1、考研数学三-268 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续点B.第一类可去间断点C.第一类非可去间断点D.第二类间断点2.方程 （分数：4.00）A.0个B.1个C.2个D.3个以上3.下列命题正确的是_ A若正项级数 发散，则 (nN) B若级数 收敛，则级数 必收敛 C若级数 ， 中至少有一个发散，则级数 必发散 D若级数 收敛，则 ， （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 p(x)，q(x)，f(x)在区间(a，b)上连续，y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是二阶线性微分方程y
2、“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，c 1 ，c 2 是两个任意常数，则该方程的通解是_（分数：4.00）A.c1y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3B.c1y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3C.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3D.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y35.3阶矩阵 A的特征值是 0，-1，1则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.A不可逆B.A主对角线元素之和为 0C.1和-1 对应的特征向量正交D.AX=0的基础解系由一个解向量组成6.矩阵 （分数：4.00）A.t=-2时，B 的列向量组
3、线性无关B.t=-2时，B 的列向量组线性相关C.t-2 时，B 的列向量组线性无关D.t-2 时，B 的列向量组线性相关7.X为一随机变量，若 E(X)0，E(X 2 )=1.1，D(X)=0.1，则必有 _（分数：4.00）A.P(0X2)0.9B.P(-1X1)0.9C.P(|x+1|1)0.9D.P(|X|1)0.18.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布且 D(X)D(Y)，则 _（分数：4.00）A.X，Y 一定独立B.X，Y 一定不独立C.(X+Y)，(X-Y)一定独立D.(X+Y)，(X-Y)一定不独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00
4、）10.设 （分数：4.00）11.已知 y=y(x)在点 x处的改变量 （分数：4.00）12.曲线 ， （分数：4.00）13.n阶矩阵 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X 36 是取自总体 XN(，8)的简单随机样本， 为未知参数如果以( ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.两条宽分别为 a，b(a0，b0)的河垂直相交若一条船能从一条河转入另一条河，问其最大长度是多少? （分数：10.00）_16.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：10.00）_17.已知 ，求广义积分 （分数：10.00）_18.求二重积分 ，其中
5、 D=(x，y)|0x ，0y （分数：10.00）_19.设某产品的成本函数 c=Q 2 +Q+，需求函数为 （分数：10.00）_20.矩阵 （分数：11.00）_21.设 （分数：11.00）_22.某宽带网站有两台重要设备，其中任意一台发生故障都会引起网络故障假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布，且平均无故障工作时间都为 （分数：10.00）_23.设总体 X是离散型随机变量，可能取值为 0，1，2而 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2 ，E(X)=2(1-)( 是未知参数，且 0 ) ()求 X的分布律； ()求参数 的
6、矩估计量 （分数：11.00）_考研数学三-268 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续点B.第一类可去间断点C.第一类非可去间断点D.第二类间断点 解析：考点 判断间断点类型 解析 f(x)在 x=1处无定义A 不正确，且 2.方程 （分数：4.00）A.0个B.1个C.2个 D.3个以上解析：考点 判定方程实根的个数 解析 令 x(-，+)，则 即 x=1是 f(x)的唯一极大值点，故为最大值点，且最大值为 ，而且 3.下列命题正确的是_ A若正项级数 发散，则 (nN) B若级数 收敛，则级数 必
7、收敛 C若级数 ， 中至少有一个发散，则级数 必发散 D若级数 收敛，则 ， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数敛散性的有关概念 解析 C 正确反证：设 收敛，则由|a n |a n |+|b n |，|b n |a n |+|b n |以及正项级数比较审敛法知 ， 都绝对收敛，与已知其中至少有一个发散矛盾 A不正确反例：由于 n2 时 1，取 ，则 a n (n2)由 知 发散 B不正确反例：虽然(1-1)+(1-1)+(1-1)+是收敛的，但 发散因为 不存在 D不正确反例：取 ， ，虽然 收敛，但 4.设函数 p(x)，q(x)，f(x)在区间(a，b)上连续，y
8、1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是二阶线性微分方程y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，c 1 ，c 2 是两个任意常数，则该方程的通解是_（分数：4.00）A.c1y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3 B.c1y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3C.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3D.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3解析：考点 二阶线性微分方程解的结构 解析 A 中解的形式可改写为 c 1 (y 1 -y 2 )+c 2 (y 2 -y 3 )+y 3 由于 y 1 ，y 2 ，y 3 是非齐次方
9、程的 3个线性无关的解，因此(y 1 -y 2 )与(y 2 -y 3 )是相应齐次方程的两个线性无关的解事实上，若常数 k 1 ，k 2 使 k 1 (y 1 -y 2 )+k 2 (y 2 -y 3 )=0，则 k 1 y 1 -(k 1 -k 2 )y 2 -k 2 y 3 =0，由 y 1 ，y 2 ，y 3 线性无关知 k 1 =0，k 2 =0又 y 3 是非齐次方程的一个特解，从而非齐次方程的通解为 c 1 (y 1 -y 2 )+c 2 (y 2 -y 3 )+y 3 应选 A5.3阶矩阵 A的特征值是 0，-1，1则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.A不可逆B.A主对
10、角线元素之和为 0C.1和-1 对应的特征向量正交 D.AX=0的基础解系由一个解向量组成解析：考点 特征值、特征向量的性质 解析 A 正确 即 A不可逆 B正确 即 A的主对角线元素之和为 0 D正确A 有三个不同的特征值，必可对角化，且 6.矩阵 （分数：4.00）A.t=-2时，B 的列向量组线性无关B.t=-2时，B 的列向量组线性相关C.t-2 时，B 的列向量组线性无关D.t-2 时，B 的列向量组线性相关 解析：考点 矩阵乘积为零矩阵时的性质 解析 B 按列分块为 B=(b 1 ，b 2 )，则 AB=(Ab 1 ，Ab 2 )=(0,0)，亦即 Ab j =0(j=1，2)即
11、B的列向量全是方程组 AX=0的解而方程组的基础解系包含的向量个数为 3-r(A) 当 t=-2时，r(A)=1故 r(B)=r(b 1 ，b 2 )3-1=2即 B的列向量组可能线性无关，也可能线性相关 当 t-2 时，r(A)=2故 r(B)=r(b 1 ，b 2 )3-2=1从而 B的列向量组必线性相关7.X为一随机变量，若 E(X)0，E(X 2 )=1.1，D(X)=0.1，则必有 _（分数：4.00）A.P(0X2)0.9 B.P(-1X1)0.9C.P(|x+1|1)0.9D.P(|X|1)0.1解析：考点 切比雪夫不等式 解析 E(X) 2 =E(X 2 )-D(X)=1.1-
12、0.1=1而 E(X)0故 E(X)=1 由切比雪夫不等式有 8.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布且 D(X)D(Y)，则 _（分数：4.00）A.X，Y 一定独立B.X，Y 一定不独立C.(X+Y)，(X-Y)一定独立D.(X+Y)，(X-Y)一定不独立 解析：考点 随机变量的独立性 解析 (X，Y)N( 1 ， 2 ； ， ；)，故 X，Y 独立 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）解析： 考点 计算周期函数的定积分 解析 是以 为周期的连续周期函数，而且是偶函数则 10.设 （分数：4.00）解析： 考点 求复合函数 解析 ，而 则 ，即 1
13、1.已知 y=y(x)在点 x处的改变量 （分数：4.00）解析： 考点 解一阶微分方程 解析 因为 其中 是 x 的高阶无穷小量(x0 时)令 x0 取极限，得 解得 y=ce arctanx ，代入 y(0)=，得 c=，即有 y=e arctanx ，故 y(1)=e arctan1 = 12.曲线 ， （分数：4.00）解析： 考点 求平面图形的面积 解析 当 x0 时， 当 x0 时， 即有 ， ，交点为(-1， 13.n阶矩阵 （分数：4.00）解析： 考点 求 n阶矩阵逆矩阵的行列式 解析 因为 从而 14.设 X 1 ，X 2 ，X 36 是取自总体 XN(，8)的简单随机样本
14、， 为未知参数如果以( ， （分数：4.00）解析：96.6% 考点 由区间估计反求置信水平 解析 方差 2 =8已知，设置信水平为 1-，则 的置信区间为( ， )，令知 ，即 ，于是 因此， 得 三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.两条宽分别为 a，b(a0，b0)的河垂直相交若一条船能从一条河转入另一条河，问其最大长度是多少? （分数：10.00）_正确答案：()解析：将船 BC的长度记为 l，依下图所示，则有 令 得 为唯一驻点此时有 实际问题是存在最大值，此点即为最大值点，l 的最大值为 16.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：
15、()解析：作变换 即 ，则 u=u(x，y)=ux(s，t)，y(s，t) 注意到 于是 可将原方程化为 u关于 s，t 的偏导数满足的方程，即 化为 x 是自变量，故 x0，于是 ，即 u=g(t)=g(xy)，其中 g是任意连续可微函数注意：如果对任意连续、可微函数 g验证了u=g(xy)满足 ， ， 则就证明了17.已知 ，求广义积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，则 ， ，且有 注意到当 0t+时，0e -t 1，由 得 (0t+) 幂级数在收敛区间内可逐项积分，用分部积分，得 18.求二重积分 ，其中 D=(x，y)|0x ，0y （分数：10.00）_正确答案：(
16、)解析：被积函数分段表示为 ，且(x，y)D，记 故 19.设某产品的成本函数 c=Q 2 +Q+，需求函数为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()利润函数为 L=PQ-C=(-Q)Q-(Q 2 +Q+) =(-)Q-(+)Q 2 -，令 ，得 为唯一驻点，而最大利润必然存在，故此点即为最大值点，即当 时利润最大最大利润为 ()因为 ，所以 ()由|=1，得 20.矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：将 A分块表示为 其中 ， ，则 而 故 ，从而 又因为 A*=|A|A -1 ，故 而 |A|=(-1)23|B|C|=(-1)1=-1，故 21.设 （分数：11.00）
17、_正确答案：()解析：当 sn 时，由于 A的列向量组由 s个 n维向量组成，因此必定线性相关，即存在 X=(x 1 ，x 2 ，x s ) T 0 使 AX=( 1 ， 2 ， s )(x 1 ，x 2 ，x s ) T =x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 于是 X T BX=X T A T AX=AX 2 =0与 B为正定矩阵矛盾 ()若 s=n，则 A为 n阶矩阵，而|A|= 22.某宽带网站有两台重要设备，其中任意一台发生故障都会引起网络故障假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布，且平均无故障工作时间都为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设第一台设备无故障工
18、作时间为 X，第二台设备无故障工作时间为 Y，则 X，Y 相互独立 于是，网络无故障工作时间为 Z=min(X，Y)由于 X，Y 都服从指数分布，且 ，故 =2，从而(X，Y)的概率密度为 记 D(x，y)|x0，y0=D 1 D 2 (x，y)|0yx，0x+ x，y)|0xy，0y+，则 即网络无故障工作时间的数学期望为 万小时 23.设总体 X是离散型随机变量，可能取值为 0，1，2而 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2 ，E(X)=2(1-)( 是未知参数，且 0 ) ()求 X的分布律； ()求参数 的矩估计量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：记 p 0 =P(X=0)，P 1 =P(X=1)，P 2 =p(X=2)已知 p 2 =(1-) 2 ， 从而 p 0 = 2 ，P 1 =2(1-)故 X的分布律为 X 0 1 2 P 2 2(1-) (1-) 2 ()令 ，得 是 的矩估计量 由于 故 是 的无偏估计量 根据切比雪夫大数定律， (n)，而 是连续函数，故 所以
