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    【考研类试卷】考研数学三-262及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-262及答案解析.doc

    1、考研数学三-262 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 P-1AP= (分数:4.00)A.B.C.D.2.极限 (分数:4.00)A.B.C.D.3.A 是 mn 矩阵,A T是 A 的转置矩阵,若 1, 2, t是齐次方程组 ATX=0 的基础解系,则 r(分数:4.00)A.等于( )(A) tB.n-tC.m-tD.n-m4.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数,分布函数为 F(x),则( )(分数:4.00)A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F(-x)+F(x)=15.

    2、若幂级数 (分数:4.00)A.B.C.D.6.曲线 y=|lnx|与直线 ,及 y=0 围成平面区域的面积 S 为( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A,B 是任意两个随机事件,已知 B (分数:4.00)A.B.C.D.8.设方程组 确定了 y 是 x 的函数,则 的值为( )(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f“(2)=_。(分数:4.00)填空项 1:_10.函数 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1,4上满足柯西中值定

    3、理的点 =_。(分数:4.00)填空项 1:_11.f(x)的一个原函数为 (分数:4.00)填空项 1:_12.差分方程 yx+1-yx=3x-2 满足条件 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 4 阶矩阵(分数:4.00)填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)在a,b上可微,f(x)单调不减,试证: (分数:10.00)_已知 y“+(x+3e2y)(y)3=0(y0),若把 y 视作自变量,而 x 为因变量时。(分数:10.00)(1).求方程化成的新形式;(分数:5.00)_(2).在

    4、新形式下求方程的通解。(分数:5.00)_16.计算 (分数:10.00)_17.设 y=f(x,t),而 t 是由 G(x,y,t)=0 确定的 x,y 的隐函数,已知 f(x,t),G(x,y,t)都是可微函数,求 (分数:10.00)_设 (分数:10.00)(1).求常数 A 使 f(x)在(-,+)内任意阶可导,并求 f(x)在 x=0 处幂级数展开式;(分数:5.00)_(2).求 f(n)(0)。(分数:5.00)_设 A 是 3 阶实对称矩阵,已知 A 的每行元素之和都是 3,且 A 有二重特征值 1= 2=1。(分数:11.00)(1).求 A 的全部特征值,特征向量;(分数

    5、:5.50)_(2).求 An(n2)。(分数:5.50)_设 (分数:11.00)(1).用配方法化二次型为标准形,并指出 f 的正惯性指数和秩;(分数:5.50)_(2).求可逆矩阵 D,使 A=DTD,其中 A 是()中二次型矩阵。(分数:5.50)_设二维随机变量(X,Y)在 D=(x,y)|0x-y1,0y1 上服从均匀分布。(分数:11.01)(1).求(X,Y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y);(分数:3.67)_(3).判断 X,Y 是否独立,并说明理由。 (分数:3.67)_18.据现在的推测“矮个子人比高个子人的寿命要长一些,”假设矮个子寿命总体与高个子寿命总体都服

    6、从正态分布且方差相等,今有美国 31 个自然死亡总统寿命数据,身高小于 5 英尺 8 英寸的矮个子总统 5人,平均寿命 80 岁;身高大于或等于 5 英尺 8 英寸的高个子总统 26 人,平均寿命 69 岁,相应的标准差分别为 S1=10.665(岁),S 2=12.202(岁),这些数据是否符合上述推测?显著性水平 =0.05。(t0.025(29)=2.0452,t 0.05(29)=1.6991,t 0.10(29)=1.3114,t 0.025(31)=2.395,t 0.05(31)=1.6955,t 0.10(31)=1.3095)(分数:11.00)_考研数学三-262 答案解析

    7、(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 P-1AP= (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 使矩阵 A 相似对角化的可逆矩阵的性质答案解析 P -1AP=,记 P=( 1, 2, 3),左乘 P,得 AP=P,按列分块写成(A 1,A 2,A 3)=(A1 1,A 2 2,A 3 3)。即 P 的列向量 i 应是 A 属于特征值 i(i=1,2,3)的特征向量(A),(B),(C)均正确。(D)不正确, 1, 2是 A 分别属于不同特征值 1=-1, 2=4 的特征向量,从而 1- 2, 1+ 2不再是A 的特征向量,因此 P

    8、不能取作( 1- 2, 1+ 2, 3),应选(D)。2.极限 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 求二重极限答案解析 由 x,y无妨设|x|1,|y|1,对任意实数有 2|xy|x 2+y2故*3.A 是 mn 矩阵,A T是 A 的转置矩阵,若 1, 2, t是齐次方程组 ATX=0 的基础解系,则 r(分数:4.00)A.等于( )(A) tB.n-tC.m-t D.n-m解析:考点 矩阵的秩与齐次方程组基础解系含解向量的个数答案解析 A 为 mn 矩阵,则 AT为 nm 矩阵 ATX=0 是由 n 个方程,m 个未知数组成的齐次方程组,现知m-r(AT)=t,而 r(A)=

    9、r(AT),从而 m-r(A)=t,故 r(A)=m-t。应选(C),4.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数,分布函数为 F(x),则( )(分数:4.00)A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F(-x)+F(x)=1 解析:考点 连续型随机变量概率密度与分布函数的性质答案解析 已知 f(-z)=f(x),故*(A),(B)均不成立。*(C)不正确,应选(D)。5.若幂级数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 幂级数在收敛区间内的性质答案解析 设该幂级数收敛半径为 r,即|x-2|r 时,级数收敛收敛区间为(2-r,2+r),今知-2(

    10、2-r,2+r),即 2-r-22+r,于是 r4,因此(-2,6)*(2-r,2+r),而 5(-2,6)*(2-r,2+r),从而依幂级数在收敛区间内绝对收敛知,该级数在 x=5 处必绝对收敛,应选(D)。6.曲线 y=|lnx|与直线 ,及 y=0 围成平面区域的面积 S 为( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 求平面图形的面积*答案解析 *应选(A)。7.设 A,B 是任意两个随机事件,已知 B (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 随机事件概率的性质答案解析 由于 B*A,故 AB=B,AB=A,(A)当 P(A)0 时,P(AB)=P(B)P(A)+P(B

    11、),即(A)不正确。(B)当 P(A)=0 时,条件概率 P(B|A)不存在,从而 P(AB)=P(A)P(B|A)不成立,即(B)不正确。(C)因为 0P(A)P(B)1,故条件概率 P(A|B)存在,且*即(C)正确。(D)P(A-B)0,但已知 P(A)P(B),故 P(A)-P(B)0,P(A-B)=P(A)-P(B)不正确,即(D)不正确。8.设方程组 确定了 y 是 x 的函数,则 的值为( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 参数方程确定函数的二阶导数答案解析 方程组对 t 求导,得 xt=2,e y+teyyt+yt=0,即*于是*应选(B)。二、填空题(总题数:

    12、6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f“(2)=_。(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2e 3)解析:考点 分段函数在分界点的极限答案解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导,即在该邻域内函数 f(x)二阶可导,且 f“(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x)。于是 f“(x)也在 x=2 的同一邻域内可导,即在该领域内函数 f(x)三阶可导,且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x),将 f

    13、(2)=1 代入可得 f“(2)=2e3。10.函数 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1,4上满足柯西中值定理的点 =_。(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:考点 求满足柯西中值定理的中值点答案解析 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1,4连续,(1,4)可导,且 g(x)=3x2+20(x(1,4)。满足柯西中值定理条件,至少存在一点 (1,4),*11.f(x)的一个原函数为 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:考点 求不定积分答案解析 因为*故*12.差分方程 yx+1-yx=3x-2 满足条件 (分数

    14、:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:考点 求差分方程的个特解答案解析 齐次方程的特征方程为 -1=0,齐次方程通解为 yxc(1x)=c(c 为任意常数)。非齐次方程yx+1-yz=-2 的特解形如 Ax;非齐次方程 yx+1-yx=3x的特解形如 B3x,由叠加原理,非齐次方程 yx+1-yx=3x-2 的特解形如:y x*=Ax+B3x,代入 yx+1-yx=3x-2 中,得 A(x+1)+B3n+1-Ax-B3x=3x-2,即 A+2B3x=3x-2,比较两边得 A=-2,*于是非齐次方程通解为*得 c=2,从而特解为*13.设 4 阶矩阵(分数:4.00)填空项 1:_

    15、(正确答案:*)解析:考点 解矩阵方程答案解析 由 A(E-C-1B)TCT=AC(E-C-1B)T=A(C-B)T=E+A,得 A(C-B)T-A=E,即 A(C-B-E)T=E故 A=(C-B-E)T-1,而*14.设总体 X 的概率密度 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:考点 无偏估计*答案解析 依题意,可得 E(X)=*因为样本方差 S2是总体方差的无偏估计,所以 E(S2)=D(X)=2。三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)在a,b上可微,f(x)单调不减,试证: (分数:10.00)_正确答案:(令*,(x(a,b)则*由拉格朗日中值定

    16、理:f(x)-f(a)=f()(x-a)( 介于 a,x 之间,即 (a,x)。于是*已知 f(x)单调不减,因此F(x)0,故 F(x)在a,b单调不减,且 F(a)=0,从而 F(b)F(a)=0,亦即*)解析:考点 证明积分不等式已知 y“+(x+3e2y)(y)3=0(y0),若把 y 视作自变量,而 x 为因变量时。(分数:10.00)(1).求方程化成的新形式;(分数:5.00)_正确答案:(*因此方程化为*)解析:(2).在新形式下求方程的通解。(分数:5.00)_正确答案:(新方程的齐次方程为 2-1=(-1)(+1)=0, 1=1, 2=-1,齐次方程通解为*而非齐次项*中,

    17、2 不是特征值,非齐次方程有特解形如*代入方程得 A=1,即*从而方程(*)有通解:*)解析:考点 利用反函数求一阶,二阶导数转换微分方程并求解16.计算 (分数:10.00)_正确答案:(由于*不是初等函数,因此应改变积分次序后再计算。右端累次积分界定的积分区域为 D=D1D 2,其中*)解析:考点 交换积分次序计算累次积分17.设 y=f(x,t),而 t 是由 G(x,y,t)=0 确定的 x,y 的隐函数,已知 f(x,t),G(x,y,t)都是可微函数,求 (分数:10.00)_正确答案:(方法一:依题意,由*确定了 y,t 是 x 的函数。两边对 x 求导,得*方法二:由一阶微分形

    18、式不变性有*)解析:考点 由方程组确定的隐函数求导。设 (分数:10.00)(1).求常数 A 使 f(x)在(-,+)内任意阶可导,并求 f(x)在 x=0 处幂级数展开式;(分数:5.00)_正确答案:(由*知*左端级数当 x=0 时,其值为 1,故记*对 g(x)在(-,+)内逐项求导,得*因此*时,f(x)可以在(-,+)内展成幂级数,故 f(x)在(-,+)任意次可导。)解析:(2).求 f(n)(0)。(分数:5.00)_正确答案:(由幂级数展开式的唯一性(即为其 x=0 处的泰勒级数)。*)解析:考点 确定常数使函数在(+,+)可展成关于 x 的幂级数,并求在 x=0 的 n 阶

    19、导数设 A 是 3 阶实对称矩阵,已知 A 的每行元素之和都是 3,且 A 有二重特征值 1= 2=1。(分数:11.00)(1).求 A 的全部特征值,特征向量;(分数:5.50)_正确答案:(A 为 3 阶矩阵,每行元素之和都是 3,即记 3=(1,1,1) T,则有 A 3=(3,3,3)T=3(1,1,1)T=3 3即 A 还有特征值 3=3,属于它的特征向量为 3=(1,1,1) T。设 =(x 1,x 2,x 3)T是 A 属于 1= 2=1(3= 3)的特征向量,A 为实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量正交,即*x 1+x2+x3=0,同解方程组为:*故 A 属于 1= 2=1

    20、 的两个线性无关特征向量为 1=(-1,1-0) T, 2=(-1,0,1) T,A 的特征值为 1= 2=1, 3=3;特征向量为 =k 1 1+k2 2+k3 3(k1,k 2不同时为 0,k 30)解析:(2).求 An(n2)。(分数:5.50)_正确答案:(令 P=( 1, 2, 3)=*则*)解析:考点 求 3 阶实对称矩阵的特征值、特征向量和矩阵的方幂设 (分数:11.00)(1).用配方法化二次型为标准形,并指出 f 的正惯性指数和秩;(分数:5.50)_正确答案:(*则令 X=CY 得 f 标准形为:*其中*f 的正惯性指数 p=3,而 r(A)=P=3。)解析:(2).求可

    21、逆矩阵 D,使 A=DTD,其中 A 是()中二次型矩阵。(分数:5.50)_正确答案:(由(1)知 CTAC=E,即 A 合同于单位矩阵,故 A 为正定二次型令 D=C-1,则 A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1=DTD,用*)解析:考点 用配方法化二次型为标准形及相关问题设二维随机变量(X,Y)在 D=(x,y)|0x-y1,0y1 上服从均匀分布。(分数:11.01)(1).求(X,Y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y);(分数:3.67)_正确答案:(X,Y)的概率密度为*)解析:_解析:(3).判断 X,Y 是否独立,并说明理由。 (分数:3.67)_正确答案:(f X

    22、(x)fY(y)f(x,y),从而 X,Y 不独立。)解析:考点 二维随机变量的边缘概率密度及其函数的概率密度*18.据现在的推测“矮个子人比高个子人的寿命要长一些,”假设矮个子寿命总体与高个子寿命总体都服从正态分布且方差相等,今有美国 31 个自然死亡总统寿命数据,身高小于 5 英尺 8 英寸的矮个子总统 5人,平均寿命 80 岁;身高大于或等于 5 英尺 8 英寸的高个子总统 26 人,平均寿命 69 岁,相应的标准差分别为 S1=10.665(岁),S 2=12.202(岁),这些数据是否符合上述推测?显著性水平 =0.05。(t0.025(29)=2.0452,t 0.05(29)=1.6991,t 0.10(29)=1.3114,t 0.025(31)=2.395,t 0.05(31)=1.6955,t 0.10(31)=1.3095)(分数:11.00)_正确答案:(矮个寿命总体 XN( 1, 2),高个寿命总体 YN( 2, 2), 2未知。H0: 1- 20;H 1: 1- 20检验统计量*此时检验统计量的值为*落入 H0的拒绝域,从而拒绝 H0,承认 H1即认为矮个人的寿命长于高个人的寿命。)解析:考点 两个正态总体均值差的单侧假设检验


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