1、考研数学三-263 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.曲线 (分数:4.00)A.1条B.2条C.3条D.3条以上2.设函数 f(x)有二阶连续导数,且 (分数:4.00)A.f(x)在 x=0处取极大值B.f(x)在 x=0处取极小值C.点(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0处为非极值点,且(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 ,则_ A 与 都收敛 B 与 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 (分数:4.00)A.B.C.D.4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形,则 的值为_ A B C
2、 D (分数:4.00)A.B.C.D.5.3阶矩阵 (分数:4.00)A.a=bB.a=2bC.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b06.齐次线性方程组 AX=0为 (分数:4.00)A.t=1且|B|=0B.t=1且|B|0C.t=-2且|B|=0D.t=-2且|B|07.能使 A,B,C 三个随机事件相互独立的成立条件是_(分数:4.00)A.A,B,C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A-B)=1D.P(A-B)=08.已知 X,Y 的概率分布分别为 P(X=0)=P(X=1)= ,P(Y=0)= ,P(Y=1)= 且 P(XY=1)= ,则 P(X=
3、Y)=_ A1 B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 u 1 0, (n=1,2,),则 (分数:4.00)10.由曲线 与直线 y=b及 y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 与直线 Y=b所围图形面积的 (分数:4.00)11.设 f(u,v)是二元可微函数, 则 (分数:4.00)12.一阶常系数差分方程 y t+1 -2y t =2 t 的通解为 1 (分数:4.00)13.已知 A为 n阶实对称矩阵, i (i=1,2,n)是 A的 n个特征值,则实二次型 f=X T AX在X=1 时的最大值为 1 (分数:4.00)1
4、4.设有 5双不同的鞋,今有 5人,每人从中任取两只,事件 A=“5人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)= 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 (分数:10.00)_16.设某种商品的需求量 Q是价格 P的单调减少函数:Q=Q(P),其需求弹性的绝对值 ()设 R为总收益函数,证明: (分数:10.00)_17.设 a 1 =1, , , , , ,试证: ()级数 收敛; () 为欧拉常数,即 (分数:10.00)_18.设 a0,求函数 (分数:10.00)_19.求二重积分 ,其中 D为 (分数:10.00)_20.已知向量 1 =(1,2,3,0)
5、 T , 2 =(1,1,3,-s) T , 3 =(3,5,8,-2) T ,=(3,3,t,-6) T 问: ()s,t 取何值时 不能由 1 , 2 , 3 线性表示? ()s,t 取何值时 能由 1 , 2 , 3 线性表示?并写出表示式 (分数:11.00)_21.二次型 ,经正交变换化为标准形 (分数:11.00)_22.将两封信投入编号为,的 3个邮筒中,以 X,Y,分别表示投入号与号邮筒中信的数目求: ()(X,Y)的分布律; ()X,Y 是否独立; ()=2X+Y 与 =XY 的分布律 (分数:11.00)_23.设总体 X的概率密度为 (分数:11.00)_考研数学三-26
6、3 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.曲线 (分数:4.00)A.1条B.2条C.3条 D.3条以上解析:考点 确定曲线的渐近线 解析 由于 ,所以 x=0是曲线的垂直渐近线 又 ,所以 y=0是曲线的水平渐近线 此外, 2.设函数 f(x)有二阶连续导数,且 (分数:4.00)A.f(x)在 x=0处取极大值B.f(x)在 x=0处取极小值 C.点(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0处为非极值点,且(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:考点 函数极值点与曲线的拐点 解析 因为 ,故 ,f(x)有二阶连续
7、导数,可使用洛必达法则,由 ,得 ,因此 x=0是 f(x)的驻点 又 3.设 ,则_ A 与 都收敛 B 与 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 数项级数的敛散性 解析 是交错级数,令 ,则 (x1),且 ,即 满足莱布尼兹判别法的条件,故 收敛 而 为正项级数,且 由正项级数比较判别法极限形式知,因为 发散,故 4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形,则 的值为_ A B C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 用极坐标计算二重积分 解析 区域 D的极坐标表示为 于是 5.3阶矩阵 (分数:4.00)A.a=bB.a=
8、2bC.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析:考点 矩阵的秩 解析 r(A*)= 今知 r(A*)=1,故 r(A)=23,有|A|=0 当 a=b时,r(A)=1 与 r(A)=2矛盾A 不正确 若 a=2b或 ,则|A|0,r(A)=3 与 r(A)=2矛盾故 B,D 不正确 当 时,A 有二阶子式 6.齐次线性方程组 AX=0为 (分数:4.00)A.t=1且|B|=0 B.t=1且|B|0C.t=-2且|B|=0D.t=-2且|B|0解析:考点 齐次线性方程组有非零解的相关问题 解析 B0,将其按列分块写成 B=(b 1 ,b 2 ,b 3 ),则有 b j 0(1j3
9、)AB=0,写成(Ab 1 ,Ab 2 ,Ab 3 )=(0,0,0),即齐次方程组 AX=0有非零解于是 7.能使 A,B,C 三个随机事件相互独立的成立条件是_(分数:4.00)A.A,B,C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A-B)=1 D.P(A-B)=0解析:考点 随机事件的独立性 解析 A,B 都不能断定事件 A,B,C 独立;D 也不能断定 A,B,C 独立 由 C,有 P(A-B)= =1,而 , ,于是 ,且 8.已知 X,Y 的概率分布分别为 P(X=0)=P(X=1)= ,P(Y=0)= ,P(Y=1)= 且 P(XY=1)= ,则 P(X=Y)
10、=_ A1 B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 二维离散型随机变量的联合分布与边缘分布的关系 解析 因为已知 X,Y 的分布律又知 P(XY=1)=p(X=1,Y=1)= ,于是得到(X,Y)的概率分布为 所以 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 u 1 0, (n=1,2,),则 (分数:4.00)解析: 考点 求单调有界数列的极限 解析 显然有 0u n 3(n=2,3,),即u n 是有界数列 令 g(x) ,则 u n+1 =g(u n ),且 (x0)故 g(x)在 x0 上单调增加于是u n 是单调有界数列,因此存在极限,记之为 在 两边令 n
11、取极限,得 ,解得 因此 10.由曲线 与直线 y=b及 y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 与直线 Y=b所围图形面积的 (分数:4.00)解析: 考点 定积分的几何意义 解析 曲线是一条开口向下、与 x轴交点为 x=0,x=4、对称轴为直线 x=2、顶点为(2,2)的抛物线由定积分的几何意义知,面积 S 1 =S 2 于是 S+S 2 =S+S 1 ,即有 ,即 11.设 f(u,v)是二元可微函数, 则 (分数:4.00)解析: 考点 多元复合函数的偏导数 解析 在 z=f( , )两边取微分,得 即有 ,于是 12.一阶常系数差分方程 y t+1 -2y t =2 t 的通解为
12、 1 (分数:4.00)解析: 考点 求一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 解析 相应齐次差分方程 y t+1 -2y t =0的通解为 y t =c2 t (c为任意常数)因为非齐次项 f(t)=2 t ,所以可设特解形如 y t *=At2 t ,代入原方程,得 A(t+1)2 t+1 -2At2 t =2 t ,即 2A=1故 , 因此原方程的通解为 13.已知 A为 n阶实对称矩阵, i (i=1,2,n)是 A的 n个特征值,则实二次型 f=X T AX在X=1 时的最大值为 1 (分数:4.00)解析: 考点 二次型,正交变换,特征值 解析 对实二次型 f=X T AX,总有正交变
13、换 X=PY(P为正交矩阵)使 f化为标准型 ,其中 i (1in)是,的矩阵 A的特征值由于正交变换保持向量长度不变,即当X=1 时,有 从而 14.设有 5双不同的鞋,今有 5人,每人从中任取两只,事件 A=“5人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)= 1 (分数:4.00)解析: 考点 古典概率 解析 以 10个不同元素(10 只鞋)分成 2个一组、共 5组的一种分法对应一个基本事件,则 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 (分数:10.00)_正确答案:()解析:()n 为自然数,分母中 x 2n 的幂次最高,且 因此当|x|1 时, 当|x|1 时, 于是,得 ()当|
14、x|1,|x|1 时,f(x)分别与初等函数相同,因此连续为使 f(x)在定义域(-,+)上连续,只须考察 f(x)在 x=1处的连续性因 ,故 f(x)在 x=1处连续 因 故 f(x)在 x=-1处连续 因此 f(x)在 x=1处都连续 16.设某种商品的需求量 Q是价格 P的单调减少函数:Q=Q(P),其需求弹性的绝对值 ()设 R为总收益函数,证明: (分数:10.00)_正确答案:()解析:()在 R(P)=PQ(P)两边对 P求导,得 () 17.设 a 1 =1, , , , , ,试证: ()级数 收敛; () 为欧拉常数,即 (分数:10.00)_正确答案:()解析:()显然
15、有 a n 0(n=1,2,),且 (n),(n),由于奇、偶子列趋于同一极限,故 又 (nn+1),从而 (n=1,2,),即a n 单调递减依交错级数莱布尼兹判别法知 收敛 ()记 即 特别 18.设 a0,求函数 (分数:10.00)_正确答案:()解析:这是分段定义的函数 ,则 f(x)在(-,+)上连续求导得 由此得当 x(-,0)时 f“(x)0,f(x)在(-,0上单调增加;当 x(a,+)时,f“(x)0,f(x)在a,+)上单调减少,因此 f(x)在0,a上的最大值就是 f(x)在(-,+)上的最大值 当 x(0,a)时,令 f“(x)=0,得(1+a-x) 2 -(1+x)
16、 2 =0,于是 为 f(x)的驻点又知 ,故 f(x)在(-,+)上的最大值是 19.求二重积分 ,其中 D为 (分数:10.00)_正确答案:()解析:由于被积函数只含 y,先对 x积分是较好选择则 , 20.已知向量 1 =(1,2,3,0) T , 2 =(1,1,3,-s) T , 3 =(3,5,8,-2) T ,=(3,3,t,-6) T 问: ()s,t 取何值时 不能由 1 , 2 , 3 线性表示? ()s,t 取何值时 能由 1 , 2 , 3 线性表示?并写出表示式 (分数:11.00)_正确答案:()解析:设有一组数 x 1 ,x 2 ,x 3 ,使 x1 1+x2
17、2+x3 3=(*) 令 ()当 s2,t6 时,r(A)=34= ,方程组(*)无解, 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 ()(1)当 s=2,t 为任意实数时, ,方程组有唯一解,此时有 即 于是 =(2t-18) 1 +(t-6) 2 +(9-t) 1 (2)当 t=6,s 为任意实数时, ,方程组有唯一解,此时有 ,即 21.二次型 ,经正交变换化为标准形 (分数:11.00)_正确答案:()解析:二次型矩阵为 ,其标准形矩阵为 ,由于二次型经正交变换化为标准形,故 A与 不仅合同而且相似,由相似矩阵有相同的迹,知 1+1+1=3+3+t,故 t=-3 由 故 a=-2 ()对 =
18、3,由(3E-A)X=0,求出 A的两个线性无关特征向量 X1=(1,-1,0) T,X 2=(1,0,-1) T对 =-3,由(-3E-A)X=0,求出 A的特征向量 X3=(1,1,1) T因为 =3 是二重根,对 X 1 ,X 2 正交化,得 1=X1=(1,-1,0) T,再单位化得 , , 令 经 X=PY变换后,f=X T AX化为 22.将两封信投入编号为,的 3个邮筒中,以 X,Y,分别表示投入号与号邮筒中信的数目求: ()(X,Y)的分布律; ()X,Y 是否独立; ()=2X+Y 与 =XY 的分布律 (分数:11.00)_正确答案:()解析:X,Y 可能取值均为 0,1,
19、2,且 , , , 同理 , , , 于是(X,Y)的分布律为 () ,故 X,Y不独立 ()因为 =2X+Y (X,Y) p 0 (0,0) 1/9 1 (0,1) 2/9 2 (0,2) 1/9 2 (1,0) 2/9 3 (1,1) 2,9 4 (1,2) 0 4 (2,0) 1/9 5 (2,1) 0 6 (2,2) 0 =XY (X,Y) p 0 (0,0) 1/9 0 (0,1) 2/9 0 (0,2) 1/9 0 (1,0) 2/9 0 (2,0) 1/9 1 (1,1) 2/9 2 (1,2) 0 2 (2,1) 0 4 (2,2) 0 从而 =2X+Y 与 =XY 的分布律为 =2X+Y 0 1 2 3 4 p 23.设总体 X的概率密度为 (分数:11.00)_正确答案:()解析:因为 ,故 ()由()知 ,设 x 1 ,x 2 ,x n 是一组样本值,当 min(x 1 ,x 2 ,x n )0 时,样本的似然函数为 令 从而 的最大似然估计量为 ()由于 于是 从而