1、考研数学三-266 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域(-，)(0)上有定义，下述 4 个命题： ()如果 f(x)在 x=0 处可导，则 f(x)在(-，)内也可导 ()如果 f“(0 - )=f“(0 + )=a，则 f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)=a ()如果 f(x)在(-，0)上单调增加，在(0，)上单调减少，则 f(0)是 f(x)的极大值 ()如果 f“(x)在(-，0)处与(0，)处符号相异，则 f(0)为极值 其中正确的个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.大
2、于或等于 32.积分 （分数：4.00）A.与 a 无关且恒为负B.与 a 无关且恒为正C.与 a 有关D.恒为 03.设 （分数：4.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=0D.a=1，b=04.设函数 （分数：4.00）A.处处可导B.恰有 1 个不可导点C.恰有 2 个不可导点D.至少有 3 个不可导点5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn则下列结论不正确的是_ A.A 的 m 个行向量线性无关 B.A 存在 n 个线性无关的列向量 C.|AAT|0 D.|ATA|0（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为 B则必
3、有_（分数：4.00）A.|A|=|B|B.r(A)=r(B)C.存在可逆矩阵 Q，使 B=AQD.方程组 AX=0 与 BX=0 同解7.设随机变量 XB(1，p)(0p1)，Y 服从参数为 (0)的指数分布，X 与 Y 相互独立则随机变量Z=XY_（分数：4.00）A.有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)是连续函数B.有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)不是连续函数C.没有概率密度 fZ(z)，但分布函数 fZ(z)是连续函数D.没有概率密度 fZ(z)，且分布函数 fZ(z)有间断点8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体
4、X 的简单随机样本，是样本均值，S 2 是样本方差，则_ A B (任意的 i，1in) C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 处连续，且 ，则 （分数：4.00）10.不定积分 （分数：4.00）11.微分方程 y“-(y“) 2 =y 4 满足 y(0)=1，y“(0)=1 的特解是 1 （分数：4.00）12.设平面区域 D(t)=(x，y)|1xy 2 ，1yt二重积分 F(x)= 1 （分数：4.00）13.设 3 阶矩阵 A 的逆矩阵 （分数：4.00）14.已知随机变量 XB(1， )，而随机变量 Y 满足 P
5、( （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=2，f“(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2)试证：f(2)1 （分数：10.00）_16.求级数 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在区间(a，+)(a0 为常数)上可导，且 试证：() ；() （分数：10.00）_18.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0 确定的隐函数 z=z(z，y)的极值点与极值 （分数：10.00）_19.某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时，总收益
6、函数为 R(x，y)=42x+27y-4x 2 -2xy-y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元和 1 万元，并限制排污费用总支出为 8 万元问当甲、乙两种产品的产量各为多少时，总利润最大?最大总利润是多少? （分数：10.00）_20.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 （分数：11.00）_21.已
7、知齐次线性方程组 () 和() （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|1x+y2；0y1上服从均匀分布求： ()(X，Y)的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+Y 的概率密度 f Z (z)； ()数学期望 E(Z)和方差 D(Z) （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-266 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域(-，)(0)上有定义，下述 4 个命题： ()如果 f(x)在 x=0 处可导
8、，则 f(x)在(-，)内也可导 ()如果 f“(0 - )=f“(0 + )=a，则 f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)=a ()如果 f(x)在(-，0)上单调增加，在(0，)上单调减少，则 f(0)是 f(x)的极大值 ()如果 f“(x)在(-，0)处与(0，)处符号相异，则 f(0)为极值 其中正确的个数为_（分数：4.00）A.0 B.1C.2D.大于或等于 3解析：考点 函数在一点可导，以及导函数单侧极限和函数取极值的概念 解析 ()不正确取 f(x)=x 2 D(x)，其中 ，则 (x0，|D(x)|1)，即 f(x)在 x=0 处可导，但对任何 x 0 ：0|x 0 |
9、，f(x)在 x=x 0 处都不可导这是因为依有理数与无理数的稠密性，对任意充分大的 nN，存在有理数 r n (-，) ， )；存在无理数 c n (-，)( ， )，于是 r n x 0 (n)且 c n x 0 (n)，但 f(r n )= (n)，f(c n )= (n)，即 不存在从而 f(x)在 x=x 0 处不连续，故在 x 0 处不可导 ()不正确取 ，则 f“(x)=1(x0)，即 f“(0 - )=f“(0 + )=1但 ，即 不存在从而 f(x)在 x=0 处不可导 ()不正确取 ，虽然 f(x)在(-，0)上单调增加，在(0，)上单调减少，但 为非极大值 ()不正确取
10、，则 2.积分 （分数：4.00）A.与 a 无关且恒为负B.与 a 无关且恒为正 C.与 a 有关D.恒为 0解析：考点 含参数连续周期函数的定积分 解析 f(x)=cosxln(2+cosx)是以 2 为周期的连续偶函数，依其积分性质知，对任意实数 a，有 3.设 （分数：4.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=0 D.a=1，b=0解析：考点 确定极限式中的参数 解析 因为 即 a=-1因此， 4.设函数 （分数：4.00）A.处处可导B.恰有 1 个不可导点C.恰有 2 个不可导点 D.至少有 3 个不可导点解析：解析 当|x|1 时， 当|x|=1 时，
11、当|x|1 时， 由夹逼定理 ，即 5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn则下列结论不正确的是_ A.A 的 m 个行向量线性无关 B.A 存在 n 个线性无关的列向量 C.|AAT|0 D.|ATA|0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵的秩 解析 A 正确A 的行向量组的秩为 r(A)=m，故 A 的 m 个行向量线性无关 B 正确A 的列向量组的秩为 r(A)=m，故 A 的列向量组的极大线性无关组由 m 个向量组成 C 正确因为方程组 AX=0 与 A T AX=0 同解(显然 AX=0 的解都是 A T AX=0 的解，又当 为 A T AX=0 的解时，有
12、A T A=0，左乘 T ，得(A) T (A)=A 2 =0，即 A=0，故 A T AX=0 的解也都是AX=0 的解)故 r(A)=r(A T A)，同时，r(A)=r(A T )=r(A T ) T A T =r(AA T )，故 r(AA T )=r(A T A)=r(A)=m而 A T A 是 n 阶矩阵，AA T 是 m 阶矩阵，从而|AA T |0即 C 正确，D 不正确应选 D6.若 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为 B则必有_（分数：4.00）A.|A|=|B|B.r(A)=r(B) C.存在可逆矩阵 Q，使 B=AQD.方程组 AX=0 与 BX=0 同解解析：考点
13、 矩阵的初等变换 解析 注意矩阵 A 经一系列行(列)的初等变换化为 B，则相当于存在可逆矩阵 P(可逆矩阵 Q)，使 A 左乘P(右乘 Q)得 B，即 PA=B(或 AQ=B)如果只强调 A 经过若干次初等变换(并未指出行或列)变为 B，则应存在可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=B因此选项 B 正确此时 r(B)=r(PAQ)=r(A)选项 C 不正确而且由|P|A|Q|=|B|，故选项 A 不正确 如果 A 经过行的初等变换化为 B，则 AX=0 与 BX=0 同解，今仅知经过初等变换，因此 D 也不正确应选B7.设随机变量 XB(1，p)(0p1)，Y 服从参数为 (0)的指数分布，X 与
14、Y 相互独立则随机变量Z=XY_（分数：4.00）A.有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)是连续函数B.有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)不是连续函数C.没有概率密度 fZ(z)，但分布函数 fZ(z)是连续函数D.没有概率密度 fZ(z)，且分布函数 fZ(z)有间断点 解析：考点 随机变量的概率密度与分布函数 解析 因为X=0 8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，是样本均值，S 2 是样本方差，则_ A B (任意的 i，1in) C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 来自正态总体
15、的抽样分布 解析 依题设有 X i N(0， 2 )， (1in)； 于是 ， A 不正确 B 不正确虽然 ，但 X i 与 S 2 不独立， 2 分布的相加性不成立 C 不正确虽然 ，但 中只有 D正确 ，故 ， ，而且 与 S 2 相互独立故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 处连续，且 ，则 （分数：4.00）解析：ln3 考点 函数极限与连续性 解析 先求 由函数 f(x)在 处连续得 从而 10.不定积分 （分数：4.00）解析： 考点 计算含无理式的不定积分 解析 11.微分方程 y“-(y“) 2 =y 4 满足 y(0)=1，y“(0)=1 的特
16、解是 1 （分数：4.00）解析： 考点 求可降价二阶微分方程的特解 解析 方程不显含 x，令 y“=p，则 原方程化为 ，当 y0 时， ，这是关于 p 2 的一阶线性微分方程 代入 y=1 时 y“(=p)=1，得 c 1 =0，即 p 2 =y 4 故 y2=p(因 p| y=1 =10)即 ， ， 故 ，代入 y(0)=1，得 c 2 =-1于是 ，即 12.设平面区域 D(t)=(x，y)|1xy 2 ，1yt二重积分 F(x)= 1 （分数：4.00）解析： 考点 求关于参数 t(区域含参数 t)的二重积分，求二阶导数 解析 故 ，从而 13.设 3 阶矩阵 A 的逆矩阵 （分数：
17、4.00）解析： 考点 已知矩阵 A 的逆矩阵，求 A 的伴随矩阵的逆矩阵 解析 由于 A*A=|A|E，所以当|A|0 时， 而 ， 即 ，从而(A*) -1 =|A -1 | 14.已知随机变量 XB(1， )，而随机变量 Y 满足 P( （分数：4.00）解析： 考点 求向量组线性相关的概率 解析 因此向量组 1 - 2 ， 2 -2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关的充分必要条件为 因此，由于 =“ ”“ ”，故所求概率为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=2，f“(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2
18、)试证：f(2)1 （分数：10.00）_正确答案：()解析：将 f(x)在 x=0，x=2 处的泰勒公式写出有 f(x)=f0)+f“(0)x+ ( 介于 0，x 之间) f(x)=f(2)+f“(2)(x-2)+ ( 介于 2，x 之间) 取 x=1，有 f(1)=f(0)+f“(0)+ 介于 0，1 之间，即 (0，1) f(1)=f(2)-f“(2)+ 介于 1，2 之间，即 (1，2) 将上面两式相减，注意 f(0)=0，得 有 即 于是 16.求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析： ，即二幂级数有相同的收敛域，令 t=x 2 ，考察 的收敛域因为 ，故 由|t|+，得|
19、x 2 |+，即|x|+，从而原幂级数的收敛半径 r=+，收敛域为(-，+) 记 x(-，+) 则 注意到 S(0)=0，于是 代入 S(0)=0，得 c=0从而幂级数的和函数为 17.设函数 f(x)在区间(a，+)(a0 为常数)上可导，且 试证：() ；() （分数：10.00）_正确答案：()解析：()记 g(x)=e 2x f(x)x(a，+)，则 由极限性质知，存在 x 0 a，当 xx 0 时，g“(x)1 在x 0 ，x (a，+)上，对 g(x)用拉格朗日中值定理，存在 (x 0 ，x)，使 g(x)-g(x 0 )=g“()(x-x 0 )(x-x 0 )，即 g(x)g(
20、x 0 )+x-x 0 于是 ()因为 于是 18.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0 确定的隐函数 z=z(z，y)的极值点与极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：在所给方程两边取全微分，得 4xdx+4ydy+2zdz+8xdz+8zdx-dz=0，即 于是 ， 令 得代入原方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0，得 7z 2 +z-8=(z-1)(7z+8)=0，故 z 1 =1， ，从而得驻点为(-2，0)，( ，0)，而 因此(-2，0)是 z=z(x，y)的极小值点，极小值为 z(-2，0)=1；( 19.某工厂生产甲、乙两
21、种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时，总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x 2 -2xy-y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元和 1 万元，并限制排污费用总支出为 8 万元问当甲、乙两种产品的产量各为多少时，总利润最大?最大总利润是多少? （分数：10.00）_正确答案：()解析：总利润函数为 L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y =42x+27y-4x 2 -2xy-y 2 -36-8x-12y-2x-y =32x+14y-4x 2 -2xy-y 2
22、-36 问题为求 L(x，y)在限制条件 2x+y=8 下的最值点与最值 令 F(x，y，)=L(x，y)+(2x+y-8) =32x+14y-4x 2 -2xy-y 2 -36+(2x+y-8)， 20.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：依题设条件有 记 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )， 则上式可写为 AP 1 =P 1 B由于 1 ， 2
23、， 3 线性无关，故矩阵 P 1 可逆两端左乘 ，得 ，即矩阵 A 与矩阵 B 相似而 因此，B 的特征值是 1，1，4因为 AB故 A 也有相同的特征值 1，1，4 ()对矩阵 B，由(E-B)X=0，得到属于 1 = 2 =1 的特征向量为 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T 由(4E-B)X=0 得到属于 3 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 令 ，得 于是 因此，当 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(- 1 + 2 ，-2 1 + 3 ， 2 + 3 )时， 21.已知齐次线性方程组 () 和() （分数：11.00）_正确答案：(
24、)解析：由于方程组()中“方程个数(为 2)未知数个数(为 3)”，所以()必有非零解，而()与()同解，即()也有非零解从而()的系数行列式为 0，有 得 =2 对()的系数矩阵作初等行变换，有 得()的通解为 X=k(1，1，-1) T 由于 X=(1，1，-1) T 也是()的解，故有 ，得 或 当 时，方程组()为 22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|1x+y2；0y1上服从均匀分布求： ()(X，Y)的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+Y 的概率密度 f Z (z)； ()数学期望 E(Z)和方差 D(Z) （分数：11.00）_正确答案：()解析： ， ()对任意实数 z，有 故 23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：令 ，得 的矩估计量为 ，其中 ()样本的似然函数为 当 min(x 1 ，x 2 ，x n )0 时，取对数 令 ，得 从而 的极大似然估计量为
