1 ( 1 + 2 + 3 )，k 2 (2 1 +3 2 +3 3 )，k 3 ( 1 +3 2 +4 3 )，k i 0(i=1，2，3) ()由 从而 所以秩 r(A * -6E)=2 22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且 PX=x 2 = ，PY=y 1 |X=x 2 = ，PX=x 1 |Y=y 1 = （分数：-1.00）
26、_正确答案：()解析：分析 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x 1 ，x 2 与 y 1 ，y 2 ，且 又题设 于是有 PX=x 1 |Y=y 1 =PX=x 1 ， 即事件X=x 1 与事件Y=y 1 相互独立，因而X=x 1 的对立事件X=x 2 与Y=y 2 独立，且X=x 1 与Y=y 1 的对立事件Y=y 2 独立；X=x 2 与Y=y 2 独立，即 X 与 Y 相互独立 解 ()因 X 与 Y 独立，所以有 或 于是(X，Y)的联合概率分布为 ()由()知 X 与 Y 独立，因此它们的相关系数 P XY =0 ()因 X 与 Y 独立，所以 PY=y j |X=x 1 =PY=y j ，j=1，2，于是有 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ，-x+，A0 是未知参数 ()求 的矩估计量 ()求 的最大似然估计量 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 由 ()由于 X 的一阶矩 ，故考虑 X 的二阶矩 而样本的二阶矩为 ，所以 的矩估计量为 ()似然函数为 ，取对数有 求导得 令 ，从而 的最大似然估计量为
