1、考研数学三-261 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(lnx)= ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，无穷小量 (x)=(1+x) x -1， ， （分数：4.00）A.(x)，(x)，(x)，(x)B.(x)，(x)，(x)，(x)C.(x)，(x)，(x)，(x)D.(x)，(x)，(x)，(x)3.a-2，方程(x-a) 2/3 =2+a 的实根个数为_（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.级数 （分数：4.00）A.与 ， 取值有关
2、B.仅与 取值有关C.仅与 取值有关D.与 ， 无关5.行列式 （分数：4.00）A.0B.-28C.40D.-406.A 是 n(n3)阶矩阵，交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B又 A*，B*分别是 A，B 的伴随矩阵，则_（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵-B*D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B*7.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1又随机变量 Z=5Y-X，则 X 与 Z 的相关系数为_ A-1 B1 C0 D （分数：4
3、.00）A.B.C.D.8.正态总体 XN(-3，4)，YN(-1，5)且 X，Y 相互独立，而 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，y 2 ，Y 10 分别是来自 X，Y 的简单随机样本， 分别是两个样本的样本方差，则服从 F(9，7)的统计量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.作变量替换 x=lnt 后，方程 （分数：4.00）12.用恰当的方法计算累次积分 （分数：4.00）13.矩阵 （分数：4.00）14.设(X，Y)在平面区域 D=(x，Y)|0x2，0y
4、1上服从均匀分布，则矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知级数 条件收敛令 ()试证： ， 都发散 ()求 （分数：10.00）_16.设 问： ()极限 （分数：10.00）_17.证明不等式 （分数：10.00）_18.已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数： ，S=S(P)=bP (a0，b0 为常数)价格 P 是时间 t 的函数且满足方程 (k0 为常数)，假定t=0 时价格为 1试求： ()需求量等于供给量时的均衡价格；()价格函数 P(t)；() （分数：10.00）_19.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼
5、放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)求使产鱼总量最大的收获量 （分数：10.00）_20.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， n-1 。线性无关，且与非零向量 1 ， 2 都正交，试证： () 1 ， 2 线性相关； () 1 ， 2 ， n-1 ， 1 线性无关 （分数：11.00）_21.设 A=(a ij ) nn 是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：11.00）_22.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品，装配
6、机器时，必须从中取出 2 个正品，若任取 1 个为正品，则留下备用；若取到次品，则弃之不用，在余下的零件中再取 1 个，直到取到 2 个正品为止，以 X 表示取到为止时的次数求 X 的概率分布、数学期望与方差 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-261 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(lnx)= ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 换元法计算定积分 解析 令 lnx=t，则 x=e t ， ，于是 2.当 x0 时，
7、无穷小量 (x)=(1+x) x -1， ， （分数：4.00）A.(x)，(x)，(x)，(x)B.(x)，(x)，(x)，(x)C.(x)，(x)，(x)，(x) D.(x)，(x)，(x)，(x)解析：考点 无穷小量的阶的比较 解析 即 (x)是 x 的 2 阶无穷小量 即 从而 (x)是比 x 低阶的无穷小量 即 (x)是 x 的 5 阶无穷小量 3.a-2，方程(x-a) 2/3 =2+a 的实根个数为_（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：考点 求方程实根的个数 解析 本题即求函数 的零点个数f(x)在(-，+)上连续，且 4.级数 （分数：4.00）A
8、.与 ， 取值有关 B.仅与 取值有关C.仅与 取值有关D.与 ， 无关解析：考点 含参数的正项级数敛散性的审定 解析 因为是正项级数，故用比值法，有 (1)当 01 时，级数收敛； (2)当 1 时，级数发散； (3)当 =1 时，原级数为 5.行列式 （分数：4.00）A.0B.-28 C.40D.-40解析：考点 求行列式某行元素余子式之和 解析 方法一： 方法二： 6.A 是 n(n3)阶矩阵，交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B又 A*，B*分别是 A，B 的伴随矩阵，则_（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第
9、3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵-B* D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B*解析：考点 矩阵的初等变换 解析 因为 A 可逆，故|A|0，而|B|=-|A|0，即 B 也可逆，因为 B=AE 13 ，故 B -1 =(AE 13 ) -1 =(E 13 ) -1 A -1 ，此式两端同乘以-|B|=|A|，有-|B|B -1 =E 13 |A|A -1 ，即-B*=E 13 A*故交换 A*的第 1行、第 3 行得到-B*应选 C7.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1又随机变量 Z=5Y-X，则 X 与 Z 的相关系数为_ A-1 B1
10、C0 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量的相关系数 解析 XY 是表示随机变量 X，Y 之间线性关系的数字特征当 XY =-1 时，X，Y 存在负线性相关，即存在常数 a0，常数 b，使得 PY=aX+b=1 今知 Z=5Y-X=5(aX+b)-X=(5a-1)X+5b由于 5a-10，从而 PZ=(5a-1)X+5b=1， XY 即=-1应选 A8.正态总体 XN(-3，4)，YN(-1，5)且 X，Y 相互独立，而 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，y 2 ，Y 10 分别是来自 X，Y 的简单随机样本， 分别是两个样本的样本方差，则服从 F(9，7)的统
11、计量是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 来自两个独立正态总体的抽样分布 解析 ，n 1 =8，n 2 =10，于是 由 X，Y 相互独立知 U，V 相互独立，于是由 F 分布定义知 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析：x+y=0 或 x+25y=0 考点 求曲线的切线 解析 显然原点(0，0)不在曲线上设切点坐标为(x 0 ， )，而 ，故过切点的切线方程为 ，将(0，0)代入上式，得(x 0 +3)(x 0 +15)=0，即 x 0 =-3 或 x 0 =-15 k1=y“|x=-3=-1，10. （分数：4.00）解
12、析：1 考点 换元法计算抽象连续函数的定积分 解析 由于被积函数 f(x)的表达式不具体，应换元计算换元后积分区间应保持不变令 x=6-t，即t=6-x，则 dx=-dt 于是 11.作变量替换 x=lnt 后，方程 （分数：4.00）解析： 考点 作变量替换，将方程化简 解析 将式(1)和式(2)代入 中，整理得 12.用恰当的方法计算累次积分 （分数：4.00）解析： 考点 将直角坐标系下的累次积分化为极坐标系下的累次积分 解析 为图中阴影所示区域，D 在极坐标系下表示为 于是 13.矩阵 （分数：4.00）解析：3 或-5 考点 齐次线性方程组解的结构 解析 AX=0 有非零解，且任一非
13、零解均可由向量 线性表示，表明 AX=0 的基础解系仅含有一个解向量故 3-r(A)=1，即 r(A)=2 14.设(X，Y)在平面区域 D=(x，Y)|0x2，0y1上服从均匀分布，则矩阵 （分数：4.00）解析： 考点 求二维随机变量取值界定的随机事件的概率 解析 D 的面积为 2，(X，Y)的概率密度为 矩阵 A 的特征方程为 为了使 A 的特征值都是实数，只须 2 -2+XY=0 的根为实数 (-2) 2 -4XY0，XY1 记 G=(x，y)|xy1，则 GD-(GD 1 )(GD 2 ，所求概率为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知级数 条件收敛令 ()试证： ，
14、 都发散 ()求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()反证：设 ， 中至少有一个收敛，不妨设 收敛由于 w n =v n -u n ，从 收敛， 收敛，可知 收敛，从而由|u n |=v n +w n 知 也收敛，与已知 条件收敛矛盾故 与 都发散 ()从 条件收敛知， ，以及对任意的 n， 的部分和有界，即存在常数 M0，使 ，于是 16.设 问： ()极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()对任意实数 x，y，有 ，于是 ，因此 这表明 ，不但 存在，且 f(x，y)在点(0，0)处连续 () 同理 f“ y (0，0)=0 ()如果 f(x，y)在点(0，0)处可微
15、，则有 其中 0(当 时) 当(x，y)沿直线 y=x(x0)趋于(0，0)时， ，此时有 17.证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，则 又记 D1=(x，y)|x 2+y21，D2=(x，y)|-1x1，-1y1，D3=(x，y)|x 2+y22，则 又令 f(x，y)=e -(x2+y2) ，依二重积分性质，有 从而 ，即 (1-e -1)I 2(1-e -2)于是 18.已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数： ，S=S(P)=bP (a0，b0 为常数)价格 P 是时间 t 的函数且满足方程 (k0 为常数)，假定t=0 时价格为 1试求： (
16、)需求量等于供给量时的均衡价格；()价格函数 P(t)；() （分数：10.00）_正确答案：()解析：()由 ，得均衡价格为 () 于是 , ， ， 即 (c 为任意常数)，代入初始条件 P(0)=1，得 ，从而 19.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)求使产鱼总量最大的收获量 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设产鱼总量为 z，则 z=(3-x-y)x+(4-x-2y)y=3x+4y-x 2-2y 2-2xy令 ，即 ，由系数行列式 ，得 ， 为唯一驻点 , ， ，则(B 2
17、-AC)| (x0，y0) =-4(2 2 - 2 )0，即 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处取唯一极大值，故为最大值，其值为 z|(x0，y0) =(3-x 0-y 0)x0+(4-x 0-2y 0)y0=20.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， n-1 。线性无关，且与非零向量 1 ， 2 都正交，试证： () 1 ， 2 线性相关； () 1 ， 2 ， n-1 ， 1 线性无关 （分数：11.00）_正确答案：()解析：用 1 ， 2 ， n-1 构造(n-1)n 阶矩阵 因为 1 与 i (i=1，2，n-1)都正交，即 21.设 A=(a ij ) nn 是秩为 n 的
18、n 阶实对称矩阵A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：11.00）_正确答案：()解析：r(A)=n，故 A 是可逆的实对称矩阵于是(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 也是实对称矩阵，从而由于 是实对称的，A*也是实对称的，因此即知 A ij =A ji (i，j=1，2，n)于是有 22.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品，装配机器时，必须从中取出 2 个正品，若任取 1 个为正品，则留下备用；若取到次品，则弃之不用，在余下的零件中再取 1 个，直到取到 2 个正品
19、为止，以 X 表示取到为止时的次数求 X 的概率分布、数学期望与方差 （分数：11.00）_正确答案：()解析：X 的取值只能是 2，3，4 “X=2”=“第 1 次、第 2 次取到正品” “X=3”=“前 2 次 1 次取到正品，1 次取到次品，第 3 次取到正品” “X=4”=“前 3 次 1 次取到正品，2 次取到次品，第 4 次取到正品” 记 A i =“第 i 次取到正品”(i=1，2，3，4)，则 P(X=2)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 |A 1 )= ， P(X=4)=1-P(X=2)+P(X=3)= 所以 X 的分布律为 X 2 3 4 P 23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析： 令 ，得 为 的矩估计量 ()设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体的一组样本值，则样本的似然函数为 令 ，则 故 为 的最大似然估计量 () =2+-2=从而
