1、考研数学三-263 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.1条B.2条C.3条D.3条以上2.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0处取极大值B.f(x)在 x=0处取极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0处为非极值点，且(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 ，则_ A 与 都收敛 B 与 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：4.00）A.B.C.D.4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形，则 的值为_ A B C
2、 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.3阶矩阵 （分数：4.00）A.a=bB.a=2bC.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b06.齐次线性方程组 AX=0为 （分数：4.00）A.t=1且|B|=0B.t=1且|B|0C.t=-2且|B|=0D.t=-2且|B|07.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立的成立条件是_（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A-B)=1D.P(A-B)=08.已知 X，Y 的概率分布分别为 P(X=0)=P(X=1)= ，P(Y=0)= ，P(Y=1)= 且 P(XY=1)= ，则 P(X=
3、Y)=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 u 1 0， (n=1，2，)，则 （分数：4.00）10.由曲线 与直线 y=b及 y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 与直线 Y=b所围图形面积的 （分数：4.00）11.设 f(u，v)是二元可微函数， 则 （分数：4.00）12.一阶常系数差分方程 y t+1 -2y t =2 t 的通解为 1 （分数：4.00）13.已知 A为 n阶实对称矩阵， i (i=1，2，n)是 A的 n个特征值，则实二次型 f=X T AX在X=1 时的最大值为 1 （分数：4.00）1
4、4.设有 5双不同的鞋，今有 5人，每人从中任取两只，事件 A=“5人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设某种商品的需求量 Q是价格 P的单调减少函数：Q=Q(P)，其需求弹性的绝对值 ()设 R为总收益函数，证明： （分数：10.00）_17.设 a 1 =1， ， ， ， ， ，试证： ()级数 收敛； () 为欧拉常数，即 （分数：10.00）_18.设 a0，求函数 （分数：10.00）_19.求二重积分 ，其中 D为 （分数：10.00）_20.已知向量 1 =(1，2，3，0)
5、 T ， 2 =(1，1，3，-s) T ， 3 =(3，5，8，-2) T ，=(3，3，t，-6) T 问： ()s，t 取何值时 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示? ()s，t 取何值时 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并写出表示式 （分数：11.00）_21.二次型 ，经正交变换化为标准形 （分数：11.00）_22.将两封信投入编号为，的 3个邮筒中，以 X，Y，分别表示投入号与号邮筒中信的数目求： ()(X，Y)的分布律； ()X，Y 是否独立； ()=2X+Y 与 =XY 的分布律 （分数：11.00）_23.设总体 X的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-26
6、3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.1条B.2条C.3条 D.3条以上解析：考点 确定曲线的渐近线 解析 由于 ，所以 x=0是曲线的垂直渐近线 又 ，所以 y=0是曲线的水平渐近线 此外， 2.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0处取极大值B.f(x)在 x=0处取极小值 C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0处为非极值点，且(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点 函数极值点与曲线的拐点 解析 因为 ，故 ，f(x)有二阶连续
7、导数，可使用洛必达法则，由 ，得 ，因此 x=0是 f(x)的驻点 又 3.设 ，则_ A 与 都收敛 B 与 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数的敛散性 解析 是交错级数，令 ，则 (x1)，且 ，即 满足莱布尼兹判别法的条件，故 收敛 而 为正项级数，且 由正项级数比较判别法极限形式知，因为 发散，故 4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用极坐标计算二重积分 解析 区域 D的极坐标表示为 于是 5.3阶矩阵 （分数：4.00）A.a=bB.a=
8、2bC.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：考点 矩阵的秩 解析 r(A*)= 今知 r(A*)=1，故 r(A)=23，有|A|=0 当 a=b时，r(A)=1 与 r(A)=2矛盾A 不正确 若 a=2b或 ，则|A|0，r(A)=3 与 r(A)=2矛盾故 B，D 不正确 当 时，A 有二阶子式 6.齐次线性方程组 AX=0为 （分数：4.00）A.t=1且|B|=0 B.t=1且|B|0C.t=-2且|B|=0D.t=-2且|B|0解析：考点 齐次线性方程组有非零解的相关问题 解析 B0，将其按列分块写成 B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )，则有 b j 0(1j3
9、)AB=0，写成(Ab 1 ，Ab 2 ，Ab 3 )=(0,0，0)，即齐次方程组 AX=0有非零解于是 7.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立的成立条件是_（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A-B)=1 D.P(A-B)=0解析：考点 随机事件的独立性 解析 A，B 都不能断定事件 A，B，C 独立；D 也不能断定 A，B，C 独立 由 C，有 P(A-B)= =1，而 ， ，于是 ，且 8.已知 X，Y 的概率分布分别为 P(X=0)=P(X=1)= ，P(Y=0)= ，P(Y=1)= 且 P(XY=1)= ，则 P(X=Y)
10、=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维离散型随机变量的联合分布与边缘分布的关系 解析 因为已知 X，Y 的分布律又知 P(XY=1)=p(X=1，Y=1)= ，于是得到(X，Y)的概率分布为 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 u 1 0， (n=1，2，)，则 （分数：4.00）解析： 考点 求单调有界数列的极限 解析 显然有 0u n 3(n=2，3，)，即u n 是有界数列 令 g(x) ，则 u n+1 =g(u n )，且 (x0)故 g(x)在 x0 上单调增加于是u n 是单调有界数列，因此存在极限，记之为 在 两边令 n
11、取极限，得 ，解得 因此 10.由曲线 与直线 y=b及 y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 与直线 Y=b所围图形面积的 （分数：4.00）解析： 考点 定积分的几何意义 解析 曲线是一条开口向下、与 x轴交点为 x=0，x=4、对称轴为直线 x=2、顶点为(2，2)的抛物线由定积分的几何意义知，面积 S 1 =S 2 于是 S+S 2 =S+S 1 ，即有 ，即 11.设 f(u，v)是二元可微函数， 则 （分数：4.00）解析： 考点 多元复合函数的偏导数 解析 在 z=f( ， )两边取微分，得 即有 ，于是 12.一阶常系数差分方程 y t+1 -2y t =2 t 的通解为
12、 1 （分数：4.00）解析： 考点 求一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 解析 相应齐次差分方程 y t+1 -2y t =0的通解为 y t =c2 t (c为任意常数)因为非齐次项 f(t)=2 t ，所以可设特解形如 y t *=At2 t ，代入原方程，得 A(t+1)2 t+1 -2At2 t =2 t ，即 2A=1故 ， 因此原方程的通解为 13.已知 A为 n阶实对称矩阵， i (i=1，2，n)是 A的 n个特征值，则实二次型 f=X T AX在X=1 时的最大值为 1 （分数：4.00）解析： 考点 二次型，正交变换，特征值 解析 对实二次型 f=X T AX，总有正交变
13、换 X=PY(P为正交矩阵)使 f化为标准型 ，其中 i (1in)是，的矩阵 A的特征值由于正交变换保持向量长度不变，即当X=1 时，有 从而 14.设有 5双不同的鞋，今有 5人，每人从中任取两只，事件 A=“5人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)= 1 （分数：4.00）解析： 考点 古典概率 解析 以 10个不同元素(10 只鞋)分成 2个一组、共 5组的一种分法对应一个基本事件，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()n 为自然数，分母中 x 2n 的幂次最高，且 因此当|x|1 时， 当|x|1 时， 于是，得 ()当|
14、x|1，|x|1 时，f(x)分别与初等函数相同，因此连续为使 f(x)在定义域(-，+)上连续，只须考察 f(x)在 x=1处的连续性因 ，故 f(x)在 x=1处连续 因 故 f(x)在 x=-1处连续 因此 f(x)在 x=1处都连续 16.设某种商品的需求量 Q是价格 P的单调减少函数：Q=Q(P)，其需求弹性的绝对值 ()设 R为总收益函数，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：()在 R(P)=PQ(P)两边对 P求导，得 () 17.设 a 1 =1， ， ， ， ， ，试证： ()级数 收敛； () 为欧拉常数，即 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()显然
15、有 a n 0(n=1，2，)，且 (n)，(n)，由于奇、偶子列趋于同一极限，故 又 (nn+1)，从而 (n=1，2，)，即a n 单调递减依交错级数莱布尼兹判别法知 收敛 ()记 即 特别 18.设 a0，求函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：这是分段定义的函数 ，则 f(x)在(-，+)上连续求导得 由此得当 x(-，0)时 f“(x)0，f(x)在(-，0上单调增加；当 x(a，+)时，f“(x)0，f(x)在a，+)上单调减少，因此 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(-，+)上的最大值 当 x(0，a)时，令 f“(x)=0，得(1+a-x) 2 -(1+x)
16、 2 =0，于是 为 f(x)的驻点又知 ，故 f(x)在(-，+)上的最大值是 19.求二重积分 ，其中 D为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由于被积函数只含 y，先对 x积分是较好选择则 ， 20.已知向量 1 =(1，2，3，0) T ， 2 =(1，1，3，-s) T ， 3 =(3，5，8，-2) T ，=(3，3，t，-6) T 问： ()s，t 取何值时 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示? ()s，t 取何值时 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并写出表示式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 x1 1+x2
17、2+x3 3=(*) 令 ()当 s2，t6 时，r(A)=34= ，方程组(*)无解， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 ()(1)当 s=2，t 为任意实数时， ，方程组有唯一解，此时有 即 于是 =(2t-18) 1 +(t-6) 2 +(9-t) 1 (2)当 t=6，s 为任意实数时， ，方程组有唯一解，此时有 ，即 21.二次型 ，经正交变换化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：()解析：二次型矩阵为 ，其标准形矩阵为 ，由于二次型经正交变换化为标准形，故 A与 不仅合同而且相似，由相似矩阵有相同的迹，知 1+1+1=3+3+t，故 t=-3 由 故 a=-2 ()对 =
18、3，由(3E-A)X=0，求出 A的两个线性无关特征向量 X1=(1，-1，0) T，X 2=(1，0，-1) T对 =-3，由(-3E-A)X=0，求出 A的特征向量 X3=(1，1，1) T因为 =3 是二重根，对 X 1 ，X 2 正交化，得 1=X1=(1，-1，0) T，再单位化得 ， ， 令 经 X=PY变换后，f=X T AX化为 22.将两封信投入编号为，的 3个邮筒中，以 X，Y，分别表示投入号与号邮筒中信的数目求： ()(X，Y)的分布律； ()X，Y 是否独立； ()=2X+Y 与 =XY 的分布律 （分数：11.00）_正确答案：()解析：X，Y 可能取值均为 0，1，
19、2，且 ， ， ， 同理 ， ， ， 于是(X，Y)的分布律为 () ，故 X,Y不独立 ()因为 =2X+Y (X，Y) p 0 (0，0) 1/9 1 (0，1) 2/9 2 (0，2) 1/9 2 (1，0) 2/9 3 (1，1) 2，9 4 (1，2) 0 4 (2，0) 1/9 5 (2，1) 0 6 (2，2) 0 =XY (X，Y) p 0 (0，0) 1/9 0 (0，1) 2/9 0 (0，2) 1/9 0 (1，0) 2/9 0 (2，0) 1/9 1 (1，1) 2/9 2 (1，2) 0 2 (2，1) 0 4 (2，2) 0 从而 =2X+Y 与 =XY 的分布律为 =2X+Y 0 1 2 3 4 p 23.设总体 X的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：因为 ，故 ()由()知 ，设 x 1 ，x 2 ，x n 是一组样本值，当 min(x 1 ，x 2 ，x n )0 时，样本的似然函数为 令 从而 的最大似然估计量为 ()由于 于是 从而
