1、考研数学三-265 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=x 0 的某个邻域内连续，且 f(x 0 )是它的极大值，则存在 0，当 x(x 0 -，x 0 +)时，必有_ A(x-x 0 )f(x)-f(x 0 )0 B(x-x 0 )f(x)-f(x 0 )0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)
2、0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0_3.设 a n 0(n=1，2，)且 ，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性依所给条件不能确定4.当 x0 时， ，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则下列向量组中线性无关的是_（分数：4.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1-2，2-3，3-4，4-1C.1+2，2-3，3-4，4-1D.1+2，2+3，3-4，4-16.设一个 5 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 经过消元法，化为 B= （分数：4
3、.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个7.由甲、乙二人中任选一人对同一目标射击，已知甲、乙击中目标的概率分别为 0.6 和 0.5今知目标被击中，则它由甲击中的概率为_ A （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，D(X)= 2 0， ， ，则_ AS 是 的无偏估计量 BS 2 是 2 的极大似然估计量 CS 是 的相合估计量 DS 2 与 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）10.曲线的极坐标方程为 r=3-2sin，则 （分数：4.00）11.由
4、 （分数：4.00）12.积分 （分数：4.00）13.若 （分数：4.00）14.一发高射炮弹击落、击伤和不能击中敌机的概率分别为 ， ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)在1，2上连续，在(1，2)处可导，且 f(1)=0，f(2)=1试证： ()存在 (1，2)，使 f()=2- ()存在两个不同点 ，(1，2)，使 f“()f“()=1 （分数：10.00）_16.设 g(x)在(-，+)上连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)，且 ，而 f(x)在0，1上有连续的导数，记 试证：级数 （分数：10.00）_17.利用 ，计算广
5、义积分 （分数：10.00）_18.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_19.()验证函数 (-x+)满足微分方程 y“+y“+y=-e x ()用()中结论求幂级数 （分数：10.00）_20.已知向量组 1 =(1，2，0，-2) T ， 2 =(-1，4，2，a) T ， 3 =(3，3，-1，-6) T 与向量组 1 =(1，5，1，-a) T ， 2 =(1，8，2，-2) T ， 3 =(-5，2，m，10) T 是齐次线性方程组 AX=0 的两个基础解系求 a，m 的值 （分数：11
6、.00）_21.矩阵 ，矩阵 B=(kE+A) 2 ，k 为实数 ()求对角矩阵 ，使 B 与 （分数：11.00）_22.设鸟笼中有 3 只黄雀、5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后留在笼中的麻雀数 ()写出 X 的分布律 ()求 P(XE(X) （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 ，其中 0 是未知参数X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本试求： () 的矩估计量 () （分数：11.00）_考研数学三-265 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.
7、00)1.设函数 f(x)在 x=x 0 的某个邻域内连续，且 f(x 0 )是它的极大值，则存在 0，当 x(x 0 -，x 0 +)时，必有_ A(x-x 0 )f(x)-f(x 0 )0 B(x-x 0 )f(x)-f(x 0 )0 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数极大值概念与极限的性质 解析 A 不正确若 A 成立，则当 xx 0 时，有 f(x)-f(x 0 )0，故 f(x 0 )一定不是 f(x)的极大值B 不正确若 B 成立，则当 xx 0 时，有 f(x)-f(x 0 )0，与题设矛盾 记 (xx 0 )，因为 f(x 0 )是 f(x)的极大值，
8、所以存在 0，当 x(x 0 -，x 0 +)时， (xx 0 )，因为 F(t)在 t=x 0 (x 0 x)处连续及根据极限的保号性有 2.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0_ 解析：考点 可导奇函数、偶函数的导数 解析 由 f(x)=-f(-x)知 f(x)是奇函数已经知道，可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，且 f(x)二阶可导，从而 f“(
9、x)为偶函数，f“(x)为奇函数又知当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，因此，当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0，应选 D3.设 a n 0(n=1，2，)且 ，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.发散D.敛散性依所给条件不能确定解析：考点 判定数项级数的绝对收敛、条件收敛与发散 解析 由于 ，因此对于充分大的 n(nN)，有 ，且 ，因而不妨设对任意的 n，a n 0，于是 是交错级数 首先，对于取绝对值后的级数 ，有 ，由于 发散 .故原级数绝对发散. 由于无法保证 的单调性，故对原级数，考察其部分和 4.当 x0 时， ，则 =_ A B C D （
10、分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 分部积分法计算定积分 解析 令 lnx=t，则 x=e t ， ，即 于是 5.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则下列向量组中线性无关的是_（分数：4.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1-2，2-3，3-4，4-1C.1+2，2-3，3-4，4-1 D.1+2，2+3，3-4，4-1解析：考点 判定向量组的线性相关性 解析 由观察易知，A 不正确( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0，故这组向量线性相关B 不正确( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4
11、 - 1 )=0，故这组向量线性相关D 不正确-( 1 + 2 )+( 2 + 3 )-( 3 - 4 )-( 4 - 1 )=0，故这组向量线性相关由排除法知 C 组向量线性无关应选 C6.设一个 5 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 经过消元法，化为 B= （分数：4.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：考点 齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形后，自由未知量的选取 解析 由于矩阵 B 与矩阵 A 有相同的秩，即 r(A)=3，从而自由未知量的个数(即基础解系含向量的个数)为 5-r(A)=5-3=2 个 如果去掉 X 4 ，X 5 相应的两列，余下 3 阶矩阵为
12、 ，其秩为 2，与 r(A)不相等因此，x 4 ，x 5 不能是自由未知量 同理去掉 x 3 ，x 5 相应的两列，余下 3 阶矩阵为 7.由甲、乙二人中任选一人对同一目标射击，已知甲、乙击中目标的概率分别为 0.6 和 0.5今知目标被击中，则它由甲击中的概率为_ A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 贝叶斯公式 解析 记 A 1 =“甲射击”，A 2 =“乙射击”，则 P(A 1 )=P(A 2 )=0.5B=“目标被击中”，且 P(B|A 1 )=0.6，P(B|A 2 )=0.5由贝叶斯公式，所求概率为 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，
13、D(X)= 2 0， ， ，则_ AS 是 的无偏估计量 BS 2 是 2 的极大似然估计量 CS 是 的相合估计量 DS 2 与 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 关于参数估计的相关概念 解析 A 不正确因为 2 =E(S 2 )=D(S)+E(S) 2 E(S) 2 ，即 E(S)故 S 不是 的无偏估计量 B 不正确 是 2 的极大似然估计量，而 S 2 不是 C 正确由辛钦大数定律知 (n)由切比雪夫大数定律有 (n)，再依概率收敛的性质，有 因此 (n)，即 S 是 的相合估计量 D 不正确只有正态总体才有 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数
14、：4.00）解析： 考点 复合函数求导，对数求导法 解析 ，两边取对数，得 两边对 x 求导，得 整理 ，故 10.曲线的极坐标方程为 r=3-2sin，则 （分数：4.00）解析： 考点 曲线的法线方程 解析 曲线以极角 为参数的参数方程为 x=(3-2sin)cos=3cos-sin2，y=(3-2sin)sin=3sin+cos2-1当 时，曲线切线的切点坐标为 所求曲线的法线方程为 ，即 11.由 （分数：4.00）解析： 考点 求隐函数在一点微分的值 解析 在 两边取微分，得 ，代入(1，0，-1)，得 ，即 ，亦即 12.积分 （分数：4.00）解析： 考点 计算定积分 解析 13
15、.若 （分数：4.00）解析： 考点 求矩阵的伴随矩阵 解析 (3A)*=|3A|(3A) -1 ， 于是 ，|3A|=3 3 |A|=1 又 从而 14.一发高射炮弹击落、击伤和不能击中敌机的概率分别为 ， ， （分数：4.00）解析：0.998 考点 求随机事件的概率 解析 记 A 1 =“一发炮弹击落敌机”，A 2 =“一发炮弹击伤敌机”，A 3 =“一发炮弹不能击中敌机”，则 ， ， 设 B=“5 发炮弹击落敌机”，则 =“5 发炮弹未能击落敌机”，即 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)在1，2上连续，在(1，2)处可导，且 f(1)=0，f(2)=1试证：
16、 ()存在 (1，2)，使 f()=2- ()存在两个不同点 ，(1，2)，使 f“()f“()=1 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()令 F(x)=f(x)+x-2(x1，2)，则 F(x)在1，2上连续，且 F(1)=厂(1)+1-2=-10，F(2)=f(2)+2-2=10由闭区间上连续函数的零值定理，存在 (1，2)，使 F()=f()+-2=0，即 f()=2- ()在1，2上分别对 f(x)用拉格朗日中值定理，存在 (1，)，(，2)，故，且 ，(1，2)，使 从而 16.设 g(x)在(-，+)上连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)，且 ，而 f(x)在0
17、，1上有连续的导数，记 试证：级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：g(x)是以 T=1 为周期的连续周期函数，满足 于是 是以 T=1 为周期的可导函数由连续周期函数积分性质知 ，故 G(0)=0， 因为 ，故 dG(nx)=ng(nx)dx 于是 由于 G(x)在(-，+)上连续，且以 T=1 为周期，从而有界，即存在常数 M 1 0 使|G(x)|M 1 ，于是|G(nx)|M 1 x(-，+) 又 f“(x)在0，1上连续，故有界，即存在常数 M 2 0，使|f“(x)|M 2 (x0，1) 由式(*)，有 于是 依正项级数比较判别法知 17.利用 ，计算广义积分 （分数：1
18、0.00）_正确答案：()解析：令 ， ，则 ， 注意到当 0t+时，0e -t 1，由 (-1x1)得 (0t+) 因为幂级数可以在收敛区间内逐项积分，从而有 18.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：以 y 为积分变量，则图形 A 的边界曲线为 ，x 2 =y (0y1) 所求体积为曲线 x 1 =x 1 (y)，x 2 =x 2 (y)绕直线 x=2 的旋转体体积之差 取 y，y+dy0，1由微元法知 19.()验证函数 (-x+)满足微分方程 y“+y“+y=-e x
19、()用()中结论求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：() (-x+)幂级数在收敛区间内可逐项求导，有 (-x+)，(-x+)，上面三式相加，得 y“+y“+y=-ex (-x+) (1)()y“+y“+y=-e x 对应的齐次方程的特征方程为 2 +1=0，则 1,2 = 故齐次方程的通解为 (c1,c2为任意常数)非齐次项 f(x)=-e x ，可设非齐次方程有特解形如 y*=Ae x ，代入式(1)得 ，代入初始值 y(0)=1，y“(0)=0，得 ， ，故 20.已知向量组 1 =(1，2，0，-2) T ， 2 =(-1，4，2，a) T ， 3 =(3，3，-1，-6
20、) T 与向量组 1 =(1，5，1，-a) T ， 2 =(1，8，2，-2) T ， 3 =(-5，2，m，10) T 是齐次线性方程组 AX=0 的两个基础解系求 a，m 的值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由于 1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的基础解系，故 1 ， 2 ， 3 线性无关； 1 ， 2 ， 3 也线性无关又因为二者等价，因此可以相互线性表示 21.矩阵 ，矩阵 B=(kE+A) 2 ，k 为实数 ()求对角矩阵 ，使 B 与 （分数：11.00）_正确答案：()解析：A T =A，即 A 是实对称矩阵 A 的特征值为 1 =0，
21、2 = 3 =2于是存在正交矩阵 P，使 因为 BT=(kE+A)2T=(kE+A)T(kE+A)T=(kE+AT)2=(kE+A)2=B故 B 也是实对称矩阵，且 于是 故 B 与 相似 ()B 的特征值为 k 2 ，(k+2) 2 ，(k+2) 2 ，当 22.设鸟笼中有 3 只黄雀、5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后留在笼中的麻雀数 ()写出 X 的分布律 ()求 P(XE(X) （分数：11.00）_正确答案：()解析：X 可能的取值为 0，1，2，3，4，5 设想鸟依次飞出后，留下的鸟站成一排，8 个不同元素(鸟)的一个全排列对应一个基本事件，则 于是 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 23.设总体 X 的概率密度为 ，其中 0 是未知参数X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本试求： () 的矩估计量 () （分数：11.00）_正确答案：()解析：() 令 ，得 (其中 )为 的矩估计量 ()因为 是总体一阶矩 E(X)的连续函数，所以 g()的矩估计量为 而 故 是
