1、考研数学三-269 及答案解析(总分：149.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（分数：4.00）A.|k|2B.|k|1C.|k|1D.|k|22.设正数列a n 满足 ，则极限 Ae B1 C0 D （分数：4.00）A.B.C.D.3.在反常积分 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，4.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 P 的取值范围是 A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.a=-5 是齐次方程组（分数：4.00
2、）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必要条件C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分条件6.n 维向量 =(1/2，0，0，1/2) T ，A=E- T ，=(1，1，1) T ，则 A 的长度为 A B （分数：4.00）A.B.C.D.7.袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立， （分数：4.00）A.服从同一离散型分布B.服从同一连续型分布C.服从同参数的超几何分布D.满足切比雪夫大
3、数定律二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ， ，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设函数 f(x)可导，且，f(0)=0，f“(0)=1， ，则 （分数：4.00）12.积分 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：93.00)从抛物线 y=x 2 -1 的任意一点 P(t，t 2 -1)引抛物线 y=x 2 的两条切线，（分数：10.00）(1).求这两条切线的切线方程；（分数：5.00）_(2).证明该两条切线与抛物线)y=x 2 所围面积为常数（分数：5.00）_
4、15.求通过点(1，1)的曲线方程 y=f(x)(f(x)0)，使此曲线在1，x上所形成的曲边梯形面积的值等于曲线终点的横坐标 x 与纵坐标 y 之比的 2 倍减去 2，其中 x1 （分数：11.00）_设 （分数：10.00）(1).求 du（分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_16.设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：10.00）_17.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 （分数：11.00）_ 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，-1，-3) T ， 4 =
5、(0，0，3，a) T ，=(1，b，3，2) T （分数：10.00）(1).a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：5.00）_(2).在 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?写出一个表示式（分数：5.00）_设 （分数：10.00）(1).求作可逆矩阵 P，使得(AP) T AP 是对角矩阵（分数：5.00）_(2).k 取什么值时 A+kE 正定?（分数：5.00）_设二维连续型随机变量(X，Y)服
6、从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2-y 试求：（分数：11.01）(1).X+Y 的概率密度；（分数：3.67）_(2).X 的边缘概率密度；（分数：3.67）_(3).PY0.2|X=1.5（分数：3.67）_18.独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 100元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W （分数：10.00）_考研数学三-269 答案解析(总分：149.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零
7、点，则 k 的取值范围为（分数：4.00）A.|k|2 B.|k|1C.|k|1D.|k|2解析：解析 f(x)为三次多项式，至少有一个零点， y=f(x)只有以下三种情形 f(-1)，f(1)0 k2；f(-1)，f(1)0 k-2 因此 f(x)只有一个零点 2.设正数列a n 满足 ，则极限 Ae B1 C0 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先求出 又 ， ， 因此 3.在反常积分 （分数：4.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 由题设选项可知，这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散 方法 1找出其中两个收敛的 由 ，知收敛 由 ，知收敛 因此选 B 方法
8、2找出其中两个发散的对于：由 ，而 发散，知 发散，即发散 由 ，可知 4.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 P 的取值范围是 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 可知 于是 5.a=-5 是齐次方程组（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必要条件 C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分条件解析：解析 根据克拉默法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 0 6.n 维向量 =(1/2，0，0，1/2) T ，A=E- T ，=(1，1，1)
9、 T ，则 A 的长度为 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A=(E-4 T )=-4( T )=-4=(-1，1，1，-1) T ， 7.袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 A i 表示第 i 次取到白球，i=1，2，n，则 由乘法公式可得 ，故 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立， （分数：4.00）A.服从同一离散型分布B.服从同一连续型分布C.服从同参数的超几何分布 D.满足切比雪夫大数定律
10、解析：解析 根据林德伯格一列维中心极限定理，如果 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布且期望、方差都存在，只有 C满足该定理条件，因此应选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ， ，则 （分数：4.00）解析： 解析 设 ，则 y=f(u)，于是 10. （分数：4.00）解析： 解析 利用奇偶函数在对称区间上的积分性质得 11.设函数 f(x)可导，且，f(0)=0，f“(0)=1， ，则 （分数：4.00）解析： 解析 由于被积函数中出现积分限中的变量 x，所以首先通过变量代换将 x 换到积分号之外 令 x n -t n =u，则 于是 12.积分 （分数：4.00
11、）解析： 解析 因此 13.已知 （分数：4.00）解析：27 解析 A 相似于 B，则 A * +3E 相似于 B * +3E，于是|A * +3E|=|B * +3E| 方法一 求出 方法二 用特征值 14.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）解析：N(5，2) 解析 由 ，可知 三、解答题(总题数：9，分数：93.00)从抛物线 y=x 2 -1 的任意一点 P(t，t 2 -1)引抛物线 y=x 2 的两条切线，（分数：10.00）(1).求这两条切线的切线方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：抛物线 y=x 2 在点(x0， )处的方程为 ，即 若它通过点 P，则
12、 ，即 ，解得 x 0 的两个解 x 1 =t-1，x 2 =t+1从而求得从抛物线 y=x 2 -1 的任意一点 P(t，t 2 -1)引抛物线 y=x 2 的两条切线的方程是 ； (2).证明该两条切线与抛物线)y=x 2 所围面积为常数（分数：5.00）_正确答案：()解析：这两条切线与抛物线 y=x 2 所围图形的面积为 ，下证 S(t)为常数方法 1求出 S(t) 方法 2求出 S“(t) S“(t)=(t-x 1 ) 2 -(t-x 2 ) 2 1 2 -(-1) 2 =0 S(t)为常数 15.求通过点(1，1)的曲线方程 y=f(x)(f(x)0)，使此曲线在1，x上所形成的曲
13、边梯形面积的值等于曲线终点的横坐标 x 与纵坐标 y 之比的 2 倍减去 2，其中 x1 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题意得 对方程两边求导得 ，即 y(y 2 -2)dx+2xdy=0 上式分离变量得 ，即 ，两边积分，得 ，即 由 y| x=1 =1 得 C=1，故所求曲线方程为 y 2 =x 2 |y 2 -2|考虑到函数在 x=1 处有定义，且 f(x)0，曲线方程为 设 （分数：10.00）(1).求 du（分数：5.00）_正确答案：()解析：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 du 中 dy，
14、dz 的系数分别得 解析 是 u=f(s，t)与 ， 复合而成的三元函数先求 du(从而也就求得 )，或先求 也可以求得 du，然后 求 (或由 求 16.设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于 x 2 +y 2 x+y 可改写为 ，令 ， ，则可把区域 D 表示为 ，而且 因为 D 1 关于 u=0 或 v=0 都对称，而 uv， ， 分别是关于 u 或关于 v 的奇函数，故 在 D1 中作极坐标变换，即令 u=rcos，v=rsin，就有 综合即知 17.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sin
15、x0 当 （分数：11.00）_正确答案：()解析：注意 f(x)在 上连续，且 先求 其中 g(x)=2- 2 x(1-x) 显然，f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 ，故 g(x)在 单调下降，又因 g(0)=2， ，从而存在唯一的 使 g(x 0 )=0又由 即知 从而 f(x)f(0)=0(0xx 0 )， 故 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，-1，-3) T ， 4 =(0，0，3，a) T ，=(1，b，3，2) T （分数：10.00）(1).a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4
16、 线性相关?此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 两个小题都关系到秩， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )4； 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )因此应该从计算这两个秩着手 以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为列向量构造矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)，然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵： r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )4 (2).在 1 ， 2 ，
17、3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?写出一个表示式（分数：5.00）_正确答案：()解析：r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，则 b=2=-7 1 +8 2 -3 3 设 （分数：10.00）(1).求作可逆矩阵 P，使得(AP) T AP 是对角矩阵（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (AP) T AP=P T A T AP=PTA 2 P，于是如果用可逆线性变量替换把二次型 x T A 2 x 化为标准二次型，则变换矩阵 P 就是所求 用配方法 则令 则 所做变换为 变换矩阵 (2)
18、.k 取什么值时 A+kE 正定?（分数：5.00）_正确答案：()解析：求出|E-A|=( 2 -1)( 2 -5)，A 的特征值为-1，0，1，5，则 A+kE 的特征值为 k-1，k，k+1，k+5，于是当 k1 时 A+kE 正定设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2-y 试求：（分数：11.01）(1).X+Y 的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：如图，区域 D 即AOB 的面积 S D =1，因此(X，Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0
19、z2 时， 于是 X+Y 的概率密度 f(x)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x，z-x)只有在 0z-xx2-(z-x)时才不为 0，即只有当 时， (2).X 的边缘概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(3).PY0.2|X=1.5（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 X=1.5 时 f X (1.5)=0.5，条件密度 故 18.独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 100元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 以 X 表示试验的次数，由题设知 X 服从几何分布，其分布为 PX=n=pq n-1 ，n=1，2，q=1-p 由题设知，试验总费用为 Y 是随机变量 X 的函数，由随机变量函数的期望公式可得 由于 所以
