1、考研数学三-262 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C.D.2.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.3.A 是 mn 矩阵，A T是 A 的转置矩阵，若 1， 2， t是齐次方程组 ATX=0 的基础解系，则 r（分数：4.00）A.等于( )(A) tB.n-tC.m-tD.n-m4.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数，分布函数为 F(x)，则( )（分数：4.00）A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F(-x)+F(x)=15.
2、若幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.曲线 y=|lnx|与直线 ，及 y=0 围成平面区域的面积 S 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 是任意两个随机事件，已知 B （分数：4.00）A.B.C.D.8.设方程组 确定了 y 是 x 的函数，则 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.函数 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1，4上满足柯西中值定
3、理的点 =_。（分数：4.00）填空项 1:_11.f(x)的一个原函数为 （分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程 yx+1-yx=3x-2 满足条件 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 4 阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可微，f(x)单调不减，试证： （分数：10.00）_已知 y“+(x+3e2y)(y)3=0(y0)，若把 y 视作自变量，而 x 为因变量时。（分数：10.00）(1).求方程化成的新形式；（分数：5.00）_(2).在
4、新形式下求方程的通解。（分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.设 y=f(x，t)，而 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的隐函数，已知 f(x，t)，G(x，y，t)都是可微函数，求 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).求常数 A 使 f(x)在(-，+)内任意阶可导，并求 f(x)在 x=0 处幂级数展开式；（分数：5.00）_(2).求 f(n)(0)。（分数：5.00）_设 A 是 3 阶实对称矩阵，已知 A 的每行元素之和都是 3，且 A 有二重特征值 1= 2=1。（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值，特征向量；（分数
5、：5.50）_(2).求 An(n2)。（分数：5.50）_设 （分数：11.00）(1).用配方法化二次型为标准形，并指出 f 的正惯性指数和秩；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 D，使 A=DTD，其中 A 是()中二次型矩阵。（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)在 D=(x，y)|0x-y1，0y1 上服从均匀分布。（分数：11.01）(1).求(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)；（分数：3.67）_(3).判断 X，Y 是否独立，并说明理由。 （分数：3.67）_18.据现在的推测“矮个子人比高个子人的寿命要长一些，”假设矮个子寿命总体与高个子寿命总体都服
6、从正态分布且方差相等，今有美国 31 个自然死亡总统寿命数据，身高小于 5 英尺 8 英寸的矮个子总统 5人，平均寿命 80 岁；身高大于或等于 5 英尺 8 英寸的高个子总统 26 人，平均寿命 69 岁，相应的标准差分别为 S1=10.665(岁)，S 2=12.202(岁)，这些数据是否符合上述推测?显著性水平 =0.05。(t0.025(29)=2.0452，t 0.05(29)=1.6991，t 0.10(29)=1.3114，t 0.025(31)=2.395，t 0.05(31)=1.6955，t 0.10(31)=1.3095)（分数：11.00）_考研数学三-262 答案解析
7、(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 使矩阵 A 相似对角化的可逆矩阵的性质答案解析 P -1AP=，记 P=( 1， 2， 3)，左乘 P，得 AP=P，按列分块写成(A 1，A 2，A 3)=(A1 1，A 2 2，A 3 3)。即 P 的列向量 i 应是 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量(A)，(B)，(C)均正确。(D)不正确， 1， 2是 A 分别属于不同特征值 1=-1， 2=4 的特征向量，从而 1- 2， 1+ 2不再是A 的特征向量，因此 P
8、不能取作( 1- 2， 1+ 2， 3)，应选(D)。2.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求二重极限答案解析 由 x，y无妨设|x|1，|y|1，对任意实数有 2|xy|x 2+y2故*3.A 是 mn 矩阵，A T是 A 的转置矩阵，若 1， 2， t是齐次方程组 ATX=0 的基础解系，则 r（分数：4.00）A.等于( )(A) tB.n-tC.m-t D.n-m解析：考点 矩阵的秩与齐次方程组基础解系含解向量的个数答案解析 A 为 mn 矩阵，则 AT为 nm 矩阵 ATX=0 是由 n 个方程，m 个未知数组成的齐次方程组，现知m-r(AT)=t，而 r(A)=
9、r(AT)，从而 m-r(A)=t，故 r(A)=m-t。应选(C)，4.连续型随机变量的概率密度 f(x)是偶函数，分布函数为 F(x)，则( )（分数：4.00）A.F(x)为偶函数B.F(x)为奇函数C.2F(x)-F(-x)=1D.F(-x)+F(x)=1 解析：考点 连续型随机变量概率密度与分布函数的性质答案解析 已知 f(-z)=f(x)，故*(A)，(B)均不成立。*(C)不正确，应选(D)。5.若幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 幂级数在收敛区间内的性质答案解析 设该幂级数收敛半径为 r，即|x-2|r 时，级数收敛收敛区间为(2-r，2+r)，今知-2(
10、2-r，2+r)，即 2-r-22+r，于是 r4，因此(-2，6)*(2-r，2+r)，而 5(-2，6)*(2-r，2+r)，从而依幂级数在收敛区间内绝对收敛知，该级数在 x=5 处必绝对收敛，应选(D)。6.曲线 y=|lnx|与直线 ，及 y=0 围成平面区域的面积 S 为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 求平面图形的面积*答案解析 *应选(A)。7.设 A，B 是任意两个随机事件，已知 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机事件概率的性质答案解析 由于 B*A，故 AB=B，AB=A，(A)当 P(A)0 时，P(AB)=P(B)P(A)+P(B
11、)，即(A)不正确。(B)当 P(A)=0 时，条件概率 P(B|A)不存在，从而 P(AB)=P(A)P(B|A)不成立，即(B)不正确。(C)因为 0P(A)P(B)1，故条件概率 P(A|B)存在，且*即(C)正确。(D)P(A-B)0，但已知 P(A)P(B)，故 P(A)-P(B)0，P(A-B)=P(A)-P(B)不正确，即(D)不正确。8.设方程组 确定了 y 是 x 的函数，则 的值为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 参数方程确定函数的二阶导数答案解析 方程组对 t 求导，得 xt=2，e y+teyyt+yt=0，即*于是*应选(B)。二、填空题(总题数：
12、6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 3）解析：考点 分段函数在分界点的极限答案解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x)。于是 f“(x)也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该领域内函数 f(x)三阶可导，且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x)，将 f
13、(2)=1 代入可得 f“(2)=2e3。10.函数 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1，4上满足柯西中值定理的点 =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求满足柯西中值定理的中值点答案解析 f(x)=2x+1 与 g(x)=x3+2x-3 在区间1，4连续，(1，4)可导，且 g(x)=3x2+20(x(1，4)。满足柯西中值定理条件，至少存在一点 (1，4)，*11.f(x)的一个原函数为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求不定积分答案解析 因为*故*12.差分方程 yx+1-yx=3x-2 满足条件 （分数
14、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求差分方程的个特解答案解析 齐次方程的特征方程为 -1=0，齐次方程通解为 yxc(1x)=c(c 为任意常数)。非齐次方程yx+1-yz=-2 的特解形如 Ax；非齐次方程 yx+1-yx=3x的特解形如 B3x，由叠加原理，非齐次方程 yx+1-yx=3x-2 的特解形如：y x*=Ax+B3x，代入 yx+1-yx=3x-2 中，得 A(x+1)+B3n+1-Ax-B3x=3x-2，即 A+2B3x=3x-2，比较两边得 A=-2，*于是非齐次方程通解为*得 c=2，从而特解为*13.设 4 阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_
15、（正确答案：*）解析：考点 解矩阵方程答案解析 由 A(E-C-1B)TCT=AC(E-C-1B)T=A(C-B)T=E+A，得 A(C-B)T-A=E，即 A(C-B-E)T=E故 A=(C-B-E)T-1，而*14.设总体 X 的概率密度 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 无偏估计*答案解析 依题意，可得 E(X)=*因为样本方差 S2是总体方差的无偏估计，所以 E(S2)=D(X)=2。三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可微，f(x)单调不减，试证： （分数：10.00）_正确答案：(令*，(x(a，b)则*由拉格朗日中值定
16、理：f(x)-f(a)=f()(x-a)( 介于 a，x 之间，即 (a，x)。于是*已知 f(x)单调不减，因此F(x)0，故 F(x)在a，b单调不减，且 F(a)=0，从而 F(b)F(a)=0，亦即*)解析：考点 证明积分不等式已知 y“+(x+3e2y)(y)3=0(y0)，若把 y 视作自变量，而 x 为因变量时。（分数：10.00）(1).求方程化成的新形式；（分数：5.00）_正确答案：(*因此方程化为*)解析：(2).在新形式下求方程的通解。（分数：5.00）_正确答案：(新方程的齐次方程为 2-1=(-1)(+1)=0， 1=1， 2=-1，齐次方程通解为*而非齐次项*中，
17、2 不是特征值，非齐次方程有特解形如*代入方程得 A=1，即*从而方程(*)有通解：*)解析：考点 利用反函数求一阶，二阶导数转换微分方程并求解16.计算 （分数：10.00）_正确答案：(由于*不是初等函数，因此应改变积分次序后再计算。右端累次积分界定的积分区域为 D=D1D 2，其中*)解析：考点 交换积分次序计算累次积分17.设 y=f(x，t)，而 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的隐函数，已知 f(x，t)，G(x，y，t)都是可微函数，求 （分数：10.00）_正确答案：(方法一：依题意，由*确定了 y，t 是 x 的函数。两边对 x 求导，得*方法二：由一阶微分形
18、式不变性有*)解析：考点 由方程组确定的隐函数求导。设 （分数：10.00）(1).求常数 A 使 f(x)在(-，+)内任意阶可导，并求 f(x)在 x=0 处幂级数展开式；（分数：5.00）_正确答案：(由*知*左端级数当 x=0 时，其值为 1，故记*对 g(x)在(-，+)内逐项求导，得*因此*时，f(x)可以在(-，+)内展成幂级数，故 f(x)在(-，+)任意次可导。)解析：(2).求 f(n)(0)。（分数：5.00）_正确答案：(由幂级数展开式的唯一性(即为其 x=0 处的泰勒级数)。*)解析：考点 确定常数使函数在(+，+)可展成关于 x 的幂级数，并求在 x=0 的 n 阶
19、导数设 A 是 3 阶实对称矩阵，已知 A 的每行元素之和都是 3，且 A 有二重特征值 1= 2=1。（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值，特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(A 为 3 阶矩阵，每行元素之和都是 3，即记 3=(1，1，1) T，则有 A 3=(3，3，3)T=3(1，1，1)T=3 3即 A 还有特征值 3=3，属于它的特征向量为 3=(1，1，1) T。设 =(x 1，x 2，x 3)T是 A 属于 1= 2=1(3= 3)的特征向量，A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，即*x 1+x2+x3=0，同解方程组为：*故 A 属于 1= 2=1
20、 的两个线性无关特征向量为 1=(-1，1-0) T， 2=(-1，0，1) T，A 的特征值为 1= 2=1， 3=3；特征向量为 =k 1 1+k2 2+k3 3(k1，k 2不同时为 0，k 30)解析：(2).求 An(n2)。（分数：5.50）_正确答案：(令 P=( 1， 2， 3)=*则*)解析：考点 求 3 阶实对称矩阵的特征值、特征向量和矩阵的方幂设 （分数：11.00）(1).用配方法化二次型为标准形，并指出 f 的正惯性指数和秩；（分数：5.50）_正确答案：(*则令 X=CY 得 f 标准形为：*其中*f 的正惯性指数 p=3，而 r(A)=P=3。)解析：(2).求可
21、逆矩阵 D，使 A=DTD，其中 A 是()中二次型矩阵。（分数：5.50）_正确答案：(由(1)知 CTAC=E，即 A 合同于单位矩阵，故 A 为正定二次型令 D=C-1，则 A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1=DTD，用*)解析：考点 用配方法化二次型为标准形及相关问题设二维随机变量(X，Y)在 D=(x，y)|0x-y1，0y1 上服从均匀分布。（分数：11.01）(1).求(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)；（分数：3.67）_正确答案：(X，Y)的概率密度为*)解析：_解析：(3).判断 X，Y 是否独立，并说明理由。 （分数：3.67）_正确答案：(f X
22、(x)fY(y)f(x，y)，从而 X，Y 不独立。)解析：考点 二维随机变量的边缘概率密度及其函数的概率密度*18.据现在的推测“矮个子人比高个子人的寿命要长一些，”假设矮个子寿命总体与高个子寿命总体都服从正态分布且方差相等，今有美国 31 个自然死亡总统寿命数据，身高小于 5 英尺 8 英寸的矮个子总统 5人，平均寿命 80 岁；身高大于或等于 5 英尺 8 英寸的高个子总统 26 人，平均寿命 69 岁，相应的标准差分别为 S1=10.665(岁)，S 2=12.202(岁)，这些数据是否符合上述推测?显著性水平 =0.05。(t0.025(29)=2.0452，t 0.05(29)=1.6991，t 0.10(29)=1.3114，t 0.025(31)=2.395，t 0.05(31)=1.6955，t 0.10(31)=1.3095)（分数：11.00）_正确答案：(矮个寿命总体 XN( 1， 2)，高个寿命总体 YN( 2， 2)， 2未知。H0: 1- 20；H 1: 1- 20检验统计量*此时检验统计量的值为*落入 H0的拒绝域，从而拒绝 H0，承认 H1即认为矮个人的寿命长于高个人的寿命。)解析：考点 两个正态总体均值差的单侧假设检验
