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    【考研类试卷】考研数学三-261及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-261及答案解析.doc

    1、考研数学三-261 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.当 x0 时,f(lnx)= ,则 的值为_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.2.当 x0 时,无穷小量 (x)=(1+x) x -1, , (分数:4.00)A.(x),(x),(x),(x)B.(x),(x),(x),(x)C.(x),(x),(x),(x)D.(x),(x),(x),(x)3.a-2,方程(x-a) 2/3 =2+a 的实根个数为_(分数:4.00)A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.级数 (分数:4.00)A.与 , 取值有关

    2、B.仅与 取值有关C.仅与 取值有关D.与 , 无关5.行列式 (分数:4.00)A.0B.-28C.40D.-406.A 是 n(n3)阶矩阵,交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B又 A*,B*分别是 A,B 的伴随矩阵,则_(分数:4.00)A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵-B*D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B*7.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1又随机变量 Z=5Y-X,则 X 与 Z 的相关系数为_ A-1 B1 C0 D (分数:4

    3、.00)A.B.C.D.8.正态总体 XN(-3,4),YN(-1,5)且 X,Y 相互独立,而 X 1 ,X 2 ,X 8 和 Y 1 ,y 2 ,Y 10 分别是来自 X,Y 的简单随机样本, 分别是两个样本的样本方差,则服从 F(9,7)的统计量是_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.曲线 (分数:4.00)10. (分数:4.00)11.作变量替换 x=lnt 后,方程 (分数:4.00)12.用恰当的方法计算累次积分 (分数:4.00)13.矩阵 (分数:4.00)14.设(X,Y)在平面区域 D=(x,Y)|0x2,0y

    4、1上服从均匀分布,则矩阵 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.已知级数 条件收敛令 ()试证: , 都发散 ()求 (分数:10.00)_16.设 问: ()极限 (分数:10.00)_17.证明不等式 (分数:10.00)_18.已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数: ,S=S(P)=bP (a0,b0 为常数)价格 P 是时间 t 的函数且满足方程 (k0 为常数),假定t=0 时价格为 1试求: ()需求量等于供给量时的均衡价格;()价格函数 P(t);() (分数:10.00)_19.某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养 x(万尾),乙种鱼

    5、放养 y(万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)求使产鱼总量最大的收获量 (分数:10.00)_20.已知 n 维列向量 1 , 2 , n-1 。线性无关,且与非零向量 1 , 2 都正交,试证: () 1 , 2 线性相关; () 1 , 2 , n-1 , 1 线性无关 (分数:11.00)_21.设 A=(a ij ) nn 是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式(i,j=1,2,n),二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:11.00)_22.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品,装配

    6、机器时,必须从中取出 2 个正品,若任取 1 个为正品,则留下备用;若取到次品,则弃之不用,在余下的零件中再取 1 个,直到取到 2 个正品为止,以 X 表示取到为止时的次数求 X 的概率分布、数学期望与方差 (分数:11.00)_23.设总体 X 的概率密度为 (分数:11.00)_考研数学三-261 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.当 x0 时,f(lnx)= ,则 的值为_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 换元法计算定积分 解析 令 lnx=t,则 x=e t , ,于是 2.当 x0 时,

    7、无穷小量 (x)=(1+x) x -1, , (分数:4.00)A.(x),(x),(x),(x)B.(x),(x),(x),(x)C.(x),(x),(x),(x) D.(x),(x),(x),(x)解析:考点 无穷小量的阶的比较 解析 即 (x)是 x 的 2 阶无穷小量 即 从而 (x)是比 x 低阶的无穷小量 即 (x)是 x 的 5 阶无穷小量 3.a-2,方程(x-a) 2/3 =2+a 的实根个数为_(分数:4.00)A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析:考点 求方程实根的个数 解析 本题即求函数 的零点个数f(x)在(-,+)上连续,且 4.级数 (分数:4.00)A

    8、.与 , 取值有关 B.仅与 取值有关C.仅与 取值有关D.与 , 无关解析:考点 含参数的正项级数敛散性的审定 解析 因为是正项级数,故用比值法,有 (1)当 01 时,级数收敛; (2)当 1 时,级数发散; (3)当 =1 时,原级数为 5.行列式 (分数:4.00)A.0B.-28 C.40D.-40解析:考点 求行列式某行元素余子式之和 解析 方法一: 方法二: 6.A 是 n(n3)阶矩阵,交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B又 A*,B*分别是 A,B 的伴随矩阵,则_(分数:4.00)A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第

    9、3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵-B* D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B*解析:考点 矩阵的初等变换 解析 因为 A 可逆,故|A|0,而|B|=-|A|0,即 B 也可逆,因为 B=AE 13 ,故 B -1 =(AE 13 ) -1 =(E 13 ) -1 A -1 ,此式两端同乘以-|B|=|A|,有-|B|B -1 =E 13 |A|A -1 ,即-B*=E 13 A*故交换 A*的第 1行、第 3 行得到-B*应选 C7.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1又随机变量 Z=5Y-X,则 X 与 Z 的相关系数为_ A-1 B1

    10、C0 D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 随机变量的相关系数 解析 XY 是表示随机变量 X,Y 之间线性关系的数字特征当 XY =-1 时,X,Y 存在负线性相关,即存在常数 a0,常数 b,使得 PY=aX+b=1 今知 Z=5Y-X=5(aX+b)-X=(5a-1)X+5b由于 5a-10,从而 PZ=(5a-1)X+5b=1, XY 即=-1应选 A8.正态总体 XN(-3,4),YN(-1,5)且 X,Y 相互独立,而 X 1 ,X 2 ,X 8 和 Y 1 ,y 2 ,Y 10 分别是来自 X,Y 的简单随机样本, 分别是两个样本的样本方差,则服从 F(9,7)的统

    11、计量是_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 来自两个独立正态总体的抽样分布 解析 ,n 1 =8,n 2 =10,于是 由 X,Y 相互独立知 U,V 相互独立,于是由 F 分布定义知 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.曲线 (分数:4.00)解析:x+y=0 或 x+25y=0 考点 求曲线的切线 解析 显然原点(0,0)不在曲线上设切点坐标为(x 0 , ),而 ,故过切点的切线方程为 ,将(0,0)代入上式,得(x 0 +3)(x 0 +15)=0,即 x 0 =-3 或 x 0 =-15 k1=y“|x=-3=-1,10. (分数:4.00)解

    12、析:1 考点 换元法计算抽象连续函数的定积分 解析 由于被积函数 f(x)的表达式不具体,应换元计算换元后积分区间应保持不变令 x=6-t,即t=6-x,则 dx=-dt 于是 11.作变量替换 x=lnt 后,方程 (分数:4.00)解析: 考点 作变量替换,将方程化简 解析 将式(1)和式(2)代入 中,整理得 12.用恰当的方法计算累次积分 (分数:4.00)解析: 考点 将直角坐标系下的累次积分化为极坐标系下的累次积分 解析 为图中阴影所示区域,D 在极坐标系下表示为 于是 13.矩阵 (分数:4.00)解析:3 或-5 考点 齐次线性方程组解的结构 解析 AX=0 有非零解,且任一非

    13、零解均可由向量 线性表示,表明 AX=0 的基础解系仅含有一个解向量故 3-r(A)=1,即 r(A)=2 14.设(X,Y)在平面区域 D=(x,Y)|0x2,0y1上服从均匀分布,则矩阵 (分数:4.00)解析: 考点 求二维随机变量取值界定的随机事件的概率 解析 D 的面积为 2,(X,Y)的概率密度为 矩阵 A 的特征方程为 为了使 A 的特征值都是实数,只须 2 -2+XY=0 的根为实数 (-2) 2 -4XY0,XY1 记 G=(x,y)|xy1,则 GD-(GD 1 )(GD 2 ,所求概率为 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.已知级数 条件收敛令 ()试证: ,

    14、 都发散 ()求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:()反证:设 , 中至少有一个收敛,不妨设 收敛由于 w n =v n -u n ,从 收敛, 收敛,可知 收敛,从而由|u n |=v n +w n 知 也收敛,与已知 条件收敛矛盾故 与 都发散 ()从 条件收敛知, ,以及对任意的 n, 的部分和有界,即存在常数 M0,使 ,于是 16.设 问: ()极限 (分数:10.00)_正确答案:()解析:()对任意实数 x,y,有 ,于是 ,因此 这表明 ,不但 存在,且 f(x,y)在点(0,0)处连续 () 同理 f“ y (0,0)=0 ()如果 f(x,y)在点(0,0)处可微

    15、,则有 其中 0(当 时) 当(x,y)沿直线 y=x(x0)趋于(0,0)时, ,此时有 17.证明不等式 (分数:10.00)_正确答案:()解析:令 ,则 又记 D1=(x,y)|x 2+y21,D2=(x,y)|-1x1,-1y1,D3=(x,y)|x 2+y22,则 又令 f(x,y)=e -(x2+y2) ,依二重积分性质,有 从而 ,即 (1-e -1)I 2(1-e -2)于是 18.已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数: ,S=S(P)=bP (a0,b0 为常数)价格 P 是时间 t 的函数且满足方程 (k0 为常数),假定t=0 时价格为 1试求: (

    16、)需求量等于供给量时的均衡价格;()价格函数 P(t);() (分数:10.00)_正确答案:()解析:()由 ,得均衡价格为 () 于是 , , , 即 (c 为任意常数),代入初始条件 P(0)=1,得 ,从而 19.某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养 x(万尾),乙种鱼放养 y(万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)求使产鱼总量最大的收获量 (分数:10.00)_正确答案:()解析:设产鱼总量为 z,则 z=(3-x-y)x+(4-x-2y)y=3x+4y-x 2-2y 2-2xy令 ,即 ,由系数行列式 ,得 , 为唯一驻点 , , ,则(B 2

    17、-AC)| (x0,y0) =-4(2 2 - 2 )0,即 z=f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处取唯一极大值,故为最大值,其值为 z|(x0,y0) =(3-x 0-y 0)x0+(4-x 0-2y 0)y0=20.已知 n 维列向量 1 , 2 , n-1 。线性无关,且与非零向量 1 , 2 都正交,试证: () 1 , 2 线性相关; () 1 , 2 , n-1 , 1 线性无关 (分数:11.00)_正确答案:()解析:用 1 , 2 , n-1 构造(n-1)n 阶矩阵 因为 1 与 i (i=1,2,n-1)都正交,即 21.设 A=(a ij ) nn 是秩为 n 的

    18、n 阶实对称矩阵A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式(i,j=1,2,n),二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:11.00)_正确答案:()解析:r(A)=n,故 A 是可逆的实对称矩阵于是(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ,即 A -1 也是实对称矩阵,从而由于 是实对称的,A*也是实对称的,因此即知 A ij =A ji (i,j=1,2,n)于是有 22.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品,装配机器时,必须从中取出 2 个正品,若任取 1 个为正品,则留下备用;若取到次品,则弃之不用,在余下的零件中再取 1 个,直到取到 2 个正品

    19、为止,以 X 表示取到为止时的次数求 X 的概率分布、数学期望与方差 (分数:11.00)_正确答案:()解析:X 的取值只能是 2,3,4 “X=2”=“第 1 次、第 2 次取到正品” “X=3”=“前 2 次 1 次取到正品,1 次取到次品,第 3 次取到正品” “X=4”=“前 3 次 1 次取到正品,2 次取到次品,第 4 次取到正品” 记 A i =“第 i 次取到正品”(i=1,2,3,4),则 P(X=2)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 |A 1 )= , P(X=4)=1-P(X=2)+P(X=3)= 所以 X 的分布律为 X 2 3 4 P 23.设总体 X 的概率密度为 (分数:11.00)_正确答案:()解析: 令 ,得 为 的矩估计量 ()设 x 1 ,x 2 ,x n 是来自总体的一组样本值,则样本的似然函数为 令 ,则 故 为 的最大似然估计量 () =2+-2=从而


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