1、考研数学三-270 (1)及答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是(-，+)上连续的偶函数，且|f(x)|M 当 x(-，+)时成立，则 （分数：4.00）A.无界偶函数B.有界偶函数C.无界奇函数D.有界奇函数2.设有函数 f 1 (x)=|lnx|， （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.设 m 与 n 是正整数，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，则 A1 B0 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax= 有解，则（
2、分数：4.00）A.当 AX= 有唯一解时必有 m=nB.当 AX= 有唯一解时必有 rA=nC.当 AX= 有无穷多解必有 mnD.当 AX= 有无穷多解必有 rAm6.设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有（分数：4.00）A.F(+x)=F(-x)B.F(+x)+F(-x)1C.0D.F(+x)+F(-x)=1D.F(+x)+F(-x)=18.设随机变量 X 的密度函数为 ， 则下列服从标准正态分布的随机变量是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.
3、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设 y(x)是由 x 2 +xy+y=tan(x-y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）11.曲线 （分数：4.00）12.反常积分 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Emin(X，Y)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)，g(x)连续，且满足 （分数：11.00）_过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：10.00）(1).求
4、切线 L 的方程（分数：5.00）_(2).求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V（分数：5.00）_16.计算二重积分 （分数：11.00）_17.设 f(x)连续，且满足 （分数：10.00）_设函数 （分数：9.99）(1).F n (x)在(0，+)存在唯一零点 x n ；（分数：3.33）_(2).收敛； （分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_设 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，7，0，4) T ， 3 ：(5，17，-1，7) T （分数：9.99）(1).若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a（分数：3.33）_(2).当 a=3 时，求与 1
5、 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 （分数：3.33）_(3).设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：3.33）_已知三元二次型 x T Ax 的平方项系数都为 0，=(1，2，-1) T 满足 A=2（分数：10.00）(1).求 x T Ax 的表达式（分数：5.00）_(2).求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax 化为标准二次型（分数：5.00）_18.设甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3次，求甲袋中白球数 X 的数学期望 （分
6、数：11.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 A 的矩估计量 （分数：5.50）_(2).求 A 的最大似然估计量 ，并求 （分数：5.50）_考研数学三-270 (1)答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是(-，+)上连续的偶函数，且|f(x)|M 当 x(-，+)时成立，则 （分数：4.00）A.无界偶函数B.有界偶函数 C.无界奇函数D.有界奇函数解析：解析 首先讨论 F(x)的奇偶性注意 有 可见 F(x)是(-，+)上的偶函数
7、这样就可排除 C 与 D 其次讨论 F(x)的有界性因 F(x)是(-，+)上的偶函数，所以可限于讨论 x0 时 F(x)的有界性由于 2.设有函数 f 1 (x)=|lnx|， （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析 首先 f i (1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上 由|lnx|的图形容易判断(1，0)是 f1(x)的拐点 ， ， 令 ，x=1(x=-1 不在定义域内)，由于 在 x=1 的左、右异号，故(1，0)是 f 2 (2)的拐点 ， ， ， 又， 在 x=1 左右异号，故(1，0)是 f 3 (x)的拐点 对 f 4 (x)求
8、导比较麻烦，我们可以由 g(x)=x-1+lnx 来讨论 可知 g(x)，又 3.设 m 与 n 是正整数，则 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限 继续进行分部积分可得 4.设 ，则 A1 B0 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先求出 f(x，y)的表达式，为此令 u=x+y， ，从而解得 ，代入题设中 故 5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax= 有解，则（分数：4.00）A.当 AX= 有唯一解时必有 m=nB.当 AX= 有唯一解时必有 rA=n C.当
9、AX= 有无穷多解必有 mnD.当 AX= 有无穷多解必有 rAm解析：解析 方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩阵(A|)的秩相等并且等于未知数的个数 n(也就是 A 的列数)显然 B 正确 A不对，因为唯一解只能推出 mn，不必 m=n C不对，在方程组有解时，mn 是有无穷多解的充分条件，不是必要条件 D不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n6.设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先可排除 A，因为 rA=2，而 A矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同 两个实对称矩阵合同的充
10、分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手 求出|E-A|=(+3)(-3)，A 的特征值为 0，-3，3 显然 C 中矩阵的特征值也是 0，-3，3，因此它和 A 相似，可排除 剩下 B、D 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为 0，-1，1，因此它和 A 合同而不相似(也可计算出 B 中矩阵的特征值为 0，1，4，因此它和 A 不合同)7.设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有（分数：4.00）A.F(+x)=F(-x)B.F(+x)+F(-x)1C.0D.F
11、(+x)+F(-x)=1D.F(+x)+F(-x)=1 解析：解析 利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论 又 f(-u)=f(+u)，u(-，+) 所以 8.设随机变量 X 的密度函数为 ， 则下列服从标准正态分布的随机变量是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 ，可知 XN(-3，2)， ，而 A，B，C 三个选项都不符合，只有 D 符合，可以验证 即 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：1 解析 令 f(t)=aretant，则 ，其中 (n，n+1) 注意 ，又 因此
12、 属0 型的数列极限，转化为 型的函数极限后再用洛必达法则，即有 10.设 y(x)是由 x 2 +xy+y=tan(x-y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 将方程看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数可得 ， (*) 在(*)式中令 x=0，又 y(0)=0，则有 y“(0)=1-y“(0)，于是 将(*)式看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数又可得 ， (*) 在(*)式中令 x=0，又 y(0)=0， ，即得 2+2y“(0)+y“(0)=-y“(0)，于是 11.曲线 （分数：4.00）解析：y=x
13、 解析 因为 又 其中 同理 12.反常积分 （分数：4.00）解析： 一令 ，则 ；令 ， ，于是 二 令 x=atant，则 13.已知 （分数：4.00）解析：-2 解析 因为属于不同特征的特征相量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A 有一个 3 重特征值 3=trA，于是 =1 有|E-A|=(-1) 3 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Emin(X，Y)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 ，由题设 X，Y 独立，则有 Z=X-YN(0，2 2 )，于是 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f
14、(x)，g(x)连续，且满足 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对函数 g(x)两边作定积分 将其代入 f(x)中，得 对上式两边作定积分 从而可知 ,所以 g(x)=-x 3 ， 过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：10.00）(1).求切线 L 的方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：设切线的切点为(x 0 ，y 0 )，则切线的斜率为 ，所以切线 L 的方程为 其中 因 L 过(0，0)点，把 x=0，y=0 代入上述方程得 即 x 0 =2，y 0 =e 因此所求切线 L 的方程为 即 (2).求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V（分数：5.00）
15、_正确答案：()解析：平面图形 D 如下图 解法一取积分变量为 y设 ，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V 1 ，它是锥体 即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积 V 2 ，则V=V 1 -V 2 ， 因此 解法二取积分变量为 x设 y 轴，x 轴，x=2 所围平面图形绕 y 轴旋转得旋转体体积为 V 1 ， ，x 轴，x=2 所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V 2 ，则 V=V 1 -V 2 因此 16.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：D 如图，关于 x 轴对称 ，于是 ，其中 D
16、 1 =Dy0 方法 1在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块) ，其中，两圆周的交点是 于是 方法 2作极坐标变换，并选用先对 积分后对 r 积分的顺序 x 2 +y 2 =2x 的极坐标方程是 r=2cos，于是 D 1 的极坐标表示是 0r1， 方法 3作极坐标变换后，若选择先对 r 积分的顺序，则 D 1 要分块表示： D 1 ： ，0r1； ，0r2cos，其中 x 2 +y 2 =1 与 x 2 +y 2 =2x 的交点 对应 于是 17.设 f(x)连续，且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变
17、量替换，转化为被积函数不含参变量的情形令 s=x-t 得 ， 即 现把它转化成微分方程问题式两边求导得 又式中令 x= 得，f()=0 再对求导得 f“(x)+f(x)=2 在中令 x= 得 f“()=0 于是问题转化为求解初值问题 ，其中 y=f(x) 这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+2 由 设函数 （分数：9.99）(1).F n (x)在(0，+)存在唯一零点 x n ；（分数：3.33）_正确答案：()解析：()Fn(x)在0，+)内可导(也就必然连续)，又 ， ， 故 F n (x)在(0， )存在零点，记为 x
18、n ，则 F n (x n )=0又 (2).收敛； （分数：3.33）_正确答案：()解析：在前面的证明中已得估计式 ， 因 收敛，由比较原理知， 收敛又 ln(1+x n )x n (n)， 故 (3). （分数：3.33）_正确答案：()解析：方法 1前面已导出 从而对有 又 ，故 方法 2直接由 同样得 设 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，7，0，4) T ， 3 ：(5，17，-1，7) T （分数：9.99）(1).若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 )3得
19、a=-3(2).当 a=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 （分数：3.33）_正确答案：()解析：与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组： (3).设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：3.33）_正确答案：()解析：只用证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 线性相关，从而 可以用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示 方法一 由知，a=3 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关，只
20、用证明 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示 用反证法，如果 4 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，设 4 =c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 ，则 ( 4 ， 4 )=( 4 ，c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 )=c 1 ( 4 ， 1 )+c 2 ( 4 ， 2 )+c 3 ( 4 ， 3 )=0， 得 4 =0，与 4 是非零向量矛盾 方法二 计算行列式 已知三元二次型 x T Ax 的平方项系数都为 0，=(1，2，-1) T 满足 A=2（分数：10.00）(1).求 x T Ax 的表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 ，则条件 A=2 即 (2
21、).求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax 化为标准二次型（分数：5.00）_正确答案：()解析：先求 A 特征值 于是 A 的特征值就是 2，2，-4 再求单位正交特征向量组 属于 2 的特征向量是(A-2E)x=0 的非零解 得(A-2E)x=0 的同解方程组：x 1 -x 2 -x 3 =0 显然 1 =(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2 =(1，-1，c) T (这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1 ， 2 再把它们单位化：记 ， 属于-4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解 求出 3 =(1，-1，-
22、1) T 是一个解，单位化：记 则 1 ， 2 ， 3 是 A 的单位正交特征向量组，特征值依次为 2，2，-4 作正交矩阵 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，-4 作正交变换 x=Qy，它把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为 18.设甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3次，求甲袋中白球数 X 的数学期望 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 为求数学期望应先求出甲袋白球数 X 的概率分布经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论 解
23、 设 A i =第二次交换后甲袋有 i 个白球，i=0，1，2由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故 ， ， 又设X=k表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1，2则 PX=0|A 0 =0， ，pX=0|A 2 =0， PX=1|A 0 =1， ，pX=1|A 2 =1， PX=2|A 0 =0， ，pX=2|A 2 =0 所以 ，故 X 的概分布为 设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 A 的矩估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 由于 X 的一阶矩 ，故考虑 X 的二阶矩 而样本的二阶矩为 ，所以 的矩估计量为 (2).求 A 的最大似然估计量 ，并求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：似然函数为 ，取对数有 ， 求导得 ， 令 ，得 ，从而 的最大似然估计量为
