1、考研数学三-267 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设方程组 确定了 y是 x的函数，则 的值为 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 y=|lnx|与直线 ，x=e 及 y=0围成平面区域的面积 S为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.极限 （分数：4.00）A.1B.-1C.0D.不存在4.若幂级数 （分数：4.00）A.必发散B.敛散性不能确定C.必条件收敛D.必绝对收敛5.A是 mn矩阵，A T 是 A的转置矩阵，若 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A T X=0的基础
2、解系则 r(A)等于_（分数：4.00）AtB.n-tC.m-tD.n-m6.已知 （分数：4.00）A.(-1，2，-3)B.(21，2-3，22+33)C.(1，-3，2)D.(1-2，1+2，3)7.设 A，B 是任意两个随机事件，已知 B （分数：4.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B|A)C.P(A|B)P(A)D.P(A-B)=P(A)-P(B)8.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数，分布函数为 F(x)，则_（分数：4.00）A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F(-x)+F(x)=1二、填空题(总
3、题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1 （分数：4.00）10.函数 f(x)=2x+1与 g(x)=x 3 +2x-3在区间1，4上满足柯西中值定理的点 = 1 （分数：4.00）11.f(x)的一个原函数为 ，则 （分数：4.00）12.差分方程 y x+1 -y x =3 x -2满足条件 （分数：4.00）13.设 4阶矩阵 ， （分数：4.00）14.设总体 X的概率密度 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可微，f“(x)单调不减
4、，试证： （分数：10.00）_16.已知 y“+(x+3e 2y )(y“) 3 =0(y“0)，当把 y视为自变量，而把 x视为因变量时： ()求方程化成的新形式； ()在新形式下求方程的通解 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.设 y=f(x，t)，而 t是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的隐函数，已知 f(x，t)，G(x，y，t)都是可微函数，求 （分数：10.00）_19.设 （分数：10.00）_20.设 A是 3阶实对称矩阵已知 A的每行元素之和都是 3，且 A有二重特征值 1 = 2 =1 ()求 A的全部特征值和特征向量； ()求 A n
5、 (n2) （分数：11.00）_21.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在 D=(x，y)|0x-y1，0y1上服从均匀分布 ()求(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()求 Z=X+Y的概率密度 f Z (z)； ()判断 X，Y 是否独立，并说明理由 （分数：11.00）_23.设总体 X服从区间a，b上的均匀分布，其中参数 a，b 未知，给定总体 X的一个简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，求参数 a，b 的矩估计量 （分数：11.00）_考研数学三-267 答案解析(总分：150.00，做题
6、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设方程组 确定了 y是 x的函数，则 的值为 _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 参数方程确定函数的二阶导数 解析 方程组对 t求导，得 x t “=2，e y +te y y t “+y t “=0，即 于是 由于 ，所以 2.曲线 y=|lnx|与直线 ，x=e 及 y=0围成平面区域的面积 S为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 求平面图形的面积 解析 应选 A 3.极限 （分数：4.00）A.1B.-1C.0 D.不存在解析：考点 求二重极限 解析 由 x，y
7、不妨设|x|1，|y|1，对任意实数有 2|xy|x 2 +y 2 ，故 而 ，由夹逼定理知 4.若幂级数 （分数：4.00）A.必发散B.敛散性不能确定C.必条件收敛D.必绝对收敛 解析：考点 幂级数在收敛区间内的性质 解析 设该幂级数收敛半径为 r，即|x-2|r 时，级数收敛收敛区间为(2-r，2+r)今知-2(2-r，2+r)，即 2-r-22+r，于是 r4因此(-2，6) (2-r，2+r)而 5(-2，6) 5.A是 mn矩阵，A T 是 A的转置矩阵，若 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A T X=0的基础解系则 r(A)等于_（分数：4.00）AtB.n-tC.m-t D.
8、n-m解析：考点 矩阵的秩与齐次方程组基础解系含解向量的个数 解析 A 为 mn矩阵，则 A T 为 nm矩阵A T X=0是由 n个方程、m 个未知数组成的齐次方程组现知 m-r(A T )=t，而 r(A)=r(A T )，从而 m-r(A)=t故 r(A)=m-t应选 C6.已知 （分数：4.00）A.(-1，2，-3)B.(21，2-3，22+33)C.(1，-3，2)D.(1-2，1+2，3) 解析：考点 使矩阵 A相似对角化的可逆矩阵的性质 解析 ，记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，左乘 P，得 7.设 A，B 是任意两个随机事件，已知 B （分数：4.00）A.P(AB)=P(
9、A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B|A)C.P(A|B)P(A) D.P(A-B)=P(A)-P(B)解析：考点 随机事件概率的性质 解析 由于 B A，故 AB=B，AB=A 当 P(A)0 时，P(AB)=P(B)P(A)+P(B)，即 A不正确 当 P(A)=0时，条件概率 P(B|A)不存在，从而 P(AB)=P(A)P(B|A)不成立，B 不正确 因为 0P(A)P(B)1，故条件概率 P(A|B)存在，且 8.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数，分布函数为 F(x)，则_（分数：4.00）A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F
10、(-x)+F(x)=1 解析：考点 连续型随机变量概率密度与分布函数的性质 解析 已知 f(-x)=f(x)故 A，B 均不成立且 ，D正确 而 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1 （分数：4.00）解析：2e 3 考点 分段函数在分界点处的极限 解析 已知 f(x)在 x=2的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ，所以 f“(x)在 x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)=ef(x)“=f“(x)ef(x)=e2f(x)于是 f“
11、(x)也在 x=2的同一邻域内可导，即在该领域内函数 f(x)三阶可导，且 f“(x)=e2f(x)“=2f“(x)e2f(x)=2e3f(x)将 f(2)=1代入可得 f“(2)=2e 3 10.函数 f(x)=2x+1与 g(x)=x 3 +2x-3在区间1，4上满足柯西中值定理的点 = 1 （分数：4.00）解析： 考点 求满足柯西中值定理的中值点 解析 f(x)=2x+1 与 g(x)=x 3 +2x-3在区间1，4上连续，在(1，4)内可导，且 g“(x)=3x 2 +20x(1，4)满足柯西中值定理条件，至少存在一点 (1，4)，使 ，即 ， 得 = ，但 ，故 11.f(x)的一
12、个原函数为 ，则 （分数：4.00）解析： 考点 求不定积分 解析 因为 ，故 ，从而 12.差分方程 y x+1 -y x =3 x -2满足条件 （分数：4.00）解析： 考点 求差分方程的个特解 解析 齐次方程的特征方程为 -1=0，齐次方程的通解为 (c为任意常数)非齐次方程 y x+1 -y x =-2的特解形如 Ax，非齐次方程 y x+1 -y x =3 x 的特解形如 B3 x ，由叠加原理，非齐次方程 y x+1 -y x =3 x -2的特解形如 y x *=Ax+B3 x ，代入 y x+1 -y x =3 x -2中，得 A(x+1)+B3 x+1 -Ax-B3 x =
13、3 x -2，即 A+2B3 x =3 x -2，比较两边得 A=-2， ，即 于是非齐次方程的通解为 ，代入 ，得 c=2，从而特解为 13.设 4阶矩阵 ， （分数：4.00）解析： 考点 解矩阵方程 解析 由 A(A-C-1B)TCT=AC(E-C-1B)T=A(C-B)T=E+A，得 A(C-B) T -A=E，即 A(C-B-E) T =E故 A=(C-B-E) T -1 ，而 于是 ，故 14.设总体 X的概率密度 （分数：4.00）解析：2 考点 无偏估计 解析 依题意，可得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可微，f“(x)单调不减，试证：
14、（分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，则 由拉格朗日中值定理 f(x)-f(a)=f“()(x-a) 介于 a，x 之间，即 (a，x)，于是 已知 f“(x)单调不减因此 F“(x)0，故 F(x)在a，b上单调不减，且 F(a)=0从而 F(b)F(a)=0，亦即 16.已知 y“+(x+3e 2y )(y“) 3 =0(y“0)，当把 y视为自变量，而把 x视为因变量时： ()求方程化成的新形式； ()在新形式下求方程的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：() 于是 ， ，由 y“0 知 ，代入原方程，得 因此方程化为 (*)()新方程的齐次方程为 2 -1=(-1
15、)(+1)=0 1 =1， 2 =-1齐次方程的通解为 17.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由于 不是初等函数，因此应改变积分次序后再计算 右端累次积分界定的积分区域为 D=D 1 D 2 ，其中 即 ，于是 18.设 y=f(x，t)，而 t是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的隐函数，已知 f(x，t)，G(x，y，t)都是可微函数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：方法一：依题意，由 确定了 y，t 是 x的函数两边对 x求导，得 ，即 故 方法二：由一阶微分形式不变性有 由式(2)得 ，代入式(1)，有 即 19.设 （分数：10.00）_正确答案
16、：()解析：()由 知 右端级数当 x=0时，其值为 1故记 对 g(x)在(-，+)内逐项求导，得 因此当 时，f(x)可以在(-，+)内展成幂级数，故 f(x)在(-，+)内任意阶可导 ()由幂级数展开式的唯一性(即为其 x=0处的勒级数)，有 20.设 A是 3阶实对称矩阵已知 A的每行元素之和都是 3，且 A有二重特征值 1 = 2 =1 ()求 A的全部特征值和特征向量； ()求 A n (n2) （分数：11.00）_正确答案：()解析：A 为 3阶矩阵，每行元素之和都是 3，且记 3 =(1，1，1) T ，则有 A 3 =(3，3，3) T =3(1，1，1) T =3 3 且
17、 A还有特征值 3 =3，属于它的特征向量为 3 =(1，1，1) T 设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是 A属于 1 = 2 =1( 3 =3)的特征向量，A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，即 ，同解方程组为 故 A属于 1 = 2 =1的两个线性无关的特征向量为 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T ，A 的特征值 1 = 2 =1， 3 =3；特征向量为 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 (k 2 ，k 3 不同时为0，k 1 0) ()令 ，则 从而 ，于是 从而 21.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：11.00
18、）_正确答案：()解析：令 ，即 ，记 ，则令 X=CY得 f的标准型为 其中 ， f的正惯性指数 p=3，而 r(A)=p=3 ()由()知 C T AC=E，即 A合同于单位矩阵，故 A为正定矩阵 令 D=C -1 ，则 A=(C T ) -1 C -1 =(C -1 ) T C -1 =D T D由 ，可得 22.设二维随机变量(X，Y)在 D=(x，y)|0x-y1，0y1上服从均匀分布 ()求(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()求 Z=X+Y的概率密度 f Z (z)； ()判断 X，Y 是否独立，并说明理由 （分数：11.00）_正确答案：()解析：(X，Y)的概率密度为 则 ()记 G=(x，y)|x+yz，zR 当 z0 时， 当 0z1 时， 当 1z3 时， 当 z3 时， 因此， 故 23.设总体 X服从区间a，b上的均匀分布，其中参数 a，b 未知，给定总体 X的一个简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，求参数 a，b 的矩估计量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：因为 XUa，b，则有 ， 令 ，即 ，可得 所以参数 a的矩估计量为 ，参数 b的矩估计量为 ，其中 ，
